馬愛娜,黃樟燦

(武漢理工大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系,湖北武漢 430070）

基于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的考慮遠(yuǎn)程感染的SIRS模型

馬愛娜,黃樟燦

(武漢理工大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系,湖北武漢 430070）

考慮感染節(jié)點(diǎn)以一定的概率感染其鄰居節(jié)點(diǎn)和非鄰居節(jié)點(diǎn)的實(shí)際情況,提出一種具有遠(yuǎn)程感染機(jī)制的SIRS傳染病模型,通過計(jì)算機(jī)仿真得到了最終感染密度隨感染率變化而變化的情況。研究發(fā)現(xiàn),具有遠(yuǎn)程感染的疾病,在傳播過程中隨著遠(yuǎn)程感染率的增大感染密度會(huì)變大。在現(xiàn)實(shí)中可以制定措施控制非相鄰節(jié)點(diǎn)的接觸,降低遠(yuǎn)程感染率的影響,實(shí)現(xiàn)對(duì)疾病的有效控制;同時(shí)可以通過提高未染病個(gè)體的免疫力以及加強(qiáng)染病個(gè)體的治療來更好地控制疾病的發(fā)生和傳播。該結(jié)果對(duì)于基于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的傳播控制具有重要啟示:在網(wǎng)絡(luò)信息(疾病、謠言）的傳播過程中,只要充分利用感染節(jié)點(diǎn)的信息及在傳播過程中隨機(jī)選擇少量節(jié)點(diǎn)進(jìn)行主動(dòng)感染,即可顯著增加網(wǎng)絡(luò)中感染節(jié)點(diǎn)的比例,提高網(wǎng)絡(luò)的傳播效率。

無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò);SIRS模型;遠(yuǎn)程感染;最終感染密度

疾病傳播作為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中傳播動(dòng)力學(xué)的一個(gè)分支近年來引起了眾多學(xué)者的關(guān)注,目前研究最為廣泛的疾病傳播模型是SI[1]、SIS[2]和SIR[3,4]模型。但以上模型均假設(shè)人與人之間存在接觸,通過模型的求解最終得到疾病變?yōu)榈胤讲〉膫鞑ヂ书撝?如果疾病變?yōu)榈胤讲?通過計(jì)算得到最終感染節(jié)點(diǎn)密度的一個(gè)精確值。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳播動(dòng)力學(xué)模型設(shè)定:只有存在聯(lián)系的節(jié)點(diǎn)(熟人）之間才能相互傳染疾病,而沒有聯(lián)系的節(jié)點(diǎn)(陌生人）之間不會(huì)傳染。陳關(guān)榮等提出了一種復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上具有感染媒介的SIS模型,對(duì)于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)考慮感染媒介更具有實(shí)際意義,并給出了相應(yīng)的控制策略[4];李光正等[5]提出了一類SIRS模型,證實(shí)了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上疾病傳播的決定因素是網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu);在此基礎(chǔ)上,夏承遺等[6]提出了帶有直接免疫的SIRS類傳染病模型,進(jìn)一步說明了直接免疫和免疫喪失速率對(duì)傳播臨界值的重要影響。然而,以上模型是基于熟人之間疾病才可以傳播。現(xiàn)實(shí)中熟人(有邊連接）和陌生人(無邊連接）的劃分并不確定,即網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)并非一經(jīng)確定不再改變。針對(duì)這一情況,本文提出了一種考慮陌生人可能與感染節(jié)點(diǎn)發(fā)生接觸的SIRS模型,并將其應(yīng)用于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上。

1 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上考慮遠(yuǎn)程感染的SIRS模型

在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)[7,8]上的疾病傳播過程中,由于具有冪率分布的節(jié)點(diǎn)度不具有特征標(biāo)度,因此必須考慮節(jié)點(diǎn)度的非均勻性,用 Sk(t）、Ik(t）、Rk(t）分別表示 t時(shí)刻節(jié)點(diǎn)度為k的易感類(健康）、感染類和免疫類節(jié)點(diǎn)的相對(duì)密度,則有:

而整個(gè)網(wǎng)絡(luò)感染病節(jié)點(diǎn)的比例為:

