好萊塢大片《盜夢空間》的熱映，不僅喚起了人們對夢境之謎的好奇心，而且還激發(fā)了人們對數(shù)學(xué)的興趣?！侗I夢空間》中大量運(yùn)用了數(shù)學(xué)知識(shí)，許多假設(shè)和現(xiàn)象其實(shí)都來源于現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的幾何研究。

永遠(yuǎn)沒有盡頭的樓梯

《盜夢空間》中運(yùn)用最多的就是非歐幾何。最明顯的例子就是柯布的助理阿瑟帶著夢境設(shè)計(jì)師阿里阿德妮走上一個(gè)“無限的樓梯”，走了四段，一直覺得向上卻走進(jìn)了一個(gè)死圈。初看似乎這個(gè)樓梯永遠(yuǎn)也走不完，但如果經(jīng)過仔細(xì)的觀察，會(huì)發(fā)現(xiàn)每一格的樓梯都略有向上傾斜。這其實(shí)便是畫家埃舍爾(Escher)著名的旋轉(zhuǎn)樓梯，它指出了夢中悖論的存在。埃舍爾把自己稱為一個(gè)“圖形藝術(shù)家”，他擅長利用人的視覺錯(cuò)誤，讓他的作品在三維空間里游戲。曾有人說，艾舍爾代表了非歐幾何時(shí)代的空間感知覺，其基本特征是空間的彎曲。

非歐幾何的歷史

什么是非歐幾何呢?這還要從歐氏幾何講起。公元前3世紀(jì)初，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在總結(jié)前人研究和實(shí)踐成果的基礎(chǔ)上，用演繹法敘述平面幾何原理，一般稱為“歐氏幾何”。歐幾里得提出的5條基本公理，其中前4條是容易理解的，但是，第5條平行公理卻引起人們的爭議。一些數(shù)學(xué)家認(rèn)為歐幾里得把它放在公理(公設(shè))之列，不是因?yàn)樗荒茏C明，而是找不到證明，這是歐幾里得幾何體系的唯一“污點(diǎn)”。2000多年來，許多幾何學(xué)家用不同的方法試圖證明第5公設(shè)，可是都失敗了。

高斯早在1792年，也就是他15歲時(shí)，已經(jīng)有了非歐幾何的思想。這個(gè)思想包括兩個(gè)內(nèi)容：一是他意識(shí)到除歐氏幾何外還存在一個(gè)無邏輯矛盾的幾何；二是在這幾何中歐氏幾何的平行公理不成立。從1813年起，高斯先后稱他所設(shè)想的幾何學(xué)為“星際幾何”、“非歐幾里得幾何”。高斯關(guān)于非歐幾何的思想盡管十分卓越，但他卻迫于當(dāng)時(shí)的壓力沒有及時(shí)發(fā)表，直到1829年，俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基正式出版了《論幾何學(xué)的原理基礎(chǔ)》一書，標(biāo)志著非歐幾何的誕生。非歐幾何的出現(xiàn)從根本上拓寬了人們對幾何學(xué)的認(rèn)識(shí)。引導(dǎo)人們對幾何學(xué)基礎(chǔ)的深入研究，而且對于物理學(xué)在20世紀(jì)初所發(fā)生的關(guān)于空間和時(shí)間的物理觀念的變革起了巨大推動(dòng)作用。自從愛因斯坦的廣義相對論被接受以來，人們的確已經(jīng)認(rèn)識(shí)到，在實(shí)際的宇宙之中，歐氏幾何學(xué)并非總是正確的。例如，在黑洞和中子星的周圍，引力場極為強(qiáng)烈。在這種情況下，歐氏幾何無法準(zhǔn)確地描述宇宙的情況。但是，這些情況是相當(dāng)特殊的。在大多數(shù)情況下，歐氏幾何可以給出十分近似于現(xiàn)實(shí)世界的結(jié)論。

