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        排列組合問題的典型類型及其破解策略

        2015-12-29 00:00:00汪正文
        考試周刊 2015年0期

        談到排列組合問題,很多同學望而生畏,如同談虎色變.究其原因:其解法獨特,需要有較強的邏輯思維能力和抽象問題的能力.解決排列組合問題,除了審題清楚,準確分類、合理分步外,還要抓住問題的本質特征,講究策略和方法,使看似陌生而復雜的問題化歸為熟知的類型.下面介紹排列組合中幾種典型的類型及其破解策略.

        類型一:特殊元素(位置)問題

        對于含有限定條件的排列組合題,破解策略:優(yōu)先安排特殊(元素)位置,再考慮其他元素和位置,在具體解題時,有時“元素優(yōu)先”,有時“位置優(yōu)先”.

        例1:安排7名工作人員在5月1日至5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙兩人都不安排在5月1日和5月2日,則不同的安排方法有?搖?搖 "?搖?搖種.(用數字作答)

        類型二:排組混合問題

        對于排列組合的混合應用題,破解策略:采取先選取元素,后進行排列,即“先選后排、分步實施法”.

        例:從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種,分別種在不同土質的三塊土地上,其中黃瓜必須種植,不同的種植方法共有(?搖?搖)

        A.24種?搖?搖B.18種?搖?搖C.12種?搖?搖D.6種

        類型五:復雜問題

        復雜問題是指在直接法考慮比較難,分類不清或多種的問題,破解策略:先總體考慮再剔除個別,即“正難則反間接法”.“間接法”比較適合處理“至多”、“至少”型問題.

        例5:四面體的頂點與各棱的中點共有10個點,在其中取出4個不同的點,則不同的取法有(?搖?搖)

        A.150種?搖?搖B.147種?搖?搖C.144種?搖?搖D.141種

        解該問題若直接考慮比較復雜,故先從整體考慮再剔除不符合題意的.由10個點取4個點的方法總數為C104種,不符合題意的有:①每個面上的6個點四點共面的有4C64種;②各條棱的中點共6個,其中四點共面的平面有3個;③每條棱的中點與對棱的中點共面,共有面6個.所以符合條件的不共面4點的取法有

        對于元素多,選取情況多的問題,破解策略:按要求進行先分類再分步,最后總計,即“分類、分步法”;有些較復雜的問題也可以通過列圖表使其直觀化加以分類即表格法.

        例6:有9人組成的籃球隊,其中7人善打前鋒,3人善打后衛(wèi),現從中選5人(兩衛(wèi)三鋒,且鋒分左、中、右,衛(wèi)分左右)組隊出場,有多少種不同的組隊方法?

        解:由題設知,其中有1人既可打鋒又可打衛(wèi),則只會鋒的有6人,只會衛(wèi)的有2人.

        除了上述方法外,有時還可以通過設未知數,借助方程解答,簡單一些的問題可采用樹形圖等方法.解此類問題常用的數學思想有:分類討論,轉化和對稱等思想.在解題過程中一定要審明題意、排組分清;合理分類、準確分步;周密思考、防重防漏;一題多解、檢驗真?zhèn)?、不斷通過解題積累經驗,總結解題規(guī)律,掌握求解技巧,最終達到靈活運用.

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