設(shè)?(t）表示t時(shí)刻一條隨機(jī)邊與染病節(jié)點(diǎn)相連的概率,且滿足?(t）=∑kk P(k）Ik/＜k＞。在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中易感節(jié)點(diǎn)(S）被其相鄰的感染節(jié)點(diǎn)(I）感染的概率(感染率）為β,而被非相鄰的感染類節(jié)點(diǎn)感染的概率(遠(yuǎn)程感染率）為β1;通過治療作用,感染類節(jié)點(diǎn)變?yōu)橐赘泄?jié)點(diǎn)的概率為δ2,轉(zhuǎn)變?yōu)槊庖哳惞?jié)點(diǎn)(R）的概率為γ;而易感節(jié)點(diǎn)通過直接免疫作用轉(zhuǎn)變?yōu)槊庖哳惞?jié)點(diǎn)的概率為α,同時(shí)免疫類節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)變成易感類節(jié)點(diǎn)的概率為δ1。各類節(jié)點(diǎn)之間轉(zhuǎn)變過程見圖1。

圖1 具有遠(yuǎn)程感染的SIRS模型的傳播過程

根據(jù)平均場(chǎng)理論及圖1中各類節(jié)點(diǎn)間的轉(zhuǎn)變過程,可以得到無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上考慮遠(yuǎn)程感染的SIRS模型:

2 模型的仿真值及其分析

通過分析式(2）,很難通過微分方程的方法求得其解析解,運(yùn)用工具M(jìn)atlab7.0求最終感染密度的仿真解,并畫出最終感染密度隨感染率β的變化圖,以下仿真的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)[7]的節(jié)點(diǎn)數(shù)均取N=3 000(節(jié)點(diǎn)數(shù)改變時(shí)可以用同樣的方法進(jìn)行仿真）。

2.1 遠(yuǎn)程感染率β1對(duì)感染密度的影響

取γ=0.02、δ1=0.1、δ2=0.02、α=0.1而β1分別為0、0.1、0.4時(shí),最終感染密度隨感染率β的增大而增大(圖2）。當(dāng)感染率較小時(shí),遠(yuǎn)程感染對(duì)最終感染密度的影響非常明顯,尤其當(dāng)感染率為0時(shí),最終感染密度會(huì)隨著遠(yuǎn)程感染率的增大而明顯增大;而當(dāng)感染率較大時(shí)(如β≥0.3）,遠(yuǎn)程感染率對(duì)最終感染密度的影響不明顯。因此為了更好地控制疾病的傳播,應(yīng)考慮遠(yuǎn)程感染的影響,并加強(qiáng)對(duì)非鄰居節(jié)點(diǎn)的控制。

圖2 遠(yuǎn)程感染率的影響

2.2 直接免疫率α對(duì)感染密度的影響

取γ=0.02、δ1=0.1、δ2=0.02、β1=0.1而直接免疫率α分別為0、0.1、0.4時(shí),最終感染密度隨感染率β的變化如圖3所示:在疾病感染率小于0.3時(shí),直接免疫率對(duì)最終感染密度有著重大影響,最終感染密度隨著直接免疫率的增大而變小,說明在疾病的傳播強(qiáng)度(傳染率）較小時(shí),可以通過直接免疫的方法加強(qiáng)對(duì)疾病傳播的控制。

圖3 直接免疫率的影響

2.3 治療作用對(duì)感染密度的影響

取δ1=0.1、δ2=0.02、β1=0.1、α=0而γ分別為 0、0.01、0.1時(shí),最終感染密度隨感染率的變化如圖4:當(dāng)感染率不變時(shí),隨著γ的增大感染密度越來越小。因此可以通過治療作用來增大參數(shù)γ的值,從而有效控制疾病的傳播。

圖4 γ的影響

取參數(shù)γ=0.1、δ2=0.02、α=0而δ1分別為0、0.01、0.1時(shí),最終感染密度隨感染率的變化如圖5:隨著δ1的增大感染密度越來越小?？梢?通過有效的治療作用可以控制疾病的傳播和發(fā)展。

圖5 δ1的影響

3 結(jié)論

本文提出了一種考慮感染節(jié)點(diǎn)以一定的概率感染其鄰居節(jié)點(diǎn)及其非鄰居節(jié)點(diǎn)的SIRS模型,并將其應(yīng)用在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上。實(shí)驗(yàn)表明,感染密度隨著感染率的增大逐漸增大,并且可以預(yù)測(cè)一種疾病是否會(huì)變?yōu)榈胤讲?如果變?yōu)榈胤讲?可以發(fā)現(xiàn)其影響的嚴(yán)重程度,從而有效控制疾病的大肆傳播。本文基于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上具有遠(yuǎn)程感染機(jī)制的SIRS模型的仿真結(jié)果對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活具有重要意義,對(duì)于考慮遠(yuǎn)程感染機(jī)制的其他模型及在其它網(wǎng)絡(luò)上的應(yīng)用有待于進(jìn)一步研究。

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馬愛娜(1984-）,女,碩士研究生,主要研究方向?yàn)橄到y(tǒng)控制及優(yōu)化。E-mail:xiaomaaing@163.com