余志衛(wèi)，唐向宏，申傳朋，李雙霞

（杭州電子科技大學通信工程學院，浙江杭州310018）

0 引 言

小波包調制是一種新型的多載波調制技術。與OFDM信號相比，小波包調制信號具有較強的抗脈沖干擾和抗窄帶噪聲干擾，以及較高的頻帶利用率，小波包調制技術受到廣泛關注。然而，作為多載波調制技術，小波包調制也存在峰均功率比（Peak-to-Average Power Ratio，PAPR）問題［1-4］。該文將在文獻2的剪枝方法基礎上，從消減PAPR和降低復雜度的角度，利用小波包樹結點的頻率選擇特性，完成對滿樹小波包調制結構的剪枝，通過選擇不同的剪枝樹形結構和不同的小波包基函數(shù)實現(xiàn)小波包調制結構的優(yōu)化，并且仿真分析不同樹形結構在加性白色高斯信道下的誤比特率性能，而文獻2僅僅考慮了一種基小波和對剪枝結構是否符合小波包調制系統(tǒng)信息傳輸?shù)囊鬀]有進一步分析。

1 小波包調制系統(tǒng)

式中，a1m［n］表示對結點（-1，m）處的小波包函數(shù)φ1m進行調制的數(shù)字信號；Γ表示小波包樹終結點（-1，m）的集合。在小波包調制實現(xiàn)時，通常采用Mallat快速算法來完成，通過構造正交鏡像濾波器組h（n）和g（n）來實現(xiàn)［2］，h（n）和g（n）分別為L長度為的低通和高通濾波器。3級小波包調制系統(tǒng)的調制、解調結構如圖1、2所示。其中xi表示經過串并轉換的輸入序列，s為小波包調制信號，（-1，m）代表第

1.1 小波包調制系統(tǒng)基本結構

小波包調制的基本原理就是利用小波包函數(shù)的正交性，用小波包函數(shù)替代正弦函數(shù)來實現(xiàn)調制。在小波包調制系統(tǒng)中，不同信道的信號調制不同結點的小波包函數(shù)，總的調制信號可表示為：層的第m個樹結點（分為3類：終結點、內結點和根結點），滿樹形小波包結構的結點為：

圖1 滿樹小波包調制結構圖（重構）

圖2 滿樹小波包解調結構圖（分解）

1.2 小波包調制的樹形結構特性

當小波包調制級數(shù)J一定，小波包調制樹形結構具有多樣性，滿樹調制結構僅是其中的一種。根據(jù)二叉樹的性質［5］，小波包調制樹結構數(shù)量γJ隨著的增加近似于2次冪增加：

小波包調制級數(shù)J=3的小波包調制樹形結構如圖3所示共有26種，其中調制樹形結構6為小波調制結構，樹形結構26為滿樹小波包調制結構。

對于小波包變換樹結構的選擇問題，人們已作了較深入的研究［6］，最有代表性的是采用熵或信息花費函數(shù)來衡量，使得最優(yōu)樹結構的信息花費函數(shù)最小。因此，結合小波包調制樹形結構的多樣性，可通過對滿樹結構的剪枝，選擇非滿樹結構實現(xiàn)調制峰值的降低要求。

圖3 J=3時所有可能的樹形結構

1.3 PAPR 定義

小波包調制系統(tǒng)的PAPR定義為［2］：PAPR即為調制信號s（t）的功率峰值與功率平均值之比。

2 小波包樹剪枝

小波包樹剪枝［2］是把相鄰的兩個或多個子結點合并成一個結點，如圖4所示。這種結點的合并不會丟失和影響儲存在剪枝樹中的信息。滿樹有相同子載波帶寬的φm［n］，而剪枝樹有不同子載波帶寬φm［n］。滿樹終結點攜帶一個調制符號，在圖4中的剪枝樹終結點攜帶一個或多個調制符號，因此這種在小波包調制中不均衡的攜帶信息成為可能，特別是這種可以隨機選擇的剪枝小波包樹在消減PAPR的應用成為可能。同時，可以直觀的看出隨著內結點數(shù)的減少，實現(xiàn)復雜度也大大降低。

調制級數(shù)為6時，除根結點（0，0）外，各內結點在剪枝時的選擇頻率［2］如圖5所示，橫坐標為小波包樹結點標號，縱坐標為對應的頻率選擇。從圖5中可以看出，對于所合并的結點，越接近根結點（0，0）的結點具有更高的頻率選擇，也就可能取得更好的消減PAPR效果，越接近終端結點的結點具有較低的頻率選擇，也就可能得到較低的消減PAPR效果，因此，可根據(jù)小波包樹結點的頻率選擇特性進行小波包樹剪枝，以達到消減PAPR的目的。

圖4 剪枝小波包調制樹結構

圖5 小波包樹結點的頻率選擇

3 實驗仿真與分析

為了分析比較不同剪枝樹對PAPR的影響，在計算機上利用MATLAB軟件構建了小波包調制系統(tǒng)的仿真系統(tǒng)。傳輸序列為雙極性｛-1，+1｝序列。

