趙玉芳, 梁 媛

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

0 引 言

在傳統(tǒng)的排序問題中,所有的工件都需要加工。然而,在實(shí)際問題中,機(jī)器的加工能力有限,若拒絕部分工件反而可能獲得更大的利潤。因而決策者需要將工件集進(jìn)行劃分,一般分為接受工件集與拒絕工件集。接受工件在機(jī)器上加工,拒絕工件外包處理或直接擱置,外包需要支付代加工費(fèi),擱置工件也有倉庫費(fèi)用,如此產(chǎn)生拒絕懲罰。惡化效應(yīng)在現(xiàn)實(shí)生活中的很多地方都有體現(xiàn),比如在鋼鐵的鍛造生產(chǎn)過程中[1]。安裝時間也稱為調(diào)整時間,即機(jī)器在處理不同的工件時都有一個調(diào)整時間,在實(shí)際生產(chǎn)中也是普遍存在的。

對于拒絕問題,Bartal等[2]研究了多處理機(jī)排序問題,目標(biāo)函數(shù)是接受工件的最大完工時間與拒絕工件的總拒絕懲罰之和,并給出了近似算法。Gerstl和Mosheiov[3]研究了帶有拒絕、工期依賴于工件位置的單機(jī)排序問題,目標(biāo)函數(shù)是最大延誤或總延誤與拒絕懲罰之和,證明了上述2個問題都是NP難的,并給出了偽多項(xiàng)式動態(tài)規(guī)劃算法和啟發(fā)式算法。Shabtay等[4]綜述了帶有拒絕的排序問題。Agnetis和Mosheiov[5]研究了帶有拒絕、加工時間依賴位置但不依賴于機(jī)器的流水作業(yè)問題,目標(biāo)函數(shù)是最大完工時間,并證明了問題是多項(xiàng)式時間可解的。工件的惡化效應(yīng)是由Browne和Yechiali[6]提出的,他們認(rèn)為工件的加工時間是開始時間的函數(shù),并在假設(shè)加工時間為線性惡化模型時,討論了極小化流水作業(yè)問題。Wang和Liang[7]研究了帶有成組技術(shù)與簡單線性惡化效應(yīng)的單機(jī)資源分配問題。在2種特殊情況下,給出多項(xiàng)式時間算法;在一般情況下,由于極小化最大完工時間問題受到有限可用資源的約束,因而提出了一個啟發(fā)式算法與分枝定界算法。Zhao和Hsu[8]考慮了帶有惡化效應(yīng)、工期指派和資源分配的極小化加權(quán)誤工任務(wù)數(shù)的單機(jī)排序問題,提出了一個偽多項(xiàng)式時間算法和完全多項(xiàng)式時間近似策略(fully polynomial time approximation scheme, FPTAS)。Liang等[9]研究了帶有簡單線性惡化效應(yīng)與成組技術(shù)的單機(jī)資源分配問題,對于極小化加權(quán)最大完工時間與資源分配費(fèi)用之和問題,給出了偽多項(xiàng)式與分枝定界算法。對于同時考慮惡化效應(yīng)與拒絕懲罰的模型,Nian和Mao[10]研究了單機(jī)排序問題,通過將其轉(zhuǎn)化為指派問題及設(shè)計(jì)動態(tài)規(guī)劃算法,分別證明了在2種惡化加工時間模型下,總完工時間與總拒絕懲罰之和問題可以在多項(xiàng)式時間內(nèi)求解;Li等[11]研究了平行機(jī)排序問題,目標(biāo)函數(shù)為最大完工時間與總拒絕懲罰之和,給出了動態(tài)規(guī)劃算法和FPTAS。Koulamas和Kyparisis[12]研究了安裝時間與已完工工件的加工時間有關(guān)(p-s-d)且安裝時間帶有學(xué)習(xí)效應(yīng)的單機(jī)排序問題,目標(biāo)函數(shù)分別是最大完工時間、總完工時間、總完工時間絕對差以及后2個目標(biāo)函數(shù)的線性組合,給出了多項(xiàng)式時間算法。Huang等[13]研究了帶有p-s-d安裝時間、惡化效應(yīng)依賴于時間和學(xué)習(xí)效應(yīng)依賴于位置的單機(jī)排序問題,對于最大完工時間、總完工時間等目標(biāo)函數(shù),分別給出了多項(xiàng)式時間算法。Biskup和Herrmann[14]研究了帶有p-s-d安裝時間的單機(jī)排序問題,目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于工期的函數(shù)。Soroush[15]研究了帶有p-s-d安裝時間和學(xué)習(xí)效應(yīng)的單機(jī)排序問題,目標(biāo)函數(shù)分別是最大完工時間、總完工時間、總延誤、總完工時間絕對差以及提前、延誤、相同工期懲罰的線性組合,給出了分枝定界法。Wang等[16]研究了帶有拒絕、惡化效應(yīng)與p-s-d安裝時間的單機(jī)排序問題,目標(biāo)函數(shù)分別是最大完工時間、總完工時間、總完工時間絕對差以及總等待時間絕對差與總拒絕懲罰之和,給出了多項(xiàng)式時間算法。

