王明強(qiáng) 李治多

江蘇科技大學(xué),鎮(zhèn)江,212003

0 引言

隨著拓?fù)鋬?yōu)化理論的發(fā)展和拓?fù)鋬?yōu)化工具的出現(xiàn),拓?fù)鋬?yōu)化已開始在航空、汽車等工程領(lǐng)域得到逐步應(yīng)用。在拓?fù)鋬?yōu)化中引入制造工藝約束使得優(yōu)化技術(shù)更具吸引力,制造工藝約束是在概念設(shè)計(jì)階段需要考慮的重要因素。因此,拓?fù)鋬?yōu)化作為一種產(chǎn)生設(shè)計(jì)概念的工具,可進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)與制造約束的集成,這對(duì)縮短概念設(shè)計(jì)和工程實(shí)現(xiàn)之間的距離有重要意義[1]。然而拓?fù)鋬?yōu)化畢竟處于結(jié)構(gòu)的概念設(shè)計(jì)階段,其結(jié)果對(duì)于后續(xù)的設(shè)計(jì)與分析過(guò)程僅有概念性的指導(dǎo)意義,拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的工程可利用性問題已經(jīng)成為制約拓?fù)鋬?yōu)化進(jìn)一步發(fā)展的障礙之一[2]。

近幾年,國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題開展了廣泛的研究。Thomas[1]在基本設(shè)計(jì)階段考慮制造約束,用數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)結(jié)合基于結(jié)構(gòu)分析的有限元技術(shù)實(shí)現(xiàn)了設(shè)計(jì)的最優(yōu)拓?fù)洳季?完成了有益的輕量化要求,并將其用于壓模、鑄模及板金結(jié)構(gòu)的優(yōu)化中。Harzheim等[3]采用基于CAO和SKO的算法并考慮制造工藝約束,獲得了更容易理解的設(shè)計(jì)方案。陳義保等[4]提出了一種新的帶有制造工藝約束的多約束結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)模型。左孔天[2,5]提出了基于工程約束思想的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化,通過(guò)在優(yōu)化模型中加入制造加工約束來(lái)減小設(shè)計(jì)空間,確保工程可接受的及可制造的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果。

針對(duì)傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)果在工程上難以制造加工的問題,為更好地處理在概念設(shè)計(jì)階段連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的工程實(shí)用化問題,提出了一種基于制造工藝約束的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的方法,即面向制造的分級(jí)優(yōu)化方法,使優(yōu)化結(jié)果既滿足工程設(shè)計(jì)性能要求,又同時(shí)滿足制造加工性能的要求,以實(shí)現(xiàn)面向制造的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。

1 面向制造的分級(jí)拓?fù)鋬?yōu)化方法

面向制造的分級(jí)拓?fù)鋬?yōu)化方法的思想是,采用分級(jí)優(yōu)化策略處理帶制造工藝約束的拓?fù)鋬?yōu)化問題。第一級(jí)優(yōu)化從設(shè)計(jì)角度,確定結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的基本拓?fù)錁?gòu)型,以滿足設(shè)計(jì)性能要求;第二級(jí)優(yōu)化針對(duì)第一級(jí)優(yōu)化所得的拓?fù)浣Y(jié)果,進(jìn)行制造可行性分析和加入制造工藝約束的二次拓?fù)鋬?yōu)化,以獲得面向制造的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果。分級(jí)拓?fù)鋬?yōu)化的實(shí)現(xiàn)流程如圖1所示。不直接在第一級(jí)優(yōu)化中引入制造約束的原因在于,沒有針對(duì)性,可能獲得的只是局部最優(yōu)。采取分級(jí)優(yōu)化可以保證全局最優(yōu),使拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果同時(shí)滿足設(shè)計(jì)要求和制造要求,具有工程應(yīng)用價(jià)值。

2 面向制造的連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化模型

2.1 基于制造約束的SIMP法拓?fù)鋬?yōu)化模型

在面向制造的分級(jí)拓?fù)鋬?yōu)化策略實(shí)現(xiàn)中,采用固體各向同性懲罰材料(solid istropic material with penalization,SIMP)模型[6]。該優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)為結(jié)構(gòu)的整體柔度最小即剛度最大,設(shè)計(jì)變量為單元密度,約束條件為體積約束和制造工藝約束,則拓?fù)鋬?yōu)化模型為

