錢 萍,王惠南

(南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院,南京 210016)

0 引 言

RVD測量技術(shù)是空間交會對接中一項十分重要的關(guān)鍵技術(shù)[1]。目前國內(nèi)外研究的主要方法有GPS導(dǎo)航、微波雷達(dá)、紅外跟蹤、以及以CCD相機(jī)為光學(xué)成像敏感器的計算機(jī)視覺測量方法等。采用CCD光學(xué)成像方法來實現(xiàn)兩航天器(目標(biāo)器、追蹤器)間相對位姿參數(shù)的測量,即在追蹤器上安裝CCD相機(jī),在目標(biāo)航天器上安裝幾何形狀及尺寸已知的特征點,通過對特征點在CCD上成像的分析和計算就可以確定兩航天器的相對位置和姿態(tài)[2]。國內(nèi)外學(xué)者對這方面已經(jīng)做了大量研究[3-4],其中最傳統(tǒng)的方法是利用單CCD進(jìn)行測量。然而,由于這種算法的基本方程為二次非線性方程,無直接解析解,需迭代求數(shù)值解,因此迭代求解的收斂性和速度將極大影響測量的實時性和準(zhǔn)確性[5]。所以近年來人們提出雙目視覺的測量方法,其基本方程為線性方程,存在解析解,所以計算過程簡單,測量精度高,故理論上該模型優(yōu)于單攝像機(jī)的模型。但雙目視覺測量在工程應(yīng)用中存在一個重要技術(shù)難點,即圖像的匹配問題。有研究表明,在攝像機(jī)標(biāo)定的情況下,特征像點的定位匹配誤差是引起位置測量誤差的主要原因。而兩航天器的相對姿態(tài)是通過特征點的空間位置來確定的,因此姿態(tài)誤差最終也歸咎于特征像點的定位匹配誤差[5]。為解決上述問題,本文提出利用三目視覺的方法來測量兩航天器間的相對位姿參數(shù),既避免了單目測量中需要迭代求解二次非線性方程的實時性、準(zhǔn)確性及收斂性問題,又有效地減小了雙目測量中因圖像匹配而帶來的定位誤差與姿態(tài)誤差。除此之外,三目測量亦是一種冗余度技術(shù),使測量系統(tǒng)更加安全可靠,這在航天技術(shù)應(yīng)用中自然是一個首要問題。

1 三目視覺相對位姿確定算法

1.1 四種坐標(biāo)系的定義

為了便于闡述和分析,建立追蹤器坐標(biāo)系O(X,Y,Z)、攝像機(jī)坐標(biāo)系Oc(Xc,Yc,Zc)、像墻面坐標(biāo)系Oo(u,v)和目標(biāo)航天器坐標(biāo)系o(x,y,z),分別定義如下:

(1)圖像坐標(biāo)系Oo(u,v):是以像素為單位表示的圖像坐標(biāo)系,原點Oo位于圖像的一個頂點,(u,v)表示每一像素在圖像中的列數(shù)和行數(shù),圖像中心點O1的圖像坐標(biāo)為(uo,vo);

(2)攝像機(jī)坐標(biāo)系Oc(Xc,Yc,Zc):原點Oc定義為攝像機(jī)光心,Xc軸和Yc軸分別與圖像的u軸和v軸平行,Zc軸為攝像機(jī)的光軸,它與圖像平面垂直。光軸與圖像平面的交點,即為圖像平面的中心點 O1。|OcO1|即為攝像機(jī)焦距 f。

(3)追蹤器坐標(biāo)系O(X,Y,Z):該坐標(biāo)系定義在追蹤器上,其原點定義在追蹤器質(zhì)心,其X軸、Y軸、Z軸可根據(jù)追蹤器的形狀來規(guī)定,攝像機(jī)坐標(biāo)系Oc與追蹤器坐標(biāo)系固聯(lián)。