將敵人永遠(yuǎn)困在夢中的迷宮

“非歐幾何空間”通俗地說，就是看得到盡頭，但走不到盡頭。而阿里阿德妮最終設(shè)計(jì)的那個(gè)難倒柯布的迷宮，也是用圓圈套來套去。用數(shù)學(xué)上的語言來說，真實(shí)的世界是歐氏空間，而夢中的迷宮則是建立在非歐空間。在電影的迷宮設(shè)計(jì)中，造夢師如果想把一個(gè)人困住，就要給他一種無限的錯(cuò)覺。如果是歐氏空間，就是一個(gè)平面，只能設(shè)計(jì)一個(gè)很大的圓，但人還是可能跑出去。但如果這是一個(gè)非歐空間，如球面，造夢者就可以將敵人永遠(yuǎn)困在自己設(shè)計(jì)的夢中。

鏡像——分形世界

分形幾何在影片中也有應(yīng)用。阿里阿德妮把柯布帶到一個(gè)地方，關(guān)上門，弄出兩面鏡子，兩面鏡子之中出現(xiàn)了數(shù)不清的人像。因?yàn)殓R子可以在鏡子中成像，于是就有了鏡中鏡中鏡中鏡……隨著鏡子層數(shù)的加深，鏡中像會(huì)越來越小。但即使是極小的一個(gè)像，經(jīng)過放大，里面還是有鏡中鏡中鏡中鏡……這便是幾何上被稱為分形(fractal)的結(jié)構(gòu)。我們可以將鏡中鏡看成《盜夢空間》故事結(jié)構(gòu)的一種比喻。因?yàn)殓R中可以有鏡，所以就有鏡中鏡中鏡中鏡……同樣，因?yàn)閴糁袝?huì)產(chǎn)生夢，所以有夢中夢中夢中夢……

最早的分形結(jié)構(gòu)卻不是來源于幾何，而是來源于對遞推規(guī)則的研究，具體說是微分方程的研究。分形結(jié)構(gòu)是微分方程中混沌現(xiàn)象的一種，最早認(rèn)識(shí)到混沌的人是法國數(shù)學(xué)家龐加萊。分形結(jié)構(gòu)對應(yīng)著無窮的遞歸的邏輯。物理學(xué)上的觀點(diǎn)“基本粒子可以再分”正是如此，分子分解成原子，原子分解成電子、質(zhì)子和中子，現(xiàn)代物理學(xué)再進(jìn)一步分解電子、質(zhì)子和中子。但每得到一種基本的粒子，就要將其分解成更基本的粒子，這種邏輯就決定了世界的最基本的粒子是找不到的。

做夢的時(shí)候，時(shí)間為何會(huì)被幾何級拉長?

《盜夢空間》里最有趣的一個(gè)設(shè)定就是夢中時(shí)間流逝變慢，而且隨著夢境深入幾何級變慢——如果你在夢中做夢，時(shí)間流逝的速度會(huì)更慢。譬如5分鐘的現(xiàn)實(shí)時(shí)間等于1小時(shí)的夢境時(shí)間，而5分鐘的夢境時(shí)間又等于二級夢境中的1個(gè)星期，如此類推。 其實(shí)大家可能都有體會(huì)，有時(shí)候明明覺得做了一個(gè)很長的夢，醒來之后發(fā)現(xiàn)自己只不過睡了很短的時(shí)間。曾有科學(xué)研究表明人類做夢的時(shí)間實(shí)際上很短，有的只有幾秒鐘，通常也就幾分鐘。很多人都會(huì)有類似“夢中時(shí)間變慢”的體驗(yàn)，實(shí)際上這源于我們的一種錯(cuò)覺。

事實(shí)是，不是時(shí)間變慢了，而是接受信息的速度變快了。譬如，我們在夢中從一條街走到另一條街，可能只需1秒鐘就完成了，因?yàn)槟愕哪X子根本沒有這么多資源把完成這個(gè)動(dòng)作的細(xì)節(jié)和線索組織起來，在夢中其實(shí)是“跳”過去的。而在醒過來之后，我們會(huì)用清醒時(shí)完成同樣動(dòng)作的標(biāo)準(zhǔn)去感知夢里的情節(jié)，從“跳”變成了“走”，因此就把夢境時(shí)間放大了。所以，夢境時(shí)間流逝變慢是一種錯(cuò)覺而已，是因?yàn)槲覀円郧逍褧r(shí)的時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)去感知夢中情節(jié)而產(chǎn)生的錯(cuò)誤。(文章代碼：102109)

[責(zé)任編輯]蒲暉