1 問題描述

2 理論推導(dǎo)

設(shè)C[j]表示排在第j個位置工件的完工時間,W[j]表示排在第j個位置工件的等待時間。

1)Cmax的推導(dǎo)公式:

因此

(1)

即

(2)

3) TADC的推導(dǎo)公式:

其中

(3)

4) TADW的推導(dǎo)公式:

那么

其中

(4)

證明 設(shè)接受工件的數(shù)量為na,下面證明4個目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的4個問題可以轉(zhuǎn)化為指派問題求解。

1) 當(dāng)Y=Cmax時,由式(1),令

供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革的五大重點(diǎn)任務(wù)是去產(chǎn)能、去庫存、去杠桿、降成本、補(bǔ)短板。具體來說就是從生產(chǎn)領(lǐng)域入手，減少無效供給，擴(kuò)大有效供給，提高全要素生產(chǎn)率，使供給體系靈活適應(yīng)需求結(jié)構(gòu)變化。健身休閑產(chǎn)業(yè)供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革的目標(biāo)就是要從供給的角度，優(yōu)化資源、人力、資本、技術(shù)、政策等要素資源配置，激發(fā)政策導(dǎo)向優(yōu)勢，強(qiáng)化資源支撐地位，融入科技與“互聯(lián)網(wǎng)+”信息技術(shù)，推動體育健身休閑產(chǎn)業(yè)的可持續(xù)發(fā)展。結(jié)合自治區(qū)的《實(shí)施意見》，廣西健身休閑產(chǎn)業(yè)供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革可從供給什么、誰來供給、如何供給、供給環(huán)境四個方面（如圖1）入手。

3) 當(dāng)Y=TADC時,由式(3),令

4) 當(dāng)Y=TADW時,由式(4),令

3 算法算例

算法:

證明 算法的第1步為計(jì)算O(n);當(dāng)na給定時,求解指派問題的復(fù)雜度為O(n3),第2步共需解n-1個指派問題,復(fù)雜度為O(n4);第3步為O(n),故算法的復(fù)雜度為O(n4)。

求解:

當(dāng)na=1時,依次將4個工件放到第1個位置,其余工件拒絕,分別計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行比較,得到接受工件為1或3最好,目標(biāo)值Z(1)=39;

當(dāng)na=2時,有

通過指派問題求解,得到接受工件為2和3,S=[3,2],目標(biāo)值Z(2)=35;

當(dāng)na=3時,由指派問題整理可得接受工件為2,3和4,S=[3,2,4],目標(biāo)值Z(3)=48;

當(dāng)na=4時,由指派問題整理可得S=[1,3,2,4]或S=[3,1,2,4],目標(biāo)值Z(4)=120。

綜上,最優(yōu)解是接受工件2,3,S=[3,2],最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值Z*=35。同理可以求得下面問題的最優(yōu)解。

4 結(jié) 語

本文研究了帶有拒絕效應(yīng)的單機(jī)排序問題,工件的加工時間同時受到2種惡化效應(yīng)的影響,即依賴位置和開始加工時間的惡化效應(yīng),且工件在加工之前還帶有一個p-s-d安裝時間。對于4種目標(biāo)函數(shù),給出了復(fù)雜度為O(n4)的多項(xiàng)式時間算法。對于帶有惡化效應(yīng)、安裝時間和拒絕的此類問題,今后可以考慮不同的處理機(jī)環(huán)境或其他類型的惡化效應(yīng)和安裝時間模型。