沈彩霞,夏利猛

(江蘇大學(xué)理學(xué)院,江蘇鎮(zhèn)江 212013)

一類Cartan型余分裂李代數(shù)的例子

沈彩霞,夏利猛

(江蘇大學(xué)理學(xué)院,江蘇鎮(zhèn)江 212013)

研究了正特征域上的一類Cartan型單李代數(shù),得到了這類李代數(shù)的余分裂結(jié)構(gòu),同時(shí)得到了一類非半單的余分裂李代數(shù).這一結(jié)果無(wú)法使用Carsimir算子方法得到.

余分裂;半單李代數(shù);對(duì)偶;正特征域

0 引言

在文獻(xiàn)[1]中,作者介紹了余分裂李代數(shù)的概念,即在李代數(shù)結(jié)構(gòu)上帶有一個(gè)容許的李余代數(shù)結(jié)構(gòu),簡(jiǎn)單地說(shuō),一個(gè)李余代數(shù)就是滿足下面條件的三元組(L,μ,δ):

(1)(L,μ)是一個(gè)李代數(shù);

(2)(L,δ)是一個(gè)李余代數(shù);

(3)(容許條件)μ°δ=idL.

特別是對(duì)于復(fù)半單李代數(shù)來(lái)說(shuō),它們的伴隨作用就是一個(gè)李余代數(shù)的余乘法運(yùn)算,可以配以適當(dāng)?shù)南禂?shù)使之滿足余分裂李代數(shù)的容許條件,在文獻(xiàn)[1]中已經(jīng)證明了這一結(jié)果.

文獻(xiàn)[1]中,得到了特征零的代數(shù)閉域上的余分裂定理,通過(guò)余分裂結(jié)構(gòu)建立了Killing型和伴隨作用之間的關(guān)系.

任意有限維復(fù)單李代數(shù)具有余分裂結(jié)構(gòu).設(shè)Xl型李代數(shù)是sln的子李代數(shù)L,則

其中,B表示sln的對(duì)偶空間到sln的同構(gòu),實(shí)際上和sln的Killing型有關(guān),δres是X l的余乘法,等式右端則是Xl的伴隨表示.

在文獻(xiàn)[2]中,作者用Casimir算子(相關(guān)內(nèi)容可見文獻(xiàn)[3])和非退化對(duì)稱不變雙線性型的觀點(diǎn)解釋了余分裂性質(zhì),并將余分裂李代數(shù)的結(jié)構(gòu)推廣到了一般特征域上具有非退化對(duì)稱不變雙線性型的所有李代數(shù)上.在文獻(xiàn)[4-5]中,余分裂的結(jié)構(gòu)分別被推廣到A(m,n)和一般具有非退化Killing型的李超代數(shù)上,使有關(guān)余分裂內(nèi)容的研究更加豐富.

現(xiàn)在已知的余分裂單李代數(shù)的例子中(還有一些非半單的例子),無(wú)論零特征還是正特征,只有典型李代數(shù)的情形存在(A,B,C,D,E,F,G型在適當(dāng)?shù)奶卣饔蛏?.一個(gè)很自然的問題是,一般的Cartan型沒有非退化對(duì)稱不變雙線性型,是否存在余分裂結(jié)構(gòu)呢?

另外,假設(shè)L是一個(gè)特征p(p＞2)域上的Cartan型單李代數(shù),沒有非平凡的不變雙線性型,則它和其對(duì)偶作為L(zhǎng)模一定不是同構(gòu)的.否則可定義同構(gòu)映射

由于

因此在L上定義了一個(gè)非退化的對(duì)稱不變雙線性型,顯然是矛盾的.因而作為L(zhǎng)-模L和L＊是不同構(gòu)的.

當(dāng)L是余分裂的,則L＊也是余分裂李代數(shù),那么L和L＊作為李代數(shù)一定是不同構(gòu)的,因此另外一個(gè)問題是L＊會(huì)是什么樣的?一定也是單李代數(shù)嗎?

在本文中,我們將構(gòu)造一類Cartan型單李代數(shù)的余分裂結(jié)構(gòu),特別是它們的對(duì)偶不再是單李代數(shù)的(甚至不是半單的).

1 一個(gè)李余代數(shù)的例子

在我們的構(gòu)造中,一個(gè)李余代數(shù)的結(jié)構(gòu)起到了重要的作用.設(shè)犉是一個(gè)特征不等于2的數(shù)域,在線性空間L=spanF{e,f,h,u,v}上定義余乘法:

2 一類Cartan型的余分裂李代數(shù)

引理得證.

其中每個(gè)M r均是sl2的自然表示,并且[M r,M s]=0.

注2.1在以往有關(guān)余分裂李代數(shù)的工作中,有一大部分單李代數(shù)被證明是余分裂的,而它們由于都具有非退化對(duì)稱不變雙線性型,因而都是自對(duì)偶的,或者說(shuō)還不知道是否能有其他的余分裂結(jié)構(gòu)(余分裂是否唯一的問題).而本文中給出的例子拓展了這方面的研究范圍,即某些單余分裂李代數(shù)的對(duì)偶不再是(半)單的,某些半單李代數(shù)與某些非半單李代數(shù)之間存在的密切聯(lián)系將是一個(gè)比較有意義的問題。

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[2] FARNSTEINER R.Lie algebras with a coalgebra splitting[J/OL].Algebra and Rep resentation Theory,to appear,DOI 10.1007/s10468-009-9178-x-0.

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A class of co-split L ie algebras of Cartan type

SHEN Cai-Xia,XIA Li-meng

(College of Science,Jiangsu University,Zhenjiang 212013,China)

In this paper,a classof Cartan type simp le Lie algebras are studied and their co-sp lit stucture is obtained,aswell as a class of non-semi-simp le co-sp lit Lie algebras are given.

co-sp lit;semi-simp le Lie algebras;duality;positive characteristic field

O 152.5

110·2125

A

1000-1832(2010)04-0017-04

2010-04-12

國(guó)家自然科學(xué)基金天元基金資助項(xiàng)目(10726036);國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金資助項(xiàng)目(11001110);江蘇大學(xué)高級(jí)人

才啟動(dòng)資金資助項(xiàng)目(07JDG035,07JDG038);江蘇大學(xué)博士后基金資助項(xiàng)目(1143001034).

沈彩霞(1977—),女,博士,講師;夏利猛(1976—),男,博士,副教授,主要從事李代數(shù)及其表示理論研究.

(責(zé)任編輯:陶 理)