吳健榮,林 戈,陳懷東,李 明

(中廣核檢測(cè)技術(shù)公司,蘇州 215004)

機(jī)器人工作時(shí),精度目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)依賴于一個(gè)精度鏈,精度鏈中的每一個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)最終精度有著不同程度的影響,局部的精度過(guò)剩除了增加制造成本,并不能提高機(jī)器人的功能精度。確定機(jī)器人構(gòu)型后,根據(jù)目標(biāo)精度要求擬定各關(guān)節(jié)、桿件的精度項(xiàng)目,是機(jī)器人結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的一項(xiàng)重要內(nèi)容[1]。

產(chǎn)生機(jī)器人運(yùn)動(dòng)誤差的根本原因是機(jī)器人的D-H名義參數(shù)與實(shí)際值存在偏差。分析機(jī)器人誤差的方法主要有:位姿誤差建模矩陣法、矢量法、攝動(dòng)法和基于泛灰數(shù)學(xué)的誤差分析法等[2-8],其實(shí)質(zhì)都是在極限條件下給出機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的最大理論誤差。從機(jī)器人精度設(shè)計(jì)的角度而言,這些方法難以給出機(jī)器人在整個(gè)工作空間內(nèi)的全局性精度指標(biāo)。

馬培蓀[7]和趙永濤[8]等用蒙特卡羅法繪制指定位姿點(diǎn)處機(jī)器人的誤差概率直方圖,再往整個(gè)工作空間內(nèi)推廣,得到誤差分布曲面圖和概率等高線,這對(duì)機(jī)器人精度設(shè)計(jì)很有幫助,但是圖形的繪制過(guò)程比較繁瑣。筆者在文獻(xiàn)[7-8]的基礎(chǔ)上給出概率精度數(shù)字指標(biāo)E10X,及相應(yīng)的機(jī)器人精度設(shè)計(jì)方法,并對(duì)核電站蒸汽發(fā)生器PT 檢查機(jī)器人進(jìn)行精度設(shè)計(jì)。

1 機(jī)器人的概率精度

1.1 機(jī)器人位置誤差建模

一般而言,控制機(jī)器人的位置誤差,會(huì)間接地控制機(jī)器人的姿態(tài)誤差。因此,一般只對(duì)機(jī)器人的位置精度鏈進(jìn)行設(shè)計(jì)。

D-H法用α,a,θ,d對(duì)機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)建模,機(jī)器人末端執(zhí)行器在基礎(chǔ)坐標(biāo)系的位置分量可用pk(k=x,y,z)表示:

對(duì)式(1)兩邊取全微分得:

因此,機(jī)器人末端位置在基礎(chǔ)坐標(biāo)系某一坐標(biāo)軸方向的誤差可近似地表示為:

總的末端位置誤差可由各坐標(biāo)軸方向的位置誤差合成得到:

1.2 機(jī)器人誤差的概率分析

由式(3)和(4)可知,要確定機(jī)器人末端誤差,必須事先給定機(jī)器人的D-H參數(shù)及其誤差。其中,D-H參數(shù)中部分參數(shù)取決于末端位姿。因此, 式(3)和(4)不能給出機(jī)器人在整個(gè)工作空間內(nèi)的全局精度指標(biāo)。此外,根據(jù)測(cè)量原理,D-H參數(shù)誤差都以一定概率分布規(guī)律出現(xiàn),所有誤差源都取極值的概率非常低,將極限誤差作為設(shè)計(jì)指標(biāo)將產(chǎn)生較大的精度裕量,增加不必要的制造成本。

式(1)給出了機(jī)器人末端位置分量的理論值,考慮誤差因素后,機(jī)器人末端實(shí)際位置沿k(k=x,y,z)軸方向的分量可寫為:

由式(1)和(5)可給出無(wú)需微分計(jì)算的誤差式:

相應(yīng)地,機(jī)器人末端偏離期望位置的距離為:

顯然,位置誤差Δp是D-H參數(shù)αi,ai,θi,di及D-H參數(shù)誤差Δθi,Δdi,Δai,Δαi的函數(shù),可寫為:

按概率論中心極限定理,當(dāng)獨(dú)立的原始誤差數(shù)目較多時(shí),無(wú)論各原始誤差具有何種分布,其函數(shù)形式的誤差值Δpk近似地服從正態(tài)分布[7]。

當(dāng)關(guān)節(jié)變量q(轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)qi=θi,移動(dòng)關(guān)節(jié)qi=di)給定時(shí), Δpk表示某指定位姿點(diǎn)的位置誤差,它近似服從正態(tài)分布規(guī)律。當(dāng)關(guān)節(jié)變量q在許用關(guān)節(jié)變量范圍內(nèi)隨機(jī)取值時(shí),Δpk表示工作空間內(nèi)任意位姿點(diǎn)的位置誤差,它也服從正態(tài)分布規(guī)律(盡管兩者的標(biāo)準(zhǔn)差σ值不同), 相應(yīng)的Δp近似服從Rayleigh分布[7]。

