王 濤 馬程遠

(1.華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部,北京東燕郊 101601;2.廊坊市第一中學(xué),河北廊坊 065000)

離散型隨機變量的概率密度函數(shù)及其應(yīng)用①

王 濤②馬程遠

(1.華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部,北京東燕郊 101601;2.廊坊市第一中學(xué),河北廊坊 065000)

利用單位脈沖函數(shù)定義了離散型隨機變量的概率密度,給出離散型隨機變量與其獨立的連續(xù)型隨機變量和分布的計算公式,且證明其和分布不可能為正態(tài)分布。

單位脈沖函數(shù);隨機變量;概率密度;正態(tài)分布

單位脈沖函數(shù)又稱D irac函數(shù),簡單記成δ(t)·δ(t)是一個廣義函數(shù),在廣義函數(shù)論中, δ(t)為某基本函數(shù)空間上的線性連續(xù)泛函,滿足下面兩個條件

單位脈沖函數(shù)有以下基本性質(zhì)：

①設(shè)f(t)是定義在(-∞,+∞)上的有界函數(shù),且在t=t0處連續(xù),則

我們用δ(t)函數(shù)來定義離散型隨機變量的概率密度

這樣定義的離散型隨機變量的概率密度,既和離散型隨機變量的分布律不會產(chǎn)生矛盾,又能和連續(xù)型隨機變量的概率密度統(tǒng)一起來.在計算離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量的和的分布及乘積的期望等問題時,將變得方便許多。

因此,假設(shè)錯誤,命題得證.

注：當(dāng)離散型隨機變量X為單點分布,Y為正態(tài)隨機變量,且X與Y相互獨立時,則有隨機變量Z=X+Y是正態(tài)隨機變量.

(2)我們再用反證法來證明定理2

假設(shè)隨機變量Z=X+Y是正態(tài)隨機變量,概率密度為fz(t),則

兩邊同時對任意正態(tài)隨機變量的密度函數(shù)g(t)作卷積得

又(1)知fX(t)＊g(t)不是正態(tài)隨機變量的概率密度,而fZ(t)＊g(t)是正態(tài)隨機變量的概率密度,由引理4知[fX(t)＊g(t)]＊fY(t)不是正態(tài)隨機變量的概率密度.

故假設(shè)錯誤,定理2得證.

設(shè)Y是連續(xù)型隨機變量,若存在與其獨立的離散型隨機變量X,使得Z=X+Y與Y是同型分布,稱隨機變量Y有廣義再生性.由結(jié)論2知,正態(tài)隨機變量不具有廣義再生性.可以驗證均勻分布有廣義再生性,例如Y服從(0,1)上均勻分布; X服從兩點分布,分布律為p{X=0}=p{X=1} =0.5,則Z=X+Y服從(0,2)上的均勻分布.

[1] 嚴士健,王雋驤,劉秀芳.概率論基礎(chǔ)[M].北京：科學(xué)出版社,1999,178.

[2] 張元林.積分變換[M](第四版).北京：高等教育出版社,2003,142：41-42.

[3] 王梓坤.概率論基礎(chǔ)及其應(yīng)用.[M]北京：北京師范大學(xué)出版社,1996,136.

[4] 楊豐凱.離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量之和的分布.吉林師范大學(xué)學(xué)報[J],2005, 11：95-96.

The Probability density of discrete random variable and its Application

WANG Tao1,MA Chengyuan2

(1.Department ofBasic Courses,North China Institute Of Science And Technology,Yanjiao Beijing-East 101601;2.The firstmiddle school ofLang Fang,Langfang Hebei 065000)

We define the Probability densityof discrete random variablewithDirac function,give away to calculate the distribution of sum of a discrete random variable and a continuous random variable,when they are independent,and proof its not nor mal distribution.

Dirac function;Random variable;Probability density;Normal distribution

0174

A

1672-7169(2010)01-0088-02

2009-10-21

王濤(1972-),男,河北遷安人,首都師范大學(xué)在讀碩士,華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部講師,研究方向：隨機圖。