李冬梅,陳軍霞

(河北科技大學經(jīng)濟管理學院,河北石家莊 050018)

基于正則神經(jīng)網(wǎng)絡模型的時滯混沌系統(tǒng)預測控制

李冬梅,陳軍霞

(河北科技大學經(jīng)濟管理學院,河北石家莊 050018)

研究模型未知、不穩(wěn)定的不動點位置及其局部性態(tài)未知情形下的時滯混沌系統(tǒng)的控制問題。提出了一種神經(jīng)網(wǎng)絡預測控制方法,將模型未知時的時滯混沌運動控制到不穩(wěn)定的不動點處。分析了控制系統(tǒng)(包括觀測器、正則神經(jīng)網(wǎng)絡預測器和在線訓練的線性神經(jīng)網(wǎng)絡預測控制器)的穩(wěn)定性,與現(xiàn)有同類方法比較,本方法收斂速度快,算法簡便。仿真實驗表明了本方法的有效性。

時滯混沌系統(tǒng);混沌系統(tǒng)控制;神經(jīng)網(wǎng)絡預測控制;正則神經(jīng)網(wǎng)絡

混沌是自然界與人類社會普遍存在的運動形態(tài),近年來,混沌系統(tǒng)的控制研究得到人們越來越多的關注[1-3]。OGY法通過小參數(shù)擾動將混沌運動穩(wěn)定在嵌入于混沌吸引子中的不穩(wěn)定周期軌道(UPO)上,針對OGY法,人們進行了多種改進并應用于各種不同的混沌系統(tǒng)。由于OGY法需要已知UPO的位置及其局部線性性態(tài),因而必須事先確定UPO的位置及其局部性態(tài)。當混沌系統(tǒng)的數(shù)學模型未知時,則必須估計UPO的位置及其局部性態(tài),常導致控制效果不夠理想。

研究表明,即使是結構簡單的非線性系統(tǒng)也可能產(chǎn)生復雜的混沌行為。將時滯項引入一階系統(tǒng)便可以引起復雜的混沌運動,其原因是時滯項增加了系統(tǒng)的復雜性并使系統(tǒng)變成了無窮維。目前已發(fā)現(xiàn)許多系統(tǒng)包含時滯項。與大量的研究文章關注無時滯混沌系統(tǒng)相比,只有極少的研究涉及到時滯混沌系統(tǒng)的控制,其中BABLOYAN TS和CEL KA應用Pyragas法對混沌系統(tǒng)進行了研究[4-5],TIAN等提出了一種參考模型自適應控制方法來控制連續(xù)型時滯混沌系統(tǒng)[6],文獻[7]研究了一類時滯混沌系統(tǒng)的時滯依賴最優(yōu)保性能控制問題,文獻[8]研究了一類時滯混沌系統(tǒng)的反饋控制同步問題,文獻[9]提出了一種神經(jīng)網(wǎng)絡控制策略,用于將模型未知的時滯混沌系統(tǒng)控制到不穩(wěn)定的不動點(UFP)處,但該方法需要很長的控制時間,神經(jīng)網(wǎng)絡控制器的訓練迭代次數(shù)多。

與常規(guī)混沌系統(tǒng)相比,由于時滯混沌系統(tǒng)的復雜性,使得對時滯混沌系統(tǒng)的控制難度更大,所需控制時間更長。為了更好更快地控制時滯混沌系統(tǒng),有必要應用預測控制方法,并且采用預測性能更強的預測模型。預測控制方法包括模型預測、滾動優(yōu)化和誤差反饋校正等環(huán)節(jié),既具有預測、優(yōu)化功能,又利用了實時反饋信息,因此,它對被控系統(tǒng)有較強的控制能力。筆者將預測控制的思想引入時滯混沌系統(tǒng)的控制中,提出了一種基于預測控制的神經(jīng)網(wǎng)絡控制方法,將模型未知時的混沌運動控制到不穩(wěn)定的不動點(UFP)處。所提出的控制系統(tǒng)包括觀測器、正則神經(jīng)網(wǎng)絡預測器和在線訓練的線性神經(jīng)網(wǎng)絡預測控制器(LNPC)。本控制系統(tǒng)不需要UFP的位置及其局部性態(tài)等知識,因而能夠有效地解決模型未知、不動點位置及其局部性態(tài)未知情形下的時滯混沌系統(tǒng)的控制問題。與其他現(xiàn)有同類方法比較,本方法有更快速的響應性能,需要較短的控制時間就能實現(xiàn)時滯混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定,神經(jīng)網(wǎng)絡控制器的訓練迭代次數(shù)少,控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和神經(jīng)網(wǎng)絡預測控制器的收斂性能夠得到保證。