機(jī)器人設(shè)計(jì)時(shí),傾向于在整個(gè)工作空間內(nèi)討論它的精度指標(biāo)。滿足精度要求的判據(jù)是:

式中E為期望的位置精度;P為樣本滿足精度要求的統(tǒng)計(jì)概率;r為要求的置信概率。

1.3 機(jī)器人概率精度指標(biāo)

用式(9)和(10)進(jìn)行精度設(shè)計(jì)時(shí),概率密度函數(shù)Δpk和Δp的參數(shù)辨識(shí)比較困難,為此,可將樣本的最大誤差作為精度設(shè)計(jì)指標(biāo)。定義概率精度指標(biāo)E10X,字母E的數(shù)值對(duì)應(yīng)位置精度,右下標(biāo)10X表示抽樣試驗(yàn)的樣本數(shù)為10X,如概率精度E107表示抽樣樣本為107得到的最大誤差值為E。

如圖1 所示,Δpk近似服從正態(tài)分布,誤差值正負(fù)均有可能。設(shè)E-和E+分別為誤差樣本中的最小值和最大值,誤差落在E-和E+之外的概率隨|E-|和E+的增大而衰減。理論上,試驗(yàn)樣本數(shù)越多,E-和E+越趨近于極限誤差。Δp近似服從Rayleigh 分布,誤差值是非負(fù)的,誤差落在E+右側(cè)的概率隨E+的增大而衰減。理論上,隨試驗(yàn)樣本數(shù)的增大,E+趨近于極限誤差。因此,概率精度E10X隨樣本數(shù)的增大而收斂于極限誤差,即:

式中Emax為機(jī)器人末端位置的極限誤差。

圖1 機(jī)器人位置誤差的概率分布

用E10X對(duì)機(jī)器人進(jìn)行精度設(shè)計(jì)時(shí),X值取得越大,E10X越趨近于極限誤差值。

2 機(jī)器人精度設(shè)計(jì)的模擬試驗(yàn)方法

計(jì)算機(jī)軟、硬件的發(fā)展為大規(guī)模的數(shù)學(xué)試驗(yàn)提供了方便。在M AT LAB 軟件平臺(tái)上,通過(guò)模擬試驗(yàn)可方便地得出機(jī)器人的概率精度。用概率精度作為設(shè)計(jì)指標(biāo),模擬試驗(yàn)?zāi)軌蛑苯訋椭O(shè)計(jì)者對(duì)機(jī)器人精度進(jìn)行設(shè)計(jì)。以下給出基于概率精度指標(biāo)對(duì)機(jī)器人精度進(jìn)行設(shè)計(jì)的基本步驟:

(1)結(jié)合機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,由式(1),(5),(6)和(7)建立機(jī)器人D-H參數(shù)、D-H參數(shù)誤差與末端位置精度的計(jì)算模型。

(2)根據(jù)機(jī)器人的D-H參數(shù),建立機(jī)器人制造精度等級(jí)、運(yùn)動(dòng)控制精度與D-H參數(shù)誤差極限值的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

(3)由計(jì)算機(jī)程序模擬產(chǎn)生數(shù)量為10X的θi,Δθi,Δdi, Δai,Δαi試驗(yàn)樣本,通過(guò)模擬試驗(yàn)得到機(jī)器人概率精度值E10X,多次循環(huán)試驗(yàn)得到不同制造精度等級(jí)、運(yùn)動(dòng)控制精度與E10X的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

(4)根據(jù)第(3)步結(jié)果,擬定機(jī)器人制造精度等級(jí)和運(yùn)動(dòng)控制精度。計(jì)算ε=Ep-E10X,若0 ＜ε＜εp,則滿足設(shè)計(jì)要求,結(jié)束試驗(yàn)。否則,調(diào)整制造精度等級(jí)和運(yùn)動(dòng)控制精度,直至滿足設(shè)計(jì)要求。其中Ep為期望的精度,εp為允許的精度剩余量。

(5)根據(jù)制造工藝條件,具體分配制造公差項(xiàng)目,并根據(jù)需要進(jìn)行個(gè)別調(diào)整。

值得說(shuō)明的是,式(1)和(5)都由連桿坐標(biāo)變換矩陣連續(xù)相乘得到, 試驗(yàn)程序的編制很方便。MA TLAB 軟件提供了模擬各種分布的隨機(jī)數(shù),各項(xiàng)誤差源的模擬易于實(shí)現(xiàn)。此外,用MA T LAB 軟件做模擬試驗(yàn),誤差樣本允許分批獲得,數(shù)據(jù)樣本可以取得很大,從而保證試驗(yàn)結(jié)果逼近理論值。

3 蒸汽發(fā)生器滲透檢查機(jī)器人精度設(shè)計(jì)

3.1 蒸汽發(fā)生器PT 檢查機(jī)器人簡(jiǎn)介

蒸汽發(fā)生器PT 檢查機(jī)器人是針對(duì)EPR 型核電站役前/在役檢查研制的,用于蒸汽發(fā)生器(簡(jiǎn)稱SG)一回路水室隔板滲透(PT)檢查的極限作業(yè)機(jī)器人。蒸發(fā)器水室結(jié)構(gòu)如圖2 所示。

