王冬梅 方華京

(華中科技大學(xué)控制科學(xué)與工程系 武漢 430074)

近年來,群集行為引起了研究人員的極大關(guān)注,逐漸成為復(fù)雜性科學(xué)研究的一個焦點.Reynolds[1]最早給出了構(gòu)成群集行為的3條基本規(guī)則,稱之為 Reyno lds模型.在此基礎(chǔ)上,Vicsek[2]提出了一種基于速度匹配規(guī)則的簡單群集模型.基于這2個模型研究者展開了大量的研究:Tanner,R.O Saber,Long Wang等學(xué)者[3-6]從二階系統(tǒng)的角度研究了Reynolds模型,通過構(gòu)建微分方程組將群集運(yùn)動進(jìn)行抽象化實現(xiàn)了群集運(yùn)動控制.而 Jadbabaie,Moreau,W.Ren等[7-8]則運(yùn)用動態(tài)圖理論研究解決了Vicsek模型的收斂性問題.

由于互異的個體狀態(tài)表現(xiàn)出了互不相同的個性特征,個體在運(yùn)行過程中除了主要根據(jù)鄰近規(guī)則的決策下一步行為外,還應(yīng)根據(jù)各自的個性特征進(jìn)行判斷和決策;個體的運(yùn)行狀態(tài)應(yīng)由個體的內(nèi)部和外部環(huán)境同時決定.

本文旨在初步探討個體的個性特征即內(nèi)部因素對群集行為的影響.通過引入具有記憶能力的智能個體,利用記憶能力總結(jié)個體運(yùn)動的歷史“經(jīng)驗”,并估計將來的運(yùn)動趨勢.通過若干記憶單元記錄該個體最近的歷史狀態(tài)信息,根據(jù)歷史狀態(tài)信息在線預(yù)測估計個體的下一時刻的運(yùn)行狀態(tài),并以此作為虛擬領(lǐng)航者引導(dǎo)群體運(yùn)行.仿真結(jié)果表明有記憶的智能群體最終以較快的速度形成穩(wěn)定的群集運(yùn)動;但在穩(wěn)定運(yùn)行階段個體的狀態(tài)在穩(wěn)態(tài)附近上下波動,這與自然界群集現(xiàn)象相吻合.

1 基于有限記憶的智能群體的群集控制

1.1 最小二乘估計理論

最小二乘法是一常用回歸方法.基本思路是令f(X)=a1 h1(X)+a2 h2(X)+…+am hm(X)式中:{hk(X)}(k＜N)是一組事先選定的線性無關(guān)的函數(shù);{ak}mk=1是一組待定系數(shù).尋求系數(shù){ak}m

k=1使得Yi與f(Xi)的距離di的平方和最小.該方法最關(guān)鍵的一步是恰當(dāng)?shù)剡x取線性無關(guān)的基函數(shù){hk(X)(m＜N).通過對基本群集運(yùn)動的理論分析和實驗仿真發(fā)現(xiàn),群體經(jīng)過起初短暫的無秩序運(yùn)動之后,群體將以相同的速度按近似的線性軌跡運(yùn)行;而且由于個體的運(yùn)動軌跡在較小的采樣周期內(nèi)可以用直線近似,因此可以采用線性回歸這種簡單的預(yù)測模型.

設(shè)某個個體的位置為 p=(x,y)T,個體的運(yùn)行軌跡在較小的采樣周期T內(nèi)與時間t成線性關(guān)系,則線性回歸方程

當(dāng)m個記憶單元存滿時,根據(jù)m次觀測數(shù)據(jù)(tk,pk),用最小二乘法求出a,b,c,d的估計值.

式中:a,b,c,d為未知待估參數(shù).從t1時刻開始,以較小的采樣周期T=tk+1-tk,(K=1,2,…,m)為時間間隔;通過m次觀測利用m個記憶單元存儲時間和位置信息(tk,pk),得到

根據(jù)a,b,c,d的估計值,利用式(1)估算t=tm+1時刻個體的位置信息.由于個體運(yùn)行軌跡不斷的變化,因此應(yīng)采用新的觀測數(shù)據(jù)去刷新歷史數(shù)據(jù)重新估計a,b,c,d的值以減小誤差.方法是當(dāng)tm+1時刻個體的位置信息 pm+1的實際值產(chǎn)生時,遺棄記憶單元中最初的t1時刻的采樣值,利用t2至tm+1之間的觀測值重新估計a,b,c,d,根據(jù)新的a,b,c,d估計值預(yù)測新時刻的個體位置信息.依此類推,記憶單元總是存儲記錄最近m個時刻的較小采樣周期時間內(nèi)的個體狀態(tài)信息.

1.2 智能群體的群集控制

本文采用虛擬領(lǐng)航者策略利用具有記憶能力的智能個體記錄個體先前的位置信息,以此模擬個體的運(yùn)行過程中積累的“經(jīng)驗”,根據(jù)該“經(jīng)驗”預(yù)測估計下一步的運(yùn)行狀態(tài),以該狀態(tài)作為虛擬領(lǐng)航者引導(dǎo)個體運(yùn)行,個體的“經(jīng)驗”反映了內(nèi)部環(huán)境的影響.

在建立群體模型之前,首先給出以下定義.

定義(鄰接圖G) 鄰接圖G(V,ε(p))是一個無向圖.其中:V={n1,…,nN}表示頂點集;ε(p)={(ni,nj)∈V×V}表示邊集,由個體間的鄰接關(guān)系確定.