1 問題的描述

考慮如下時滯混沌系統(tǒng):

加入控制項后,被控時滯混沌系統(tǒng)為

其中:x(n)∈R是n時刻的狀態(tài)變量,假定它們是可觀的;u(n)∈R是n時刻的控制信號;非線性映射f:R→R是未知的;μ是未知參數(shù);時滯項τ>0也是未知的,但其上限v是已知的(τ≤v)。無控制信號時的系統(tǒng)(1)表現(xiàn)出混沌行為,系統(tǒng)(1)的不穩(wěn)定不動點xf滿足:xf=f(xf)+μxf。

本文討論只有一個不動點xf被嵌入到混沌吸引子中的情形,目標是使混沌運動被穩(wěn)定在時滯混沌系統(tǒng)的不穩(wěn)定不動點處。

2 控制系統(tǒng)

2.1 控制方法

2.1.1 觀測器

觀測器的工作情形如下:

1)利用時滯項對系統(tǒng)狀態(tài)進行重構,T

2)估計重構狀態(tài)之間的距離。

3)當此距離小于一個小閾值ε,即

時觀測器起作用,LNPC傳遞一個控制信號到混沌系統(tǒng),然后對LNPC進行訓練。當式(5)不滿足時,控制信號為零,LNPC不進行訓練。

當ε是一個小正數(shù)時,若式(5)成立,則表明混沌軌道落入了xf的小鄰域內(nèi),觀測器限定了控制器的工作,只有當重構軌道Xn落入Xf=(xfxf…xf)T的小鄰域內(nèi),控制器才傳遞一個控制信號到混沌系統(tǒng),然后按學習規(guī)則對控制器進行訓練。

2.1.2 線性神經(jīng)網(wǎng)絡預測控制器(LNPC)的輸出

經(jīng)過重構之后,混沌系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

其中非線性映射F:Rv+1→Rv+1是光滑函數(shù)。式(6)實際上是一個方程組,而其中的第1個方程:

與式(1)是等價的。加入控制項后,被控時滯混沌系統(tǒng)為

其中F1是F的第1行。

令x(nk)為訓練時刻k時滿足條件(5)的混沌軌道(k≤nk),其中nk為訓練時刻k時混沌系統(tǒng)的迭代次數(shù),LNPC的輸出為

其中k為LNPC的訓練次數(shù)(即觀測器起作用的次數(shù)),wj(k)是輸入層第j個神經(jīng)元到輸出層神經(jīng)元的連接權值,θ(k)為輸出層神經(jīng)元的偏置項,它們的值按δ規(guī)則更新。

其中:η是學習率,E(k)是誤差函數(shù),經(jīng)上述公式迭代來更新權值可以降低誤差E(k)。

2.1.3 正則神經(jīng)網(wǎng)絡預測器

在神經(jīng)網(wǎng)絡的研究中,一個重要的問題是神經(jīng)網(wǎng)絡的泛化性能,即對于其訓練集之外的樣本是否能作出正確的反應。對于大多數(shù)的學習問題,能夠獲取的學習樣本畢竟是有限的,而且還可能包括一些模糊的、甚至是帶有一定誤導性信息的樣本。如果神經(jīng)網(wǎng)絡只是記憶訓練集中的樣本,那么,對于新的樣本,其反應可能是錯誤的。導致前向網(wǎng)絡泛化性能差的重要原因是過擬合,一種有效地限制網(wǎng)絡過擬合的方法是正則化方法,即在目標函數(shù)中加入正則項。正則神經(jīng)網(wǎng)絡極大地提高了網(wǎng)絡的泛化能力,因而也改善了神經(jīng)網(wǎng)絡模型的預測性能,筆者在對未知的被控混沌系統(tǒng)進行辨識、預測時,采用了正則神經(jīng)網(wǎng)絡。

