劉 杰

（三明職業(yè)技術(shù)學(xué)院 ,福建三明 365000）

關(guān)于 Diophantine方程 x3+1=111y2

劉 杰

（三明職業(yè)技術(shù)學(xué)院 ,福建三明 365000）

應(yīng)用遞歸序列、同余式證明了丟番圖方程x3+1=111y2僅有整數(shù)解（x,y）=（-1,0）.

丟番圖方程;整數(shù)解;遞歸數(shù)列;平方剩余

對于丟番圖方程x3±1=Dy2（D>0）的整數(shù)解,曾有多人進(jìn)行過研究,如曹珍富[1],柯召,孫琦[2]等人,但當(dāng)D有 6k+1素因數(shù)時,方程求解較為困難,文獻(xiàn)[3]討論了方程x3+1=Dy2當(dāng) 0100情形,則較少研究,特別當(dāng)D既含 3因數(shù)又含6k+1形因數(shù)時要分多種情形討論,研究更為繁難.筆者利用余模定向法[8]研究丟番圖方程x3+1=111y2的整數(shù)解問題,其中 111既含有 6k+1因子,又含有 3的因子,證明了丟番圖方程x3+1=111y2的全部整數(shù)解僅為（-1,0）.

引理 1[1]x2-3y4=1僅有整數(shù)解（x,y）=（±2,±1）,（±7,±2）,（1,0）,（-1,0）.

引理 2[1]4x4-3y2=1僅有整數(shù)解（x,y）=（1,1）,（-1,-1）,（1,-1）,（-1,1）.

1 主要結(jié)果

定理1 不定方程

僅有整數(shù)解（x,y）=（-1,0）.

證明 因為（x+1,x2-x+1）=1或 3,又111,所以不定方程（1）有下列 8種分解:

下面分別對 8種情形進(jìn)行討論.

（Ⅰ）此時分解方程為x+1=111u2,x2-x+1=v2,y=uv.

對于遞歸式（12）有

對于遞歸式（12）在 2u2=±Xn+3中,由于X-n-1=21U-n-1+222V-n-1=21（295Un+28×111Vn）-222（28Un+295Vn）=-21Un-222Vn=-Xn,故只要考慮 2u2=Xn+3,nZ,n≥0的情況.由（13）式2u2=21Un+222Vn+3顯然有Xn≡（-5）n（mod 16）.

若n≡1（mod 2）,則Xn≡-5≡11（mod 16）,從而 2u2≡14（mod 16）即u2≡7（mod 8）不可能成立.

故n必須為偶數(shù),

1）當(dāng)n≡0（mod 4）時,Xn≡1（mod 10）.此時 2u2≡Xn+3≡4（mod 10）即u2=2（mod 5）也不可能成立.

2）當(dāng)n≡2（mod 4）時,由（17）式有

此時,2u2≡-Xn+3≡-21+3≡-18（mod 295）,據(jù) jacobi符號法則,因為（2u2/295）=（2/295）= （-1）294×296/8=1,而（-18/295）=（-1/295）（2×32/295）=（-1）（2/295）=（-1）×1=-1矛盾.

故（Ⅱ）情形原方程無整數(shù)解.

（Ⅲ）此時分解方程為x+1=3u2,x2-x+1=37v2,y=uv.

解 對于x+1=3u2,x2-x+1=37v2,后式化為（2x-1）2-37（2v）2=-3,由x=3u2-1代入后得

2）現(xiàn)考慮n≡±1（mod 4）時情形,容易驗證下列關(guān)系式成立:

①當(dāng)n≡1（mod 4）時有Vn≡1（mod 8）,此時 222u2≡1+Vn（mod 8）≡2（mod 8）,即 3u2≡1（mod 4）不可能成立.