(4)目標(biāo)器坐標(biāo)系o(x,y,z):該坐標(biāo)系定義在目標(biāo)特征光點上,其x,y,z軸可根據(jù)具體特征光點的設(shè)置而定,本文中參見圖1.四個特征點A、B、C、D構(gòu)成正方形,故將原點o定義為正方形中心,x軸系。各坐標(biāo)系見圖1。

圖1 各坐標(biāo)系的定義及特征點的設(shè)置Fig.1 Definition of the four coordinate systems and configura-tion of reference points

1.2 三目視覺測量原理

利用 C1,C2,C3三臺攝像機(jī)成像平面上投影點。若沒有任何誤差存在,圖示三條直線 Oc1P1,Oc2P2,Oc3P3應(yīng)交于空間同一點(即P點)。但實際上,由于攝像機(jī)標(biāo)定誤差,特征像點的定位匹配誤差等,使得這三條直線交于空間三點,即P1,P2和P3,它們分別為直線Oc1P1,Oc2P2和Oc3P3的兩兩交點,其坐標(biāo)值可以由雙目視覺的特征點定位算法給出。

三目視覺測量原理見圖2。

假設(shè)P點在追蹤器下坐標(biāo)為P(X,Y,Z),則其估計值應(yīng)滿足目標(biāo)函數(shù)

由上式確定的P點坐標(biāo)即可認(rèn)為是P點真實坐標(biāo)的最優(yōu)估計。具體過程如下:

圖2 三目視覺定位原理Fig.2 Trinocular vision positioning

式(2)(3)(4)中 (ui,vi,1,i=1,2,3分別為點 P′1,P′2和 P′3在各自圖像坐標(biāo)系中的齊次坐標(biāo),(X,Y,Z,1)為點P在追蹤器坐標(biāo)系下的齊次坐標(biāo)。設(shè)點P1,P2,P3在追蹤器坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別為Pi(Xi,Yi,Zi),i=1,2,3。由雙目視覺定位算法[7]可以得到該坐標(biāo)的最小二乘結(jié)果為:

式(5)中P點在追蹤系坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(X,Y,Z),則其估計值應(yīng)滿足目標(biāo)函數(shù)

要滿足式(6)只需同時滿足下列條件:

由各變量與算術(shù)平均數(shù)的離差平方和最小,可知最優(yōu)的X,Y,Z值為

上式即為P點在追蹤器坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值P(X,Y,Z)的最優(yōu)估計。

與單目視覺算法相比較,利用三目視覺定位,每個特征點都可以得到其唯一確定的位置坐標(biāo),由于求解的都是線性方程,存在解析解,故無需迭代求解。與雙目視覺測量算法相比,三目視覺算法也有明顯的優(yōu)勢。一方面,通過方差處理,提高了特征點的定位精度。另一方面,有研究表明,利用三目視覺的方法從圖像中提取特征點并通過圖像匹配來獲得這些特征點的空間坐標(biāo)的方法,可以大大減少匹配的時間以及誤匹配的可能性[8]。除此之外,三目測量亦是一種冗余度技術(shù)的應(yīng)用,三臺攝像機(jī)互為備份,當(dāng)有一臺出現(xiàn)故障后,另兩臺可利用雙目算法繼續(xù)完成測量任務(wù),增加了測量系統(tǒng)安全可靠性,這在航天技術(shù)應(yīng)用中也是至關(guān)重要的。綜上所述,三目視覺測量方法要優(yōu)于單、雙目測量。

1.3 相對位置和相對姿態(tài)的計算

通過上述方法求得各特征點在追蹤器坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)后,我們就可以通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換進(jìn)一步求得追蹤航天器和目標(biāo)航天器之間的相對位置和相對姿態(tài)。

如圖1所示,目標(biāo)航天器上設(shè)置的4個特征光點A,B,C,D位于同一平面中并構(gòu)成正方形,可得目標(biāo)中心位置Op(Xop,Yop,Zop)為[7]

目標(biāo)的姿態(tài)以歐拉角 φx,φy,φz表示,它們分別表示目標(biāo)器坐標(biāo)系與追蹤器坐標(biāo)系三個軸之間的相對旋轉(zhuǎn)角[7],即