事先用神經(jīng)網(wǎng)絡對未加控制項的混沌系統(tǒng)進行辨識,然后在控制系統(tǒng)工作時在線訓練這個神經(jīng)網(wǎng)絡辨識器。設用神經(jīng)網(wǎng)絡(此處用正則神經(jīng)網(wǎng)絡)辨識出的對應系統(tǒng)(7)的模型為G,則系統(tǒng)的模型輸出為

nk+2時刻的模型輸出為

這里nk+2時刻的模型輸出的值是在nk時刻預測出的,u(nk+1)可仍取u(nk)。

考慮到模型有誤差,引入偏差項x(nk+1)-^x(nk+1),得系統(tǒng)預測輸出^xp(nk+2):

2.1.4 線性神經(jīng)網(wǎng)絡預測控制器的目標函數(shù)

控制器的目標函數(shù)(亦即訓練控制器的誤差函數(shù))為E(k)。 ΓC,ΓU為權系數(shù)。其中:

2.2 步驟

控制系統(tǒng)的工作步驟如下:

1)混沌系統(tǒng)按式(1)迭代1步;

2)如果重構軌道Xn和Xn-1滿足式(5)條件,則轉(zhuǎn)入步驟3),否則轉(zhuǎn)入步驟7);

3)按式(9)送1個控制信號U(nk),混沌系統(tǒng)按式(2)再迭代1次;

4)按式(12)和式(13)求nk+1,nk+2時刻的預測值^x(nk+1),^x(nk+2);

5)按式(10)、式(11)和式(17)在線訓練1步控制器;

6)訓練1步辨識器(輸入為Xnk,期望輸出為x(nk+1)-u(nk)),n←nk+1,回到步驟2);

7)混沌系統(tǒng)按式(1)迭代1步;

8)訓練1步辨識器(輸入為Xn,期望輸出為x(n+1)),令n←n+1,回到步驟2);

上述步驟重復進行,混沌軌道將被穩(wěn)定在期望的UFP上。

3 穩(wěn)定性分析

對于式(6),可以加上1個控制項,變?yōu)?/p>

可以看出,式(18)的第1個方程就是本文討論的情況。通過重構系統(tǒng)狀態(tài),時滯混沌系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)化為非時滯混沌系統(tǒng),因此,可以得到控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件為

其中λi(D(a))為D(a)的第i個特征值。

可以通過調(diào)節(jié)a的取值,保證|λi(D(a))|<1,從而能夠保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

4 仿真實驗

用如下時滯混沌系統(tǒng)進行仿真實驗來檢驗筆者提出的控制方法。其中p=3.5,μ=0.08,τ=1,并假定已知v=3。不加控制項時,嵌入在混沌吸引子中的不動點為xf= 0.737 1。通過調(diào)節(jié)a的取值,保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由H和J的定義知,J≈H,將H值代入到式(20)中,求得滿足穩(wěn)定性條件的a值范圍,a∈[0.000 1,11.35],說明對于較大范圍的a值,控制系統(tǒng)都能保證其穩(wěn)定性。取控制系統(tǒng)的參數(shù)為a=6.5(ΓC= 1,ΓU=6.5),η=0.01,觀測器閾值為ε=0.32。LNPC的初始權值Wij(0)和θi(0)取為[-0.01, 0.01]間的均勻分布隨機數(shù)。圖1示出了仿真實例的控制結果,可以看出對時滯混沌系統(tǒng)的控制取得了很好的效果,而且需要的控制時間較短,迭代和訓練的次數(shù)較少。當?shù)螖?shù)n= 15 000,訓練次數(shù)k=3 816時,混沌系統(tǒng)被穩(wěn)定在不動點處,而采用現(xiàn)有方法(文獻[9]中的方法),需要的迭代次數(shù)多達66 000次。

