● (咸陽師范學院基礎教育課程研究中心 陜西咸陽 712000)
1919年,數(shù)學家外森比克(Weitzenb?ck)提出了如下三角形邊長和面積的一個優(yōu)美不等式:
問題1設△ABC的3條邊長為a,b,c,面積為Δ,則有不等式
此題曾經(jīng)作為1961年國際數(shù)學競賽題.圍繞不等式(1)有許多有趣的加強和拓廣.我們知道,早就有加強(1)的Tsintsifas不等式[1]:
問題2設△ABC的3條邊長為a,b,c,面積為Δ,則有不等式
問題3設△ABC的3條邊長為a,b,c,面積為Δ,則有不等式
在文獻[2]中,作者將不等式(2)變形為:
問題4設△ABC的3條邊長為a,b,c,其半周長和面積分別為p,Δ,則有不等式
值得一提的是:1937年,數(shù)學家費恩斯列爾(Finsler)——哈德維格爾(Hadwiger)將不等式(1)加強為如下不等式:
問題5設△ABC的3條邊長為a,b,c,面積為Δ,則有不等式
這個不等式還可以等價變形為:
等價于
事實上,用不等式(3)來證明不等式(5)是非常簡單的,請看:
證明由三元均值不等式和不等式(3),得
獲證.
早在1982年,重慶市第二十三中學高靈教師將不等式(4)推廣為2個三角形的情形:
問題6設△ABC和△A′B′C′的3條邊長分別為a,b,c;a′,b′,c′,其面積分別為Δ和Δ′,則有不等式
下面給出一個比較簡單的證法.
H2=[a′(b+c-a)+b′(c+a-b)+c′(a+b-c)][a(b′+c′-a′)+b(c′+a′-b′)+c(a′+b′-c′)]=
4[a′(p-a)+b′(p-b)+c′(p-c)][a(p′-a′)+b(p′-b′)+c(p′-c′)]≥
事實上,不等式(5)還可以推廣到多個三角形的情景(見文獻[2]).
問題7設△AiBiCi的邊長、半周長和面積分別為ai,bi,ci,pi,Δi(i=1,2,…,n),則有
還需要指出的是,不等式(2)還可以繼續(xù)加強,得到如下的不等式:
問題8設△ABC的3條邊長為a,b,c,面積為Δ,則有不等式
證明由射影定理,得
a=bcosC+ccosB.
于是應用著名的柯西不等式,得
a2=(bcosC+ccosB)2≤(b2+c2)(cos2C+cos2B),
即
變形得
同理可得
將這3個不等式2邊相加,便得
注意到常見的不等式
可得
再結(jié)合正弦定理,可得
變形得
即
(本文獲咸陽師范學院重點科研課題(08XSYK110)、陜西省教育科學“十一五”規(guī)劃(SGH090228)項目支持.)
[1] 苗興振,董林.Weitzenb?ck及Tsintsifas不等式的加強[J].中學數(shù)學月刊,2010(2):45.
[3] 安振平.以三正數(shù)為邊長可構(gòu)成三角形的充要條件及應用[J].湖南數(shù)學通訊,1985(3):17-19.