郝曉斌,原新鳳

(河南工程學(xué)院 數(shù)理科學(xué)系，河南 鄭州 451191)

量子群作為經(jīng)典李群、李代數(shù)的基本對(duì)稱概念的推廣，有著豐富的代數(shù)、幾何及物理性質(zhì).近二十年來，量子群理論引起了許多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)物理學(xué)家的注意，目前這一理論已取得了很大的發(fā)展.例如，Lambe 和Radford 等系統(tǒng)地研究了量子群和一般Hopf代數(shù)與量子Yang-Baxter方程的解的關(guān)系[1]；Luszting、Rosso和Anderson等研究了任意有限維半單李代數(shù)g的量子包絡(luò)代數(shù)Uq(g)的表示[2-6].文獻(xiàn)[7]給出了A′上B2型量子代數(shù)的兩組典范基.本文進(jìn)一步分析這兩組基的結(jié)構(gòu)，給出了它們之間基變換.

令(aij)n×n是Cartan矩陣，aij=2，aij≤0(i≠j)，(d1，…，dn)∈Z×…×Z,滿足di∈{1，2}，且使(diaij)是正定對(duì)稱矩陣.

令v是未定元，A=Z[v，v-1],A′=Q(v) 是A的分式域.對(duì)于給定的整數(shù)M，N，m，n，d≥0，定義:

以上兩組基都有無限個(gè)元素.本文的結(jié)論是在一組基中任取一元素，都可以在這組基中找到一個(gè)包含該元素的有限集合，對(duì)應(yīng)地在另一組基中找到另一個(gè)有限集合，這兩個(gè)有限集元素個(gè)數(shù)相等，兩者元素可互相表出.

1 B2型量子代UA′數(shù)的子代數(shù)的典范基

定理2.1 令H=(a，b，c，d)∈N4.則元素θ(a，b，c，d)∈B可由下式子給出:

θ(a，b，c，d)=

式中ξ0(a，b，c，d，r，s，t，u)∈A′.

證明利用文獻(xiàn)[7]的2.2中(1′)～(6′)式易證.

引理2.2 令a，b，c，d∈N，則:

式中η(a，b，c，d，r，s，t，u)∈A′.

證明根據(jù)上面的交換公式以及Lusztig的公式有:

η3(r，s，t，u，o，p，q，m),η1(r，s，t，u，o，p，q，m，i，j，k)，η5(r，s，t，u，o，p，q，m，i，j，k)∈A′.

定理2.2 令H=(a，b，c，d)∈N4. 則元素θ(a，b，c，d)∈B可由以下式子給出:

θ(a，b，c，d)=

式中η0(a，b，c，d，r，s，t，u)∈A′.

證明由引理2.2 可得:

再根據(jù)文獻(xiàn)[7]，其中的6個(gè)表達(dá)式可以統(tǒng)一為:

θ(a，b，c，d)=

式中η6(a，b，c，d，r，s，t，u)∈A′. 定理得證.

2 B2型量子代數(shù)UA′的子代數(shù)的基變換

N+∪{0}}}，

證明首先M=?，事實(shí)上，對(duì)于任意一組非負(fù)整數(shù)t1，t2，則(t1，0，0，t2)∈M. 易知M是有限集合. 設(shè)(a，b，c，d)∈M，根據(jù)定理 2.1和定理 2.2得:

θ(a，b，c，d)=

(1)

(2)

所以(a+r，s，t，d+u)∈M， 因此

設(shè)M中元素個(gè)數(shù)為n, 則I和I′中元素個(gè)數(shù)也分別為n, 對(duì)M中每一組解，都可得到一個(gè)等式，所以有:

由 ξ0(a，b，c，d，r，s，t，u)∈A′，

η0(a，b，c，d，r，s，t，u)∈A′，可知A，B的元素屬于A′. 因?yàn)榈浞痘械脑卅?a，b，c，d)和I， I′中的元素分別是A′線性無關(guān)的，所以A，B為n階可逆矩陣，命題得證.

參考文獻(xiàn)：

[1] LAMBE L A, RADFORD D E. Algebraic aspects of the quantum Yang-Baxter equation[J]. J.Algebra, 1993(154):228-288.

[2] ANDERSEN H H, POLP P, WEN K X. Representations of quantum algebras[J].Invent Math,1991(104):1-59.

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[6] LUSTING G.Quantum groups at roots 1[J].Geom. Dedicata,1990(35):89-113.

[7] XI Nanhua.Canonical basis for type B2[J]. Journal of Algebra,1999(214):8-21.