②當(dāng)n≡-1（mod 4）時,設(shè)n=4m-1,則

其中u=2ab.把（19）式的前式代入,由引理2得V2m-1=±1,即m=0或 1,但當(dāng)m=1時,不適合（19）式的后式.而當(dāng)m=0時,（19）式中b=0,從而u=0,這就給出了（1）式的平凡解（-1,0）.（20）式中V2m=2b2=2UmVm得UmVm=b2.因為（Um,Vm）=1,所以可設(shè)Um=c2, Vm=d2代入得c4-3（d2）2=1,據(jù)方程x4-Dy2=1[2]的結(jié)果有d=0,從而b=0,V2m=0,m=0,但不適合（20）式的前式,故（20）式無解.而（21）式的前式V2m-1≡2（mod 8）≠6a2≡6,0（mod 8）,故（21）式不成立.對于（22）式,由后式得V2m=6b2=2UmVm,即 3UmVm=9b2,于是Um=c2,3Vm= （3d）2,b=3cd,從而c4-3（3d2）2=1.據(jù)方程x4-Dy2=1的結(jié)果[2],必有d=0,從而b=0,V2m=0,得m=0,但不適合（22）式的前式,故此時無解.

綜合以上各項討論,這樣（Ⅳ）就只有（1）式的平凡解（x,y）=（-1,0）.

（Ⅴ）此時分解方程為x+1=37u2,x2-x+1=3v2,y=uv.

下面對n≡1（mod 2）,即n≡±1（mod 4）情形進(jìn)行討論:

討論情況完全與 （Ⅳ）的情形（2）相同,只要將這里的p看成u即可.于是得到（1）的平凡解（x,y）= （-1,0）.

（Ⅵ）此時分解方程為x+1=3u2,x2-x+1=333v2,y=3uv.

解 對于x+1=3u2,x2-x+1=333v2后式可化為（2x-1）2+3=333（2v）2,x=3u2-1代入得（6u2-3）2-37（6v）2=-3.

此時完全類似于（Ⅲ）的討論得原方程無整數(shù)解.

（Ⅶ）此時分解方程為x+1=9u2,x2-x+1=111v2,y=3uv.

（Ⅷ）此時分解方程為x+1=111u2,x2-x+1=9v2,y=3uv.

解 對于x+1=111u2,x2-x+1=9v2后式化為（2x-1）2-9（2v）2=-3,把x=111u2-1代入得（222u2-3）2-（6v）2=-3,設(shè)X2-Y2=-3得X+Y=1,-3,X-Y=-3,1或X+Y=-1,3,XY=3,-1解得X=1,-1,從而x=0或 1都使得u,v無整數(shù)解,故原方程無整數(shù)解.

由以上 （Ⅰ）～（Ⅷ）的討論知方程（1）僅有整數(shù)解 （-1,0）,定理證畢.

[1]曹珍富.丟番圖方程引論[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,1989.

[2]柯召,孫琦.談不定方程[M].上海:上海教育出版社,1980.

[3]倪谷炎.關(guān)于不定方程x3+1=Dy2[J].哈爾濱師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,1999,36（3）:13-15.

[4]樂茂華.聯(lián)立 Pell方程組的解數(shù)[J].吉首大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2003,24（2）:1-9.

[5]羅明.關(guān)于不定方程x3+1=7y2[J].重慶師范學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2003,20（1）:5-7.

[6]楊麗芬.關(guān)于丟番圖方程x3+1=Dy2[J].哈爾濱師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,1995,32（4）:32-36.

[7]段輝明.關(guān)于不定方程x3+1=38y2[J].華東師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2006（1）:35-39.

[8]劉杰.關(guān)于丟番圖方程x3+1=201y2[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2009,27（5）:761-763.

On the D iophantine Equationx3+1=111y2

L IU Jie

（SanmingVocational and Technical College,Sanming 365000,China）

In this paper,itwas proved that the Diophantine Equationx3+1=111y2has only integer solutions:（x,y）=（-1,0）.

Diophantine Equation;integer solution;recurrent sequence;guadratic remainder

O 156

A

1004-1729（2010）03-0205-04

2010-06-23

劉杰（1973-）,男,福建寧化人,三明職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師.