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        非正則k-連通圖的譜半徑

        2010-11-26 02:36:34賈會才王志偉
        關(guān)鍵詞:研究

        賈會才,王志偉

        (河南工程學(xué)院 數(shù)理科學(xué)系,河南 鄭州 451191)

        給定n-階k-連通圖G,其頂點集V(G)={v1,v2,…,vn}, 邊集E(G)={e1,e2, …,em},Δ為其最大度,δ為其最小度,且度序列為Δ=d1≥d2≥…≥dn=δ.設(shè)A(G)是圖G的鄰接矩陣,則A(G)是n階非負(fù)不可約的實對稱矩陣,那么A(G)的特征值全為實數(shù),不妨設(shè)為λ1≥λ2≥…≥λn,我們稱λ1為圖G的譜半徑,記作ρ(G).近年來,對譜半徑的上下界的研究已經(jīng)有大量的文獻存在[1],研究譜半徑一直是圖譜理論中一個重要的課題.我們知道,對正則連通圖,顯然ρ(G)=Δ, 而對非正則連通圖,ρ(G)<Δ,那么一個很直接的問題就產(chǎn)生了,此時二者到底相差多少?即Δ-ρ(G)的下界問題.對一般的連通非正則圖,這個問題已經(jīng)得到了充分的研究[2-6],在這些文獻中,作者通過越來越細(xì)致的分析,得到了一系列逐步精確的下界.本文通過研究k-連通非正則圖的結(jié)構(gòu)特點,利用柯西-施瓦茲不等式作為工具,從而得到了一個很好的下界.

        一個圖G被說成是k-連通的,如果它的點連通度大于等于k.設(shè)圖G是n階k-連通圖,對任意的u,ν∈V(G),點u與點v之間的距離記為dG(u,v).圖G的直徑D是指G中任意兩點之間的最大距離.設(shè)A(G)是圖G的鄰接矩陣,則A(G)是n階非負(fù)不可約的實對稱矩陣,那么A(G)的特征值全為實數(shù),不妨設(shè)為λ1≥λ2≥…≥λn,我們稱λ1為圖G的譜半徑,記作ρ(G).由著名的Perron-Frobenius定理知,有唯一一個正的單位特征向量X對應(yīng)于ρ(G),通常稱X為圖G的Perron向量.

        對一般的連通非正則圖G,關(guān)于Δ-ρ(G)的下界已經(jīng)有下面的結(jié)果:

        (1) 2004年Dragan Stevanovic給出了

        (2) 2005年Xiao-Dong Zhang證明了

        (3) 2007年Bolian Liu等證明了

        (4) 2007年Sebastian M.Cioaba等給出了

        基于上述已知結(jié)果,該文將此問題推廣到非正則k-連通圖,并提供了Δ-ρ(G)的一個精確的下界.

        1 主要結(jié)果證明

        定理如果G是n-階非正則k-連通圖,那么

        證明:令X是A的對應(yīng)于譜半徑ρ的Perron向量,E為圖G的邊集.對每一個i∈[n]={1,2,…,n},令di為G的頂點i的度,那么

        于是

        min {l1,l2,…,lk}≤D.

        考慮到

        因為

        所以

        證畢.

        2 結(jié) 論

        本文主要研究了k-連通非正則圖G,其最大度與譜半徑差值的一個下界.關(guān)于下界的改進問題,有待進一步研究.

        參考文獻:

        [1] CVETKOVIC D M,DOOB M,SACHS H. Spectra of graphs[M]. Johann Ambrosius Barth Verlag,1995.

        [2] STEVANOVIC D. The largest eigenvalue of non-regular graphs[J]. J. Combin. Theory Ser. B, 2004,(91):143-146.

        [3] ZHANG X D.Eigenvectors and eigenvalues of non-regular graphs[J]. Linear Algebra Appl,2005,(409):79-86.

        [4] LIU B L,SHENG J,WANG X M. On the largest eigen value of non-regular graphs[J]. J. Combin. Theory Ser. B, 2007,(97):1 010-1 018.

        [5] CIOABA S M,GREGORY D A,NIKIFOROV V. Extreme eigenvalues of non-regular graphs[J]. J. Combin. Theory Ser. B, 2007,(97):483-486.

        [6] CIOABA S M. The spectral radius and the maximal degree of irregular graphs [J]. The Electronic Journal of Combinatorics,2007,(14):1-10.

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