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        從著名的外森比克不等式引發(fā)的思考

        2010-11-24 07:06:14咸陽師范學院基礎教育課程研究中心陜西咸陽712000
        中學教研(數(shù)學) 2010年10期
        關(guān)鍵詞:變形

        ● (咸陽師范學院基礎教育課程研究中心 陜西咸陽 712000)

        1919年,數(shù)學家外森比克(Weitzenb?ck)提出了如下三角形邊長和面積的一個優(yōu)美不等式:

        問題1設△ABC的3條邊長為a,b,c,面積為Δ,則有不等式

        此題曾經(jīng)作為1961年國際數(shù)學競賽題.圍繞不等式(1)有許多有趣的加強和拓廣.我們知道,早就有加強(1)的Tsintsifas不等式[1]:

        問題2設△ABC的3條邊長為a,b,c,面積為Δ,則有不等式

        問題3設△ABC的3條邊長為a,b,c,面積為Δ,則有不等式

        在文獻[2]中,作者將不等式(2)變形為:

        問題4設△ABC的3條邊長為a,b,c,其半周長和面積分別為p,Δ,則有不等式

        值得一提的是:1937年,數(shù)學家費恩斯列爾(Finsler)——哈德維格爾(Hadwiger)將不等式(1)加強為如下不等式:

        問題5設△ABC的3條邊長為a,b,c,面積為Δ,則有不等式

        這個不等式還可以等價變形為:

        等價于

        事實上,用不等式(3)來證明不等式(5)是非常簡單的,請看:

        證明由三元均值不等式和不等式(3),得

        獲證.

        早在1982年,重慶市第二十三中學高靈教師將不等式(4)推廣為2個三角形的情形:

        問題6設△ABC和△A′B′C′的3條邊長分別為a,b,c;a′,b′,c′,其面積分別為Δ和Δ′,則有不等式

        下面給出一個比較簡單的證法.

        H2=[a′(b+c-a)+b′(c+a-b)+c′(a+b-c)][a(b′+c′-a′)+b(c′+a′-b′)+c(a′+b′-c′)]=

        4[a′(p-a)+b′(p-b)+c′(p-c)][a(p′-a′)+b(p′-b′)+c(p′-c′)]≥

        事實上,不等式(5)還可以推廣到多個三角形的情景(見文獻[2]).

        問題7設△AiBiCi的邊長、半周長和面積分別為ai,bi,ci,pi,Δi(i=1,2,…,n),則有

        還需要指出的是,不等式(2)還可以繼續(xù)加強,得到如下的不等式:

        問題8設△ABC的3條邊長為a,b,c,面積為Δ,則有不等式

        證明由射影定理,得

        a=bcosC+ccosB.

        于是應用著名的柯西不等式,得

        a2=(bcosC+ccosB)2≤(b2+c2)(cos2C+cos2B),

        變形得

        同理可得

        將這3個不等式2邊相加,便得

        注意到常見的不等式

        可得

        再結(jié)合正弦定理,可得

        變形得

        (本文獲咸陽師范學院重點科研課題(08XSYK110)、陜西省教育科學“十一五”規(guī)劃(SGH090228)項目支持.)

        [1] 苗興振,董林.Weitzenb?ck及Tsintsifas不等式的加強[J].中學數(shù)學月刊,2010(2):45.

        [3] 安振平.以三正數(shù)為邊長可構(gòu)成三角形的充要條件及應用[J].湖南數(shù)學通訊,1985(3):17-19.

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