2.2 成員尺寸控制約束及處理策略

制造工藝約束包含成員尺寸控制約束、拔模約束、擠壓約束、模式組(各種對(duì)稱約束)及模式重復(fù)等約束。這里從面向制造的優(yōu)化角度出發(fā),以成員尺寸控制約束為例,分析制造工藝約束的實(shí)施及處理策略。

成員尺寸控制約束分為最小成員尺寸約束和最大成員尺寸約束。最小成員尺寸約束是指優(yōu)化結(jié)果中單元密度為1的區(qū)域的允許最小尺度。零部件在設(shè)計(jì)制造加工過(guò)程中,往往有一個(gè)最小尺寸要求,小于該尺寸范圍的特征,將很難鑄造或用刀具加工。因此在零件的初始概念設(shè)計(jì)階段就應(yīng)考慮這一要求,針對(duì)零件不同的加工要求加入不同的最小成員尺寸約束。這里給出最小成員尺寸控制法的數(shù)學(xué)模型:

式中,L為離散邊界單元孔洞的等效特征尺寸;Se為邊界單元e的外表面積;dQ為邊界孔洞相對(duì)于投影平面Q的平均深度;M為邊界離散單元數(shù);L0為加工尺寸下邊界。

這里投影面Q定義為需要控制加工尺寸約束所在的縱向平面(YZ平面)。通過(guò)在優(yōu)化模型中引入最小加工尺寸約束的下限值,來(lái)對(duì)結(jié)果中的最小特征的結(jié)構(gòu)尺寸進(jìn)行控制。引入最小成員尺寸約束可以獲得比較均勻的材料分布,便于鑄造過(guò)程材料的流動(dòng)或提供足夠剛度以便于刀具加工。

最大成員尺寸約束針對(duì)的是優(yōu)化結(jié)果中單元密度為1的區(qū)域。在該優(yōu)化區(qū)域中各向尺度不能全部大于該尺寸,這樣可以消除優(yōu)化結(jié)果中的材料堆積,避免制造過(guò)程引起的產(chǎn)品缺陷(如鑄造過(guò)程中散熱不均勻),并能提供多個(gè)傳力路徑以提高產(chǎn)品可靠性。

對(duì)于最小/最大成員尺寸約束的實(shí)施,采用一種新的處理策略,即在第二級(jí)優(yōu)化中對(duì)不可行子域,通過(guò)圓域進(jìn)行擬合以縮減原始設(shè)計(jì)空間,實(shí)現(xiàn)最小/最大成員尺寸約束的控制,其處理規(guī)則為

其中,(X,Y)為設(shè)計(jì)域單元坐標(biāo);(X0,Y0)為不可行子域中心坐標(biāo);Lmin、Lmax分別為最小成員尺寸和最大成員尺寸,其值可根據(jù)實(shí)際制造加工要求來(lái)定。一般,最小成員尺寸要大于3倍的單元平均尺寸,最大成員尺寸至少為單元平均尺寸的6倍。

2.3 基于制造約束的優(yōu)化模型求解

加入制造工藝后的拓?fù)鋬?yōu)化問題變?yōu)橐粋€(gè)多約束優(yōu)化問題。拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型求解算法中的移動(dòng)近似算法(method of moving asymptotes,MMA)[7]廣泛應(yīng)用于具有制造約束、工程約束等復(fù)雜多約束拓?fù)鋬?yōu)化問題的求解[5]。但采用此法會(huì)增加優(yōu)化求解問題的復(fù)雜性,這通常會(huì)導(dǎo)致計(jì)算得不到有用的工程可行解[5]。

為了降低求解的難度,采用優(yōu)化準(zhǔn)則法(optimization criterion,OC)求解含制造約束的拓?fù)鋬?yōu)化模型。對(duì)于柔度最小的優(yōu)化問題采用比MMA法收斂速度快的OC法。綜合文獻(xiàn)[8],給出改進(jìn)的OC法更新設(shè)計(jì)變量的迭代格式:

2.4 數(shù)值不穩(wěn)定的去除方法

拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程中出現(xiàn)的數(shù)值不穩(wěn)定問題實(shí)際上是由數(shù)值計(jì)算中場(chǎng)函數(shù)的一種數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象或由數(shù)值奇異解造成的,其表現(xiàn)形式包括棋盤格式、多孔材料、網(wǎng)格依賴性、局部極值等。多孔材料和棋盤格式導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的可制造性差,網(wǎng)格依賴性使計(jì)算結(jié)果的可靠性下降,局部極值問題導(dǎo)致計(jì)算得不到全局最優(yōu)解或得不到工程可行解。拓?fù)鋬?yōu)化中數(shù)值計(jì)算不穩(wěn)定性的消除非常重要,它關(guān)系到數(shù)值計(jì)算的收斂性和計(jì)算結(jié)果的可制造性。

濾波過(guò)濾法對(duì)消除棋盤格式簡(jiǎn)單有效,并能保證一定的網(wǎng)格無(wú)關(guān)性,但優(yōu)化結(jié)果中存在明顯的“邊界擴(kuò)散”效應(yīng),并可能形成一種點(diǎn)態(tài)的密度場(chǎng)[9]。密度和敏度混合的過(guò)濾技術(shù)具有敏度過(guò)濾技術(shù)的優(yōu)點(diǎn),還可以提高密度場(chǎng)光滑性和連續(xù)性,該法在一定程度上可以消除“邊界擴(kuò)散”效應(yīng),同時(shí)能有效消除棋盤格式并使結(jié)構(gòu)體現(xiàn)出較好的網(wǎng)格無(wú)關(guān)性[7]。窗函數(shù)法相當(dāng)于將不同的窗函數(shù)作為卷積核與原有數(shù)字信號(hào)進(jìn)行卷積,其物理意義較直觀,且可根據(jù)原數(shù)值解的具體情況靈活選擇窗函數(shù)的尺度參數(shù),易于編程實(shí)現(xiàn)。窗函數(shù)法采用高斯窗函數(shù)對(duì)密度場(chǎng)分布函數(shù)進(jìn)行處理,以解決棋盤格式問題,其實(shí)質(zhì)是濾波法的一種[6]。

綜合上述分析,為了更好地解決在拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程中優(yōu)化結(jié)果的“邊界擴(kuò)散”效應(yīng)問題,并在解決棋盤格式問題的同時(shí)提高收斂速度,減少計(jì)算量,本文對(duì)密度和敏度混合過(guò)濾進(jìn)行改進(jìn),從工程實(shí)際應(yīng)用角度出發(fā),采用密度和敏度混合高斯濾波法。

2.4.1 密度和敏度混合高斯濾波法

混合過(guò)濾技術(shù)將每個(gè)節(jié)點(diǎn)的密度用周圍單元密度的加權(quán)平均值來(lái)近似,從而提高密度場(chǎng)的光滑性和連續(xù)性,再對(duì)處理后的密度進(jìn)行敏度的卷積,以改善有限元求解的收斂性和解的存在性。

將敏度過(guò)濾技術(shù)中的密度用設(shè)計(jì)變量的平均密度代替;為了提高權(quán)函數(shù)的光滑性,密度和敏度混合過(guò)濾法中的權(quán)函數(shù)w(xi)=max(He,0)由高斯函數(shù)代替,即

其中,die為單元i和單元e中心的距離;~xe和~xf分別為過(guò)濾前后單元的平均密度;σ為高斯函數(shù)的尺度參數(shù)(決定了過(guò)濾函數(shù)的平滑程度),σ=rmin/2;rmin為過(guò)濾半徑,即表示優(yōu)化結(jié)果的最小尺寸為單元尺寸的rmin倍;Ne為過(guò)濾半徑之內(nèi)單元的數(shù)目。過(guò)濾半徑的取值應(yīng)隨著單元網(wǎng)格密度的增大而適當(dāng)有所增大。

2.4.2 基于密度和敏度混合高斯過(guò)濾法算例

基結(jié)構(gòu)如圖2所示,其中 L=10mm,集中載荷F=10kN,材料彈性模量E=200GPa,泊松比ν=0.3,懲罰因子 p=3.0,過(guò)濾半徑rmin=1.5mm,移動(dòng)極限初始值m=0.2。在相同初始優(yōu)化參數(shù)條件下,采用提出的不同過(guò)濾方法,其優(yōu)化結(jié)果如圖3所示。

