成先娟， 吉建華

（1.長江大學 信息與數(shù)學學院，湖北 荊州 434023；

2.廣西財經(jīng)學院 數(shù)學與統(tǒng)計系，廣西 南寧 530003）

一種新的三角模糊數(shù)型層次分析法的排序方法

成先娟1， 吉建華2

（1.長江大學 信息與數(shù)學學院，湖北 荊州 434023；

2.廣西財經(jīng)學院 數(shù)學與統(tǒng)計系，廣西 南寧 530003）

在層次分析法中，如何構造判斷矩陣以及如何由判斷矩陣導出被比較元素的相對排序權重是人們做決策時的一個關鍵環(huán)節(jié).由于人類思維的復雜性及其模糊性，用模糊數(shù)來表示兩元素的相對重要性更貼近實際，本文針對模糊數(shù)型的互補判斷矩陣，提出了一種新的基于三角模糊數(shù)互補判斷矩陣的排序方法.該方法計算量較小，易實現(xiàn)，且更貼近實際問題.

層次分析法；模糊數(shù)；判斷矩陣；排序方法

層次分析法［1］（AHP）是一種定性與定量相結(jié)合的多準則決策方法，它將定性問題定量化，將復雜問題通過層次分解使整個決策過程更加科學化、民主化.隨著AHP理論的發(fā)展和實際應用的需要，人們把模糊理論［2］引入到層次分析法中，模糊層次分析法便應運而生.

1 預備知識

由于客觀事物的復雜性、不確定性及人類思維的模糊性，決策者往往很難給出明確的判斷.在這種情況下，決策者往往只能給出事物間的模糊判斷.如果根據(jù)所選標度將模糊判斷轉(zhuǎn)化為模糊數(shù)的形式，記為

現(xiàn)考慮在一個有限的決策方案集（或指標集）X={xii∈I}中選擇最優(yōu)方案或進行方案排序（xi表示第i個方案），決策者針對方案集X提供的信息，可由一類用三角模糊數(shù)表示的模糊判斷矩陣給出.

設有判斷矩陣 R= （rij）n×n，其中元素 rij表示相對于某個準則而言方案xi優(yōu)于方案xj的程度.當判斷矩陣的元素為三角模糊數(shù)，稱此判斷矩陣為三角模糊數(shù)判斷矩陣.

定義1 實數(shù)集R上的模糊數(shù)M稱為三角模糊數(shù)，如果其隸屬函數(shù)為

式中l(wèi)，m，u為實數(shù)，且滿足 l≤ m ≤ u，當 l=m=u時，M退化為非模糊數(shù).

一般地，三角模糊數(shù)可記為 M= （l，m，u），有關三角模糊數(shù)的運算法則如下：

Lee和Li［5］借助于模糊事件概率測度的概念定義了模糊集的均值和標準偏差，對于服從均勻分布的情形，給出了三角模糊數(shù)均值和標準偏差的計算公式.設有三角模糊數(shù)A= （a，b，c），其均值為 m（A） = （a+b+c）/3，標準偏差為 σ2（A） = （a2+b2+c2-ab-ac-bc）/18.

三角模糊數(shù)的加、減、乘、除等運算是三角模糊數(shù)判斷矩陣推導模糊權重的基礎.

定義2［6］稱三角模糊數(shù)判斷矩陣R=（r）

ijn×n為三角模糊數(shù)互補判斷矩陣，如果?i， j∈I，rij＝ （rij，mij，uij），rji＝ （lji，mji，uji）為三角模糊數(shù)且滿足：

2 一種三角模糊數(shù)互補矩陣的排序方法

比較常見的互補判斷矩陣的排序方法有：姜艷萍、樊治平［6-7］基于可能度和期望值理論提出的兩種排序方法；徐澤水［8-10］提出的基于可能度的排序方法、線性目標規(guī)劃算法和基于FOWA算子的排序方法；馬嘵燕［11］提出的帶概率的三角模糊數(shù)判斷的排序算法等.在一定程度上，這些方法都能給出方案間的優(yōu)劣次序，但都存在不足之處：如果專家所給的模糊數(shù)矩陣的一致性［12］較差，則所求的模糊數(shù)權重向量不能正確反映矩陣的判斷信息，因此應該對判斷矩陣進行一致性檢驗.

張吉軍［4］從方法的科學性和可行性角度出發(fā)論證了文[13]提出的排序方法是目前最好的排序公式，文[14]是對文[15]方法的一種改進.

下面給出一種新的由三角模糊數(shù)判斷矩陣的導出權重的排序方法，求解過程如下：

決策者針對方案集 X={x1，x2，…，xn}，可用三角模糊數(shù)表示方案兩兩比較的判斷值，得到模糊數(shù)矩陣，權重向量為 V={v1，v2，…，vn}.

步驟 1如果矩陣R=（rij）n×n不是一致或滿意一致的（用文[13]給出的模糊數(shù)互補矩陣加性一致的判別法檢驗），則對它進行調(diào)整；否則轉(zhuǎn)下一步.