這里,迭代次數(shù)n事實上即為混沌系統(tǒng)的采樣次數(shù),n值越小,則用于穩(wěn)定時滯混沌系統(tǒng)所需的時間越短。仿真實驗表明,筆者提出的控制系統(tǒng)能夠比現(xiàn)有同類方法更快地將混沌運動穩(wěn)定到系統(tǒng)的不穩(wěn)定不動點處(按本文所作的仿真實驗來看,本文的方法比現(xiàn)有方法快3.4倍)。

圖1 時滯混沌系統(tǒng)的控制結果Fig.1 Control result of the chaotic system

5 結 語

提出了一種基于正則神經(jīng)網(wǎng)絡模型的預測控制方法,將模型未知時的時滯混沌系統(tǒng)穩(wěn)定到它的一個不穩(wěn)定不動點(UFP)處。此控制系統(tǒng)不需要UFP的位置及其局部性態(tài)等知識。與其他同類方法比較,本方法需要的控制時間較短,訓練迭代次數(shù)較少,而且算法簡便。一般情況下,通過調(diào)節(jié)a值能保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。理論分析和仿真實驗都表明,本文提出的控制系統(tǒng)能有效地解決模型未知、不動點位置及其局部性態(tài)未知情形下的時滯混沌系統(tǒng)的控制問題。

[1] 王 森,蔡 理,吳 剛.量子細胞神經(jīng)網(wǎng)絡超混沌系統(tǒng)的追蹤控制與同步[J].控制與決策(Control and Decision),2008,23(2):204-207.

[2] 趙 琰,張化光.一類參數(shù)不確定性混沌系統(tǒng)的T-S模糊控制[J].系統(tǒng)仿真學報(Journal of System Simulation),2008,20(12):3 134-3 137.

[3] 馬國進,齊冬蓮.基于狀態(tài)觀測器的混沌動態(tài)系統(tǒng)跟蹤控制[J].電路與系統(tǒng)學報(Journal of Circuits and Systems),2009,14(2):27-31.

[4] BABLOYANTSA,LOURENCO C,SEPULCHREJ A.Controlof chaos in delay differential equations,in a network of oscillatorsand in model cortex[J].Physica D,1995,86:274-283.

[5] CELKA P.Delay differential equations versus 1D-map:Application to chaos control[J].Physica D,1997,104:127-147.

[6] TIAN Yu-chu,GAO Fu-rong.Adaptive control of chaotic continuous-time systems with delay[J].Physica D,1998,117:1-12.

[7] 羅曉琴,張文安,俞 立.時滯混沌系統(tǒng)的時滯依賴最優(yōu)保性能控制[J].浙江工業(yè)大學學報(Journal of Zhejiang University of Technology),2008,36(1):52-56.

[8] 謝英慧,張化光,王福山.一類參數(shù)不確定時滯混沌系統(tǒng)的反饋控制同步[J].東北大學學報(自然科學版)(Journal of Northeastern University(Natural Science)),2008,29(5):613-616.

[9] KON ISH I K,KOKAM E H.Learning control of time-delay chaotic systems and its applications[J].Int J Bifurcation and Chaos,1998, 8(12):2 457-2 465.

Predictive control of time-delay chaotic system s based on regularized neural network model

L IDong-mei,CHEN Jun-xia
(College of Economical and Management,Hebei University of Science and Technology,Shijiazhuang Hebei 050018,China)

The control of the time-delay chaotic system is studied w hen the system model,the location of the unstable fixed point and the local dynamics at the point are unknow n.A neural p redictive control method is p roposed to control the chao tic motion in an unknow n time-delay chaotic system onto the unstable fixed point.The p roposed control system includes a watcher,a regularized neural p redicto r and an on-line trained linear neural p redictive controller.We analyze the stability of the control system.The p roposed algo rithm is simple and its convergence speed is higher than that of existing similar algorithm.The simulations demonstrate the effectiveness of the controlmethod.

time-delay chaotic systems;control of chaotic system s;neural p redictive control;regularized neural netwo rk

TP13

A

1008-1542(2010)05-0442-05

2010-03-03;

2010-05-28;責任編輯:張 軍

李冬梅(1963-),女,河北香河人,教授,博士,主要從事系統(tǒng)工程理論與應用、信息管理方面的研究。