3.1 不同的剪枝樹形結構的PAPR仿真

首先，采用db4（Daubechies-4）基小波，對不同的剪枝樹形結構的PAPR進行了仿真比較。

J=3內點數(shù)為2時剪枝樹形結構的PAPR如圖6所示。從圖6中可以看出，這4種結構在消減PAPR方面取得相近似的效果，即具有相同內結點數(shù)的樹形結構具有相近似的PAPR性能。

J=3時樹8、樹12、樹16、樹24以及滿樹26的 PAPR，如圖7所示，他們的內結點數(shù)分別為2、3、4、5和 6。樹 8、樹 12、樹 16、樹 24分別比滿樹 26大約降低了 2dB、1.2dB、0.8dB和 0.2dB，而且樹 8比文獻 2采用的樹12結構的PAPR性能降低了0.8 dB。當剪枝樹的內結點數(shù)越小，消減PAPR的效果則越好。由此可以推廣到更高的調制級數(shù)，當剪枝樹形結構的內結點數(shù)越少，其消減PAPR的效果就越好，對應的調制結構也就最優(yōu)。

3.2 不同小波包基函數(shù)的剪枝樹結構分析

為了分析不同小波包基函數(shù)對剪枝樹形結構的PAPR的影響，考慮到系統(tǒng)性能和實際應用中的復雜度。在實驗仿真中，采用了正交、緊支撐的dbN小波和coifN小波作為研究對象。

采用db2、db4、db8和coif4作為基小波時，滿樹結構26的 PAPR性能分別如圖8所示。從圖8中可以看出，濾波器組的長度為2N的dbN小波，小波包基函數(shù)的支撐長度越長，其PAPR越大；雖然coif4小波與db4小波所對應的PAPR性能比較接近，但是coifN小波的濾波器組長度為6N，復雜度比dbN小波大得多。

圖6 內結點數(shù)為2的剪枝樹的PAPR

圖7 不同內結點數(shù)的剪枝樹的PAPR

圖8 樹26采用不同基函數(shù)的PAPR

采用db2、db4、db8和coif4作為基小波時，剪枝樹結構8的PAPR性能如圖9所示。在圖9中，對于剪枝樹結構8，db4小波取得與db2相似的PAPR性能。因此，綜合考慮系統(tǒng)的PAPR和復雜度，不應采用N較大的dbN小波，采用db4小波在剪枝樹結構8條件下，得到最優(yōu)的PAPR性能。

3.3 加性白色高斯信道下的誤比特率性能分析

對于加性白色高斯信道，采用如圖10所示的模型［7］。接收端接收到的信號為：

式中，s（t）為小波包調制信號，n（t）為AWGN噪聲信號。AWGN信道中小波包調制系統(tǒng)的誤比特率性能如圖11所示。假設滿樹結構每個子信道上傳送的信息碼流的分級長度為1 024，即每個子信道上的信息傳輸速率為1 024bps，在圖4中的剪枝樹，終結點（-1，0）所在子信道的信息傳輸速率為4 096bps，（-3，4）和（-3，5）所在子信道的信息傳輸速率為1 024bps，（-2，3）所在子信道的信息傳輸速率為2 048bps。仿真采用db4小波，分別樹26、樹12和樹8，其中橫坐標表示輸入信噪比，縱坐標表示比特誤碼率，從圖11中可以看出，由滿樹結構樹26到剪枝樹結構樹12和樹8，系統(tǒng)的整體誤比特率性能略有提高，也即系統(tǒng)的傳輸性能略有改善。因此，對滿樹小波包調制結構的剪枝合并，在一定的輸入信噪比下，剪枝結構不但取得較好的PAPR性能和復雜度的降低，而且符合小波包調制系統(tǒng)信息傳輸?shù)囊?。同時圖4中的剪枝小波包調制結構可以實現(xiàn)多速率傳輸?shù)奶匦浴?/p>

圖9 樹8采用不同基函數(shù)的PAPR

圖10 加性高斯白噪聲信道

圖11 AWGN信道下的誤比特率性能

4 結 論

小波包樹剪枝的結點合并越接近于根結點（0，0），對應結點的頻率選擇越高，其消減PAPR的效果越好；當剪枝樹的內點數(shù)最小時，取得最優(yōu)的PAPR性能。不同的基函數(shù)在同一剪枝樹結構中具有不同的PAPR性能，但在最優(yōu)剪枝樹的基礎上取得更好的效果，且db4小波能獲得最優(yōu)的PAPR性能。另外，這種剪枝結構適合于小波包調制系統(tǒng)信息傳輸?shù)囊螅⑶覍崿F(xiàn)多速率傳輸?shù)奶匦?。當然，小波包剪枝結構也帶來了多載波特性的損失，以及在其它信道模型下系統(tǒng)的誤碼性能還有待于進一步研究。

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