步驟 2由 R= （rij）n×n計算方案 xi（i∈I）的模糊數(shù)權重vi，根據(jù)三角模糊數(shù)的加法原理，得出權重的計算公式：

參數(shù)α=n/2-β+ε，β為判斷矩陣R的最小行和的均值，可取ε=0.1或適當選取使得權重向量中的元素全為非負數(shù).

步驟4根據(jù)排序指標R（vi）（i∈I）對方案進行排序，R（vi）越大其對應的方案越優(yōu).

3 算例分析

為了說明計算過程，給出了一個由三角模糊數(shù)互補判斷矩陣導出方案排序的具體求解過程.設某決策問題由4個備選方案構成方案集Xi（i=1，2，3，4），某個專家給出的三角模糊數(shù)互補判斷矩陣為

步驟1 經(jīng)過調(diào)整后得到的滿意一致矩陣為：

步驟2 取ε=0.27（使得計算出的權重全為非負）

1）根據(jù)三角模糊數(shù)的加法原理，求調(diào)整后的判斷矩陣的行和ri和其均值m（ri）；

由上面的計算結(jié)果得β為行和的最小均值，β=m（r3） =1.42，α =0.85

2）根據(jù)公式（1）計算權重向量為 V={v1，v2，v3，v4}

v1= （0.232，0.353，0.474）

v2= （0.144，0.25，0.444）

v3= （0，0.176，0.353）

v4= （0，0.206，0.353）

步驟 3求排序指標 R（vi）（i=1，2，3，4）

R（v1） =0.391 R（v2） =0.261

R（v3） =0.243 R（v4） =0.277

步驟 4根據(jù)排序指標 R （vi）（i=1，2，3，4）對方案進行排序，R（vi）越大其對應的方案越優(yōu).

所以，方案1最好，其次是方案4，方案3最差.

4 結(jié)語

本文提出了一種更為貼近實際的新的決策方法，該法是在文[13]和[14]的基礎上，進一步豐富了模糊數(shù)層次分析法的排序理論，而且ε越小表明決策者越重視元素間重要程度的差異，最后給出了一個由三角模糊數(shù)互補判斷矩陣導出方案排序的具體求解過程.

［1］Saaty T L.The Analytic Hierarchy Process[M].NewYork:McGraw-Hill,1980.

［2］胡寶清.模糊理論基礎[D].武漢:武漢大學出版社,2004.

［3］Van P J M,Laarhoven W Pedrycz.A Fuzzy extension of Saaty's priority theory[J].Fuzzy Sets and Systems,1983(11):229-241.

［4］張吉軍.模糊一致判斷矩陣3種排序方法的比較研究[J].系統(tǒng)工程與電子技術,2003,25(11):1370-1372.

［5］李榮鈞.模糊多準則決策與應用[M].科學出版社,2002.

［6］姜艷萍,樊治平.三角模糊數(shù)互補判斷矩陣排序的一種實用方法[J].系統(tǒng)工程學報,2002,20(2):89-92.

［7］姜艷萍,樊治平.一種三角模糊數(shù)互補判斷矩陣的排序方法[J].系統(tǒng)工程與電子技術,2002,24(7):34-36.

［8］徐澤水.三角模糊數(shù)互補判斷矩陣的一種排序方法[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學,2002,16(1):47-50.

［9］徐澤水.三角模糊數(shù)互補判斷矩陣排序方法研究[J].系統(tǒng)工程學報,2004,19(1):85-88.

［10］徐澤水.基于FOWA算子的三角模糊數(shù)互補判斷矩陣排序法[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2003,23(10):86-89.

［11］馬曉燕.帶概率三角模糊數(shù)互補判斷矩陣的一種簡化排序方法[J].山東農(nóng)業(yè)大學學報:自然科學版,2003,34(4):565-567.

［12］侯福均,吳祈宗.模糊數(shù)互補判斷矩陣的加性一致性[J].北京理工大學學報,2004,24(4):365-369.

［13］呂躍進.基于模糊一致矩陣的層次分析法的排序[J].模糊數(shù)學與系統(tǒng),2002,16(2):79-85.

［14］Zeng X l,Gong Y d,Cheng X j.Improvement of Priority Method for Fuzzy Complementary Judgement Matrix[A].2005 IEEE International Conference on Granular Computing[C]，2005:704-707.

［15］Cheng C H.A new approach for ranking fuzzy numbers by distance method[J].Fuzzy Sets and Systems,1998(95):307-317.

A New Priority Method of the Triangle Fuzzy Analytic Hierarchy Process

CHENG Xianjuan1，JI Jianhua2

（1.College of Mathematics and Information，Yangtze University，Jingzhou 434023，China；
2.Department of Mathematics and Statistics，Guangxi University of Finance and Economics，Nanning 530003，China）

In the analytic hierarchy process,it is a key step how to establish judgment matrices and get priority vectors from it.But due to the complexity and fuzzy of human thinking,it is practical to express the ratio of correlative weight with fuzzy number.This paper presents a new priority algorithms based on the triangle fuzzy complementary judgment matrix.Its superiority lies in the smaller computation and easier implement.It is even more closer to the actual problem.

Analytic Hierarchy Process；fuzzy number;judgment matrix;priority method

TD 851

A

1674-4942（2010）01-0008-04

2009-11-20

長江大學碩士科研啟動基金(801070010107)

畢和平