圖3a、圖3b所示為采用本文提出的混合過(guò)濾技術(shù)的優(yōu)化結(jié)果。從圖3中優(yōu)化結(jié)果可以看出,所提出的過(guò)濾法能很好地消除棋盤格式和網(wǎng)格依賴性等數(shù)值不穩(wěn)定性現(xiàn)象且邊界清晰。但采用密度和敏度混合過(guò)濾結(jié)果會(huì)出現(xiàn)一定程度的“邊界擴(kuò)散”現(xiàn)象,如圖3a所示,在虛線圓形區(qū)域內(nèi),邊界局部產(chǎn)生了細(xì)小的傳力路徑,這將降低結(jié)構(gòu)的可靠性。采用密度和敏度混合高斯過(guò)濾法可以很好地解決此問題,結(jié)果如圖3b所示,該結(jié)果與參考文獻(xiàn)[8]的優(yōu)化結(jié)果非常一致,并且比文獻(xiàn)[11]優(yōu)化結(jié)果(圖3c)的邊界更加清晰。

3 面向制造的分級(jí)優(yōu)化法算例分析

3.1 算例

一平板結(jié)構(gòu)如圖4所示,兩側(cè)固定,原始設(shè)計(jì)域?yàn)?00mm×50mm,假定材料彈性模量 E=200GPa,泊松比為 ν=0.3,體積系數(shù) f=0.5,中間施加一個(gè)集中載荷F(F=30kN)。求解時(shí)采用四節(jié)點(diǎn)單元,單元總數(shù)為5000,懲罰因子p=3.0,過(guò)濾半徑rmin=1.5mm,阻尼系數(shù)ε=0.5,初始移動(dòng)限m=0.2。求解過(guò)程中綜合采用改進(jìn)的優(yōu)化準(zhǔn)則算法、密度和敏度混合高斯過(guò)濾法及成員尺寸控制法。

3.2 算例分析

在第一級(jí)拓?fù)鋬?yōu)化中沒有施加最小尺寸約束,優(yōu)化結(jié)果如圖5所示,產(chǎn)生上下兩個(gè)不規(guī)則小空洞(圖5中虛線圓形區(qū)域內(nèi)),這兩個(gè)不規(guī)則小空洞在結(jié)構(gòu)和功能上沒有任何作用,但會(huì)給后續(xù)的制造和加工帶來(lái)困難。因此,從制造的角度考慮,這種局部不規(guī)則小空洞的是優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中不期望獲得的結(jié)構(gòu)。針對(duì)兩個(gè)不可制造小空洞子域,可采取最小、最大成員尺寸約束控制。圖6a所示為施加最小尺寸約束后的第二級(jí)優(yōu)化結(jié)果,結(jié)構(gòu)中的不規(guī)則小空洞消失了,有利于后繼加工制造。圖6b所示為施加最大尺寸約束后的二級(jí)優(yōu)化結(jié)果,同樣也獲得了良好的結(jié)構(gòu),滿足后續(xù)的加工制造要求。在相同的基結(jié)構(gòu)和載荷及邊界條件下,文獻(xiàn)[2]中的優(yōu)化結(jié)果如圖7所示。圖7的優(yōu)化結(jié)果與本文的優(yōu)化結(jié)果很相似,因此也驗(yàn)證了本文所提出方法的可行性與有效性。

在實(shí)際優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中,具體是加入最小尺寸約束還是最大尺寸約束,要根據(jù)工程設(shè)計(jì)的實(shí)際要求或工程經(jīng)驗(yàn)而定。這里對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化,其邊界條件相對(duì)簡(jiǎn)單,而在實(shí)際工程中其工況較復(fù)雜,需要考慮的因素及約束也較多,應(yīng)根據(jù)不同對(duì)象要求施加不同的制造工藝約束或者多種工藝約束的組合靈活應(yīng)用,充分考慮產(chǎn)品實(shí)際加工制造過(guò)程中的各種約束,從而使優(yōu)化結(jié)果便于制造,使優(yōu)化流程真正集成到產(chǎn)品開發(fā)過(guò)程中。

4 結(jié)束語(yǔ)

為提高拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的工程可利用程度,本文提出了面向制造的分級(jí)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法,并以實(shí)例驗(yàn)證了該法的可行性及有效性;建立了基于制造工藝約束的SIMP拓?fù)鋬?yōu)化模型;在解決拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值不穩(wěn)定問題上,使用了一種改進(jìn)的密度和敏度混合過(guò)濾算法。該算法易于實(shí)現(xiàn),通用性較好。

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