式(10)中L=|AB|為正方形的邊長。

2 基于三目光學(xué)測量的建模與誤差分析

2.1 運動參數(shù)簡化模型

為了更清楚地了解上述過程的物理意義,同時便于誤差分析和簡化計算,下面我們討論在一種簡單的攝像機(jī)配置下的空間點重建,如圖3所示。

圖3 三攝像機(jī)的簡單配置Fig.3 A simple configuration of the three cameras

有3臺CCD攝像機(jī)C1,C2和C3,對空間點P同時進(jìn)行觀測,并假設(shè):

(1)焦距f相等,內(nèi)外參數(shù)已標(biāo)定且均相等。

(2)三攝像機(jī)光軸互相平行,C1,C2的X軸互相重合,C2,C3的Y軸互相重合。

(3)攝像機(jī)C1和C2間距為b1(稱為水平基線horizontal baseline長度),C2和C3之間間距為b2(稱為垂直基線vertical baseline長度),即C1沿X軸右移距離b1后與C2重合,C2沿Y軸下移距離b2后與C3重合。

(4)P1,P2,P3三個像點已精確匹配,對應(yīng)空間同一點P。

所以,若特征點P點在攝像機(jī)C1坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值為(X1,Y1,Z1),則其在C2坐標(biāo)系的坐標(biāo)值即為(X 1-b1,Y1,Z 1),在 C3坐標(biāo)系的坐標(biāo)值即為(X1,Y1-b2,Z1)。

說明:由于攝像機(jī)是固定在追蹤器上,攝像機(jī)坐標(biāo)系和追蹤器坐標(biāo)系之間的相對位置和姿態(tài)在運動過程中是保持不變的,所以為了方便,我們僅需考慮目標(biāo)器坐標(biāo)系與攝像機(jī)坐標(biāo)系之間的相對位置及姿態(tài)的測量。

在上述約束條件下,由針孔模型[6]的比例關(guān)系可得:

式(11)至(16)中,uo,vo,αx,αy為攝像機(jī)內(nèi)部參數(shù),uo,vo為圖像中心點在像平面坐標(biāo)系中的坐標(biāo),αx=f/d x,αy=f/d y,這里 f是攝像機(jī)焦距,d x,d y為每一個像素在u軸和v軸方向上的實際物理尺寸。(u1,v1),(u2,v2)和(u3,v 3)分別為點 P1,P2,P3的圖像坐標(biāo)。

下面由方程(11)～(16)來求解(X1,Y1,Z1)。顯然,理論上有:u1=u3,v 1=v2由方程(11)/(13)得

同理有

或表示為

式(17)至(20)中,u1-u2稱為水平視差(horizontal disparity),v1-v3稱為垂直視差(vertical disparity),視差是由于攝像機(jī)位置不同使同一點P在圖像中的投影點不同引起的。由式(19)或(20)可知,P點距離越遠(yuǎn)(即Z1越大),視差越小。當(dāng) P點趨于無窮遠(yuǎn)時,Oc1P1,Oc2P2與Oc3P3趨于平行,視差趨于0。

2.2 針對簡化模型的誤差分析

針對式(17)至(20)建立的測量模型,對其進(jìn)行誤差分析。首先分析X方向,由于

所以:

所以有:

同理分析Y方向,由于

所以:

同理分析Z方向,由于

所以:

式(21)至(29)中,d u1,d u2,d u3,d v1,d v2,d v3分別為特征點在三個攝像機(jī)相平面上的像點的匹配誤差,由于d u1,d u2,d u3,d v1,d v2,d v3是統(tǒng)計獨立的,可設(shè)d u1=d u2=d u3=d v1=d v2=d v3,即D(u1)=D(u2)=D(u3)=D(v1)=D(v2)=D(v3)=D(u),對上面各式兩邊分別取方差,則X方向的定位誤差為:

Y方向的定位誤差為:

Z方向的定位誤差為:

由此對式(9)兩邊取方差得到兩航天器間相對位置的誤差[5]為:

同理對式(10)取方差得到兩航天器間相對姿態(tài)的誤差[5]為:

3 仿真結(jié)果及比較分析

為驗證本文所提出的三目視覺測量算法的有效性,利用Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真。仿真條件如下:

攝像機(jī)焦距f=1,即采用歸一化的圖像坐標(biāo);

圖像分辨率4000*3000;

每像素物理尺寸:12μm×12μm;

特征點匹配誤差:0～5像素;

三臺攝像機(jī)相對位置:b1=0.4 m,b2=1 m;

四個特征點構(gòu)成的正方形邊長:L=2m假設(shè)某特征點在追蹤系中精確位置為X=-1,Y=1,Z=100,匹配誤差在0～5像素之間變化,分別利用雙目和三目視覺算法確定該點在追蹤系下的坐標(biāo)值,分別得其X,Y,Z三個方向定位的誤差結(jié)果見圖4。

圖4 空間點定位誤差與匹配精度的關(guān)系曲線Fig.4 Relation curve between positioning deviation of a reference point and its matching error

由圖4我們可以看到,在特征像點匹配誤差相同的情況下,通過三臺攝像機(jī)觀測得到的每個特征點的定位誤差均比雙目視覺算法的誤差小。并且通過計算得知,在該位置上X,Y,Z方向的誤差分別減小了16.37%,66.47%,19.76%。經(jīng)大量數(shù)據(jù)仿真發(fā)現(xiàn),對于空間其他位置上的特征點的定位也有相同結(jié)論,故不再列出類似圖形曲線。所以,我們可以得出結(jié)論:與雙目視覺測量方法相比,三目視覺測量可以有效減小特征點的定位誤差,尤其是在Y方向上定位精度顯著提高。這一結(jié)論具有一般普遍性,可以從以下兩方面加以解釋。直觀上,通過比較三目(即圖3)與雙目攝像機(jī)配置圖[7]可以發(fā)現(xiàn),三目配置實際是在雙目的基礎(chǔ)上在Y方向上增加一臺攝像機(jī);理論上,通過比較式(17)至(19)與雙目視覺的定位方程[5]可見,Y方向的定位算法有了較大改進(jìn),而X,Z方向的仍然相似。即在X、Z方向的定位上,算法沒有變化,僅僅是由于增加了一個冗余CCD后求平均使得精度有所提高。而對于Y方向,算法有了改進(jìn)。雙目視覺的定位方程中,u1,u2,v 1三個測量量都會引入誤差,而三目視覺中Y的誤差來源僅有v1和v3兩項。由于在2.2節(jié)中已假定每個測量量引入的誤差相同,所以三目視覺算法在Y方向上的定位精度提高幅度大于X和Z方向。

4 結(jié) 論

本文主要針對航天器交會對接過程中目標(biāo)航天器與追蹤航天器間的相對位置和姿態(tài)的測量問題,采用CCD攝像機(jī)作為傳感器的光學(xué)方法,獲得了較好的結(jié)果。文章在總結(jié)了單雙目測量方法優(yōu)缺點的基礎(chǔ)之上,提出了三目視覺的測量方法,闡述了其基本原理,建立了數(shù)學(xué)模型,并對測量系統(tǒng)中的誤差進(jìn)行了分析。文章最后通過Matlab仿真,對三目視覺的定位誤差與雙目視覺做了定量的比較。仿真結(jié)果表明三目視覺的測量方法有效。與單目視覺測量相比,三目視覺算法無需迭代求解非線性方程,因而具有很好的實時性和更高的測量精度;而與雙目視覺相比,三目視覺能很好地克服圖像匹配帶來的誤差,提高特征點的定位精度,因此能為航天器的相對位姿參數(shù)提供更為精準(zhǔn)地數(shù)據(jù)。除此之外,三目測量亦是一項冗余度技術(shù),使得測量系統(tǒng)更具安全可靠性。因此,該方法對航天器在軌實時應(yīng)用具有重要參考價值。

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