圖2 蒸汽發(fā)生器水室

蒸汽發(fā)生器PT 檢查機(jī)器人結(jié)構(gòu)如圖3 所示,由3 個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)組成,D-H參數(shù)如表1。

圖3 蒸汽發(fā)生器PT 檢查機(jī)器人

3.2 蒸汽發(fā)生器PT 檢查機(jī)器人的精度設(shè)計(jì)

蒸汽發(fā)生器PT 檢查機(jī)器人的精度設(shè)計(jì)主要是擬定機(jī)器人機(jī)械結(jié)構(gòu)的制造精度等級(jí)和關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)控制精度。由于影響機(jī)器人精度的客觀因素繁多,實(shí)際確定D-H參數(shù)誤差Δθi,Δdi, Δai和Δαi的數(shù)值非常困難,這里給出幾個(gè)基本假設(shè)前提:

(1)連桿的長(zhǎng)度尺寸公差是導(dǎo)致Δdi和Δai的主要因素,其它各因素導(dǎo)致的Δdi和Δai變化約相當(dāng)于7 級(jí)公差帶寬度的20%。

(2)關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的同軸度誤差是導(dǎo)致Δαi的主要因素,其它因素導(dǎo)致的Δαi變化約相當(dāng)于該主要因素的50%。

(3)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)控制誤差是導(dǎo)致Δθi的唯一因素。

根據(jù)實(shí)際的加工制造條件,設(shè)計(jì)中可以采用的精度等級(jí)為5～11 級(jí)。表1 中蒸汽發(fā)生器PT 檢查機(jī)器人的桿長(zhǎng)主參數(shù)有0 和760 mm 兩種。查機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè),可以得到精度等級(jí)對(duì)應(yīng)的公差值。結(jié)合三個(gè)假設(shè)條件,求得相應(yīng)的D-H結(jié)構(gòu)參數(shù)Δd i,Δai和Δαi的誤差極限值如表2 所示。

表1 機(jī)器人D-H 參數(shù)

表2 結(jié)構(gòu)參數(shù)的誤差極限值

為了研究結(jié)構(gòu)參數(shù)的角度誤差和長(zhǎng)度誤差對(duì)機(jī)器人末端位置誤差的影響,取樣本數(shù)量為100 萬(wàn),分以下三種情況對(duì)誤差進(jìn)行概率試驗(yàn):①令Δαi=0,僅考慮Δdi和Δai。 ②令Δdi=Δai=0, 僅考慮Δαi。③Δαi,Δdi和Δai都考慮。得到位置誤差Δp與精度等級(jí)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖4 所示。

圖4 結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差與位置誤差關(guān)系

由圖3 可以看出,公差等級(jí)從5～8 級(jí)期間,位置誤差增加較小,從9 級(jí)到14 級(jí),位置誤差急劇增大?？紤]到裝配精度一般要比制造精度低1～2 個(gè)等級(jí),為將位置誤差控制在1 mm 之內(nèi),應(yīng)該選擇7級(jí)和7 級(jí)以下的制造精度。在制造誤差引起的位置誤差中,角度參數(shù)α的誤差因素起主導(dǎo)作用,并且隨著公差等級(jí)數(shù)的增大,引起的位置誤差急劇增大,因此在制造過(guò)程中應(yīng)加以嚴(yán)格控制。

考慮實(shí)際工廠的加工制造條件和制造成本,整體選擇6 級(jí)精度制造,個(gè)別工藝性較差的尺寸放寬至7 級(jí)精度。

按照目前的控制水平,將運(yùn)動(dòng)變量誤差Δθi在1′～10′間取10 份,在7 級(jí)精度的條件下,由模擬試驗(yàn)方法得到末端位置誤差與運(yùn)動(dòng)變量誤差的關(guān)系曲線如圖5 所示。

圖5 運(yùn)動(dòng)變量誤差與位置誤差關(guān)系

由圖5 可以看出,Δθi對(duì)機(jī)器人末端位置精度起主導(dǎo)作用。對(duì)于蒸汽發(fā)生器PT 檢查機(jī)器人,末端位置誤差近似與Δθi成正比關(guān)系。為了達(dá)到±5 mm的位置精度,總的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)控制誤差(包括插補(bǔ)計(jì)算誤差)必須控制在5′以內(nèi)。由此,擬定關(guān)節(jié)位置檢測(cè)精度1′,控制插補(bǔ)計(jì)算和伺服誤差在5′以內(nèi),對(duì)機(jī)器人結(jié)構(gòu)和控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)。

由以上基于概率精度指標(biāo)的機(jī)器人精度設(shè)計(jì)方法,對(duì)蒸汽發(fā)生器隔板PT 檢查機(jī)器人精度進(jìn)行了設(shè)計(jì),得到了各個(gè)精度環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)目標(biāo)。

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