賀 娟，袁頌岳

(1. 湖南人文科技學院 物理與信息工程學院，湖南 婁底 417001；2. 桂林電子科技大學 信息科技學院，廣西 桂林 530022)

時滯不確定系統(tǒng)的H∞控制器設計

賀 娟1，袁頌岳2

(1. 湖南人文科技學院 物理與信息工程學院，湖南 婁底 417001；2. 桂林電子科技大學 信息科技學院，廣西 桂林 530022)

針對多時滯不確定系統(tǒng)，用Riccati和LMI相結合的方法設計了一個H∞控制器。該方法的要旨在于只要相應的ARE 和LMI存在正定解，就能設計出H∞控制器。同時用仿真驗證了該H∞控制器不但保證了閉環(huán)系統(tǒng)魯棒漸近穩(wěn)定，而且對于所有容許的不確定性，其H∞范數(shù)小于某一常數(shù)r，并且其系統(tǒng)響應都趨向穩(wěn)定。

魯棒H∞控制 ；不確定系統(tǒng)；時滯；LMI

隨著H∞控制理論[1]的迅速發(fā)展,魯棒H∞控制器的設計方法受到許多學者的關注[2-7]。文獻[2]首次采用代數(shù)黎卡提方程(ARE)設計出了一類無時滯確定性系統(tǒng)的H∞控制器;文獻[3,4]分別針對存在控制或狀態(tài)時滯的線性確定性系統(tǒng),也是采用ARE設計出了H∞控制器;文獻[5]在[3,4]的基礎上研究了一類同時含有狀態(tài)和時滯的不確定系統(tǒng),同樣使用ARE方法設計出了H∞控制器。本文用LMI和ARE相結合的方法，針對同時含有狀態(tài)和控制滯后的不確定系統(tǒng)，給出了H∞控制器的又一種設計方法。

1 問題描述

考慮不確定時滯系統(tǒng)模型:

z(t)=Ex(t)

x(t)=0，tlt;0，x(0)=x0

(1)

上式中x(t)∈Rn是狀態(tài)向量；u(t)∈Rm是控制向量；w(t)∈Rp是平方可積的干擾輸入矢量；z(t)∈Rq是被控輸出；A，A1,B,B1,D和E為適當維數(shù)的常數(shù)矩陣；d1為狀態(tài)時滯，d2為控制輸入時滯；假設參數(shù)不確定性滿足匹配和范數(shù)有界條件

(2)

其中G，H和H1為一組定義了不確定性結構的具有適當維數(shù)的常數(shù)矩陣，F(xiàn)(t)∈Ri×j為未知Lebesgue可測函數(shù)，且滿足

F(t)TF(t)≤I

(3)

對系統(tǒng)(1)，考慮構造線性狀態(tài)無記憶反饋控制器

u(t)=-Kx(t)

其中K∈Rm×n為一常數(shù)矩陣，則從w到z的傳遞函數(shù)為

Gzw(s)=E(SI-A-BK-ΔA-A1e-Sd1-ΔA1e-sd1-B1Ke-sd2)-1D

(4)

因此，設計問題可表述為構造一個控制器u(t)使系統(tǒng)：

(1)閉環(huán)漸進穩(wěn)定；

(2)保證對所有容許的不確定性，有Gzw(s)≤r，其中r是一預先給定的正標量。

2 主要結果

定理1 對于系統(tǒng)(1)，當采用控制律

(5)

時，閉環(huán)系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的，其中ε為一正標量，P和R是正定矩陣，且滿足如下的LMI：

(6)

證明：在w(t)=0的情況下，當采用控制律(5)時閉環(huán)系統(tǒng)可寫成：

(7)

利用Lyapunov函數(shù)：

把(7)式代入整理后可以得到：

Q23=0

Q32=0

式(6)隱含

因此可得Qlt;0

因此，閉環(huán)系統(tǒng)是魯棒漸近穩(wěn)定的。

定理2：給定正常數(shù)r，考慮系統(tǒng)(1)，假設對于某正標量ε和正定矩陣R和Q，存在正定解P，滿足如下的Riccati方程：

(8)

則當采用控制律(5)時，閉環(huán)系統(tǒng)是魯棒漸進穩(wěn)定的，且對于所有容許不確定性閉環(huán)傳遞函數(shù)Gzw的H∞范數(shù)不大于r，即 ：Gzw∞≤r。