考慮由N個個體組成的群體,其動態(tài)方程為p i=q i,q i=u i,i=1,2,…,N.其中:p i為個體的位置;qi=(xi,yi)T為速度向量,ui=(uxi,uyi)T為控制輸入;p ij=p i-p j為個體i,j間相對位置矢量;‖p ij‖為個體i,j間的相對距離.

群集運(yùn)動是一種基于勢場原理的運(yùn)動,它的控制由兩部分來實現(xiàn):u i=ai+βi,i=1,2,…,N.式中:ai由人工勢能來實現(xiàn),用于控制個體間的距離實現(xiàn)避碰和聚集;βi用于調(diào)整個體的速度使群體的速度匹配.第i個體的虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)用(piL,qiL)進(jìn)行描述,根據(jù)個體最近m個時刻用最小二乘估計產(chǎn)生.

式中:Ni為i個體的鄰居集,NiΔ={j:‖p ij‖≤R}?{1,2,…,N},R為個體的通訊作用能力;k1為常數(shù).在群集運(yùn)動中個體的運(yùn)動狀態(tài)同時取決于個體的內(nèi)外部環(huán)境,但外部環(huán)境(周圍鄰近個體的狀態(tài))起主導(dǎo)作用,故體現(xiàn)個體內(nèi)部因素的作用項的系數(shù)k1應(yīng)在(0,1)范圍內(nèi);U ij為勢能函數(shù),是關(guān)于個體i與j之間的相對距離‖pij‖的非負(fù)、可微函數(shù),是關(guān)于個體i與其虛擬領(lǐng)航者間的勢能函數(shù).均應(yīng)滿足:當(dāng)‖pij‖→0,Uij(‖pij‖)→∞;當(dāng)個體i與j之間的相對距離‖p ij‖達(dá)到一定值時,U ij取得惟一最小值.

由于在(p,q)坐標(biāo)系下,系統(tǒng)的解最終將趨向無窮、無界.故將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換到相對坐標(biāo)系(r,v)下,即 ri=pi-p,vi=qi-q,其中 p,q表示群體的

2 穩(wěn)定性分析

下面基于LaSalle不變原理給出該模型的穩(wěn)定性分析,考慮如下的半正定函數(shù):W=

定理 考慮一個由N個個體組成的群體,其運(yùn)動控制律由式(3)描述,假設(shè)群體所對應(yīng)的鄰接圖G是連通的,那么所有的個體最終能夠達(dá)到速度矢量相等,相互間的距離穩(wěn)定,并且個體之間不發(fā)生碰撞,群體內(nèi)部的總勢能達(dá)到最小.

由LaSalle不變原理可知:如果系統(tǒng)的初始狀態(tài)在集合Ω內(nèi),系統(tǒng)的軌跡將收斂到區(qū)域S={(r,v)∈Ω:W=0}內(nèi)的最大不變集.因此,由 W=‖vi-vj‖2＜0可知,群體進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)時,v1=v2=…=vN,且所有個體收斂到固定位置p*,使得總勢能∑V(p*)達(dá)到最小值.

3 仿真與分析

本文選取5個具有相同二階動態(tài)性能的個體,在MATLAB環(huán)境下進(jìn)行仿真.在保證群體對應(yīng)的連接圖G連通的前提下,個體隨機(jī)分布在[-2.5,2.5]的矩形區(qū)域內(nèi),初始速度大小在(0,1)的范圍內(nèi).R=2,A=5,L=1.

在初始條件相同的情況下,本文進(jìn)行了兩組比較仿真實驗.第一組實驗比較了無記憶和有記憶兩群體的運(yùn)動特性.(如圖1～圖4所示)實驗結(jié)果顯示兩群體最終均以較快的速度形成穩(wěn)定的群集運(yùn)動;但在穩(wěn)定運(yùn)行階段有記憶群體的個體的狀態(tài)在穩(wěn)態(tài)附近的波動幅度較大.證實了群集現(xiàn)象中個體的內(nèi)部因素對群集運(yùn)動存在著影響.第二組實驗對內(nèi)部因素作用項-c▽piViL的影響程度進(jìn)行了比較仿真(如圖5～圖6所示),結(jié)果顯示當(dāng)增大作用項的系數(shù)c時,個體的狀態(tài)在穩(wěn)態(tài)附近的波動幅度加大;因此應(yīng)限制該項的大小使它小于外部因素的影響,原因在于內(nèi)部因素反映了個體的個性特征,當(dāng)個體的個性特征太突出時,群體將較難達(dá)到協(xié)調(diào)一致.這與現(xiàn)實中太有個性的群體難于領(lǐng)導(dǎo)達(dá)到共識的現(xiàn)象相吻合.

圖1 無記憶群體的運(yùn)行軌跡

圖2 無記憶群體的速度收斂過程

圖3 C=0.2時有記憶群體的運(yùn)行軌跡

圖4 C=0.2時有記憶群體的速度收斂過程

圖5 C=0.45時有記憶群體的運(yùn)行軌跡

圖6 C=0.45時有記憶群體的速度收斂過程

4 結(jié) 論

本文提出了具有記憶能力的智能群集控制模型,通過記憶單元的信息預(yù)測估計個體的運(yùn)行趨勢,并以此作為虛擬領(lǐng)航者引導(dǎo)群體運(yùn)行.該模型反映了群集運(yùn)動中個體不僅受局部外界環(huán)境影響,同時也受個體的自身內(nèi)部環(huán)境因素的影響.

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