徐行忠

(湖北大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430062)

研究代數(shù)與幾何之間的關(guān)系是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的基本問題之一，代數(shù)的一個(gè)重要課題是確定各種空間(代數(shù)結(jié)構(gòu))在適當(dāng)?shù)淖儞Q群(算子)的作用下的某些不變量，而一般線性群是變換群的一個(gè)重要的群類.研究一般線性群有其特殊的意義.

在文獻(xiàn)[1]中，表示論的基本運(yùn)用而得到了一些關(guān)于一般線性群中有關(guān)有限子群階的性質(zhì)，本文對這些結(jié)論(見引理1，定理2)做出了一些推廣.

1 預(yù)備知識

在本文中，我們反復(fù)要運(yùn)用到一些概念和相關(guān)定理.為保證文章的完整性，我們有必要將其進(jìn)行重述.具體的可以參考文獻(xiàn)[1].

不可約(可約)性在表示理論中是常見的，我們先給出線性群的不可約(可約)性的定義.

定義1[1]若群G為線性群GL(n,F)的子群，則嵌入映射G→GL(n,F)是一個(gè)群G在域F上的矩陣表示.如果該表示為不可約(可約)表示，則稱該群G不可約(可約)線性群.

引理1(Burnside) 若F是特征為0的域，則線性群GL(n,F)中方次數(shù)有限的子群均為有限群.

定理2(Schur) 一般線性群GL(n，Q)的扭子群均為有限群.

可參考文獻(xiàn)[1]中這兩個(gè)命題的詳細(xì)證明.下面我們就將這兩個(gè)結(jié)論推廣到Q的一般有限擴(kuò)域F上.

2 主要定理及其證明

定理2敘述了線性群GL(n,Q)的扭子群均為有限群，進(jìn)一步地有下面定理.

定理3 GL(n,Q)的有限子群的上界是n-約束的.

為證明該定理，我們先證明如下引理.

引理4 若F是特征為0的域，在線性群GL(n,F)中子群的方次數(shù)為e,則該子群的階不超過en3.

引理4的證明不妨令F為代數(shù)封閉域.

(1)若G為不可約子群時(shí)，G的方次數(shù)為e，任取g∈G,則ge=1.故g的特征根為域F中的e次單位根.因?yàn)橛騀至多包含e個(gè)這樣的特征根，所以trace(g)至多有en個(gè)不同的取值.由文獻(xiàn)[1]可知，G為有限群且|G|≤(en)n2=en3.

(2)若G為可約子群時(shí)，取V為G到GL(n,F)的嵌入映射G→GL(n，F(xiàn))所誘導(dǎo)的表示對應(yīng)的向量空間.由G的可約性，取FG-模V的子模U，其中dimV=n,令k=dimU

(3)取L=L1∩L2,則|G/L|≤ek3·e(n-k)3≤en3.而L平凡作用于U和V/U上，即L為無扭群.因此|L|=1.故有|G|≤en3.

定理3的證明由定理2的證明(參考文獻(xiàn)[1])，線性群GL(n,Q)中的有限群的方次數(shù)僅由n決定.可以設(shè)GL(n,F)中的有限子群H的方次數(shù)為e.由引理4，|H|≤en3.因此GL(n,F)中的有限子群的階是n-約束的.

將定理2的基域Q推廣為Q的有限擴(kuò)域F，我們得到下面的定理.

定理2′ 線性群GL(n,F)的扭子群均為有限群.其中F為Q的擴(kuò)域，且[F∶Q]=k有限.

引理5 設(shè)Γx={[kt1,…,ktl]|t1+…+tl=x,ti,l∈Z+，kti∈{a|φ|(a)≤ti·k，a∈Z+}},令f(x)=maxΓx.則對于任意的x,y∈Z+,n∈Γx,m∈Γy，有[n,m]∈Γx+y,且[m,n]≤f(x+y).

定理2′的證明令G為GL(n,F)的任意一個(gè)扭子群.為證明該扭子群G為有限群，由引理1知，只需要證明群G的方次數(shù)有限.

任意取g∈G，令H=〈g〉，且gm=1.我們將證明整數(shù)m∈Γn，則m≤f(n).

對n進(jìn)行歸納，我們先假設(shè)H是不可約的.由于H≤GL(n,F)，故嵌入映射H→GL(n,F)可以作為群H在域F上的一個(gè)矩陣表示，不妨令V是這個(gè)表示所對應(yīng)的n維向量空間.即V可以看作FH-不可約模.

由Schur引理，EndH(V)為域F上的可除代數(shù).設(shè)EndH(V)的中心域?yàn)镋.即有F?E,顯然g∈E.以下均在域E中進(jìn)行討論，令Φm為有理數(shù)域Q上的次分圓多項(xiàng)式，所以degΦm=φ(m),而且Φm(g)=0.令g在域F上的極小多項(xiàng)式為f(x)，設(shè)l=degf(x).由于

[F(g)∶Q]=[F(g)∶F][F∶Q]=[F(g)∶Q(g)][Q(g)∶Q]

即有

l·k≥[Q(g)∶Q]=degΦm=φ(m).

(1)

若取0≠u∈V,則u,ug,…,ugl-1在基域F中為線性獨(dú)立的.不然則有g(shù)的極小多項(xiàng)式的次數(shù)小于l=degf.因此l≤dimV.由(1)式可知：

φ(m)≤degf·k=l·k≤dimV·k=n·k.

因此H不可約時(shí)，m≤max{kt1|t1=n,t1∈Z+,kt1∈{m|φ(m)≤t1·k}}≤f(n)成立.

當(dāng)H可約時(shí)，即FH-模V有非0的真FH-子模U，其中記dimU=s.因此g共軛于下面的矩陣：

其中g(shù)1∈GL(s,F),g2∈GL(n-s,F).

由歸納假設(shè)可知，|g1|∈Γs,|g2|∈Γn-s.

而|g|≤[|g1|,|g2|]∈Γn,所以|g|≤f(n).

綜上所述，群G的方次數(shù)≤f(n)，由引理1知，群G為有限群.

定理3′ GL(n,F)的有限子群的上界是(n,k)-約束的.其中F為Q的擴(kuò)域，且[F∶Q]=k有限.

定理3′的證明仿照定理3.由定理2′，線性群GL(n,F)中的有限子群的方次數(shù)僅由n決定.可以設(shè)GL(n,F)中的有限子群H的方次數(shù)為e.由引理4，|H|≤en3.因此GL(n,F)中的有限子群的階是(n,k)-約束的.

參考文獻(xiàn)：

[1] Dere J S Robinson.A course in the theory of groups[M].New York:Spring-Verlag,1982.

[2] 張遠(yuǎn)達(dá).有限群構(gòu)造(上,下冊)[M].北京:科學(xué)出版社,1982.