證明：由引理1可知系統(tǒng)(1)在控制器(5)的作用下魯棒漸進穩(wěn)定，同時由Riccati方程(8)不難得到：

G*zw(jw)Gzw(jw) = r2I-[V(jw)-rI]*[V(jw)-rI]

-rDTW-1(jw)[εQ + S1+ S2+ S3+ S4]W-1(jw)D，其中

S1= PGGTP + HTH-PGFH-HTFTGTP

根據(jù)不等式X*Y+Y*X≤X*X+Y*Y,得

S1=PGGTP+HTH-PGFH-HTFTGTP≥PGGTP+HTFTFH-PGFH-HTFTGTP

≥PGFH+HTFTGTP-PGFH-HTFTGTP≥PGFH+HTFTGTP-PGFH-HTFTGTP=0同理可得S2≥0,S3≥0,S4≥0 。所以，Gzw*·Gzw≤r2I

即：Gzw∞≤r。

3 仿真

取r=0.5，考慮系統(tǒng)(1)：

取R=1 ，Q=I2，ε=0.0625 ,Riccati方程(8)的正定解為：

無記憶狀態(tài)反饋控制器：U(t)=-3.049x1(t)-8.735x2(t)。

分別取r=0.5，ε=0.0625和r=0.1，ε=0.0125。用MATLAB仿真，仿真圖形如下：

圖1 階躍響應曲線

圖1中實線表示當不確定系統(tǒng)的參數(shù)取r=0.5，ε=0.0625時的階躍響應曲線，虛線表示當不確定系統(tǒng)的參數(shù)取r=0.1，ε=0.0125時的響應曲線。不管參數(shù)怎么變化，系統(tǒng)最終趨向穩(wěn)定。

4 結論

本文通過LMI和Riccati方程，針對同時具有狀態(tài)與控制滯后不確定系統(tǒng)提出了一種H∞控制器的設計方法。并通過仿真驗證了該H∞控制器不但保證了閉環(huán)系統(tǒng)魯棒漸近穩(wěn)定，而且對于所有容許的不確定性，當其H∞范數(shù)小于某一常數(shù)r，系統(tǒng)都是趨向穩(wěn)定的。

[1]王德進.H2和H∞優(yōu)化控制理論[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)出版社，2001：56-58.

[2 ]PETERSEN I R. Disturbance and H∞ optimization:a design method based on the algebraic Riccati equation [J].IEEE Trans Autom.Control,1987(32):427-429.

[3] LEE J H ,KIN S W,KWON W H.Memoryless H∞ controllers for state delayed systems[J]. IEEE Trans Autom.Control,1994(39):159-162.

[4]CHOI H H,CHUANG M J.Memoryless H∞ controller for state delayed systems[J].IEEE Trans Autom.Control,1995(31):917-919.

[5]顧永如，等.線性不確定時滯系統(tǒng)的H∞無記憶控制器設計[J].自動化學報，1999，25(3)：429-431.

[6]張友剛，等. 基于LMI方法的線性不確定時滯系統(tǒng)魯棒鎮(zhèn)定[J].西南交通大學學報，2009，44(5)：682-687.

[7]譚沖，等. 不確定時滯廣義線性系統(tǒng)的有記憶狀態(tài)反饋魯棒H∞控制[J].黑龍江大學自然科學學報，2009，26(4)：459-464.

(責任編校：光明)

DesignofH∞InfiniteControllerforUncertainSystemswithTimeDelay

HEJuan1，YUANSong-yue2

(1. Department of Physics and Information Engineering, Hunan Institute of Humanities, Science and Technology, Loudi， 417001, China; 2. School of Information Science and Technology, Guilin University of Electronic Science and Technology, Guilin, 530022, China)

For uncertain systems with time delay, with the methods of combining of Riccati and LMI , a H∞ controller is designed. The main ideas of this method are that the relevant ARE and LMI are solvable, H∞ controller can be designed. We have proved that the designed H∞ can is robustly stable for closed-loop systems. At the same time, its norm is smaller than a constant “r” for all uncertain systems and response of the system is steady.

robust H∞ control; uncertain system; time delay; line matrix inequation

2010-07-01.

湖南省科技計劃項目(2009SK3041),湖南省教育廳項目(09C545),湖南人文科技學院青年基金項目(2008QN014).

賀娟(1974——)，女，湖南雙峰人，湖南人文科技學院物理與信息工程學院講師，碩士，研究方向：魯棒控制、數(shù)字信號處理。

TP273

A

1673-0712(2010)04-0085-03