● (杭州市第二中學(xué) 浙江杭州 310056) ● (長征中學(xué) 浙江杭州 310011)

自浙江省高考自主命題以來，數(shù)學(xué)高考理科試題立體幾何大題的命制之間既有傳承，也有變化.在保持考查基本功能的基礎(chǔ)上，不斷豐富考查的內(nèi)容和形式，取到了很好的區(qū)分、選拔人才和指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的作用.

1 大綱與課標(biāo)的考核要求

大綱版教材將立體幾何內(nèi)容安排在高二教材的第9章，并區(qū)分為A版和B版.A版強調(diào)用綜合法解決立體幾何問題，按公理化體系、知識的邏輯關(guān)系安排內(nèi)容；B版補充空間向量的知識，強調(diào)利用空間向量解決與立體幾何相關(guān)的問題.

隨著新課程的進入，人教A版教材為適應(yīng)《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，將立體幾何內(nèi)容和進度安排作了較大的調(diào)整.在內(nèi)容安排上強調(diào)螺旋上升，分層遞進，逐步到位.在教學(xué)要求上強調(diào)采用直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等方法認識和探索幾何圖形及其性質(zhì).

對理科的考試要求而言，大綱的要求與課標(biāo)的要求基本一致.以空間點、線、面的位置關(guān)系(特別是平行、垂直、角度)來考查學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力，或利用空間向量解決立體幾何問題(空間向量為立體幾何中某些用綜合法解決時技巧性較大的問題提供了通法).

2 試題特點分析

2.1 重點問題重點考

試題多以三棱錐、四棱錐為載體，考查基本的知識和方法，譬如平行、垂直、線面角、二面角等.這幾個方面是立體幾何中最重要的知識，它們一起構(gòu)成了立體幾何知識的主干.

2.2 常規(guī)問題反復(fù)考

自主命題以來，雖然經(jīng)歷了由大綱教材向課標(biāo)教材的轉(zhuǎn)變，但高考試卷中立體幾何部分卻相對穩(wěn)定.如果僅從試題考核的知識和方法角度來看，大綱版和課標(biāo)版的試題沒有本質(zhì)的差異.總體來說，考核內(nèi)容常規(guī)，主要體現(xiàn)在2個方面：一是題目選用背景常規(guī)，所用幾何載體基本常規(guī)；二是題目的設(shè)問比較常規(guī)，基本上都是2個小題，第(1)小題以證明平行或垂直為主，第(2)小題則以求解角度或長度為主.這也契合高中立體幾何定性和定量地研究空間中點、線、面位置關(guān)系的定位，它一方面是空間想象能力的外顯，另一方面是對計算能力和邏輯思維能力的良好考查.

2.3 新穎問題變著考

立體幾何大題的新穎性體現(xiàn)在2個方面，即試題背景的有別常規(guī)和設(shè)問的視角變化.試題在保持常規(guī)考核的基礎(chǔ)上，也進行了變化和探索.通過在試題背景和問題設(shè)計上加入一些新的元素，避免了試題整體上的審美疲勞，在不斷重復(fù)中尋求變化，并形成了很好的亮點.2004年給出的幾何體稍別于常規(guī)，將2個矩形進行直二面角的拼接，或者可以理解為長方體的切割，不落俗套;2005年則在第(3)小題中考查“當(dāng)k取何值時，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心”,對“題海戰(zhàn)術(shù)”是一個不小的打擊;2008年則以組合圖形作為背景;2010年的試題則以平面圖形的翻折為背景，設(shè)問也一改常規(guī)，2個小題都考核定量的計算，而將定性的考核放到選擇題和填空題之中.

2.4 垂直關(guān)系年年有

垂直關(guān)系是立體幾何問題的核心，或是線線、線面垂直，或是面面垂直，它是立體幾何問題綜合的樞紐．從解決問題的方法來說，若用向量法，則這種垂直是建立空間直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ).而在用綜合法解題過程中，垂直關(guān)系又是平行、垂直、角度等關(guān)系轉(zhuǎn)化的樞紐，也是求距離、長度等問題的基本模型.

3 求解思路探尋

為了更好的復(fù)習(xí)迎考，為解題教學(xué)提供幫助，下面對試題求解過程作一簡要分析.

(1)求二面角A′-FD-C的余弦值；

(2)點M，N分別在線段FD，BC上，若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折，使點C與點A′重合，求線段FM的長.

圖1

圖2

4 教學(xué)啟示

4.1 完善知識網(wǎng)絡(luò)

縱觀歷年立體幾何試題，考查的都是最基本的點、線、面的位置關(guān)系以及它們的度量.因此在復(fù)習(xí)時，要建立起完整的知識網(wǎng)絡(luò)，特別是研究定理間的關(guān)系，繪制出知識網(wǎng)絡(luò)圖(如圖3)，使基礎(chǔ)知識系統(tǒng)化.

圖3

這樣,不僅能理解各部分知識的縱向聯(lián)系、橫向聯(lián)系，理清脈絡(luò)，抓住知識主干，而且便于記憶，便于解決問題時的提取.

4.2 積累常規(guī)模型

圖形是解決立體幾何問題的思考平臺，在提升看圖和畫圖能力的基礎(chǔ)之上，還可多積累一些立體幾何中的常規(guī)圖形的模型.例如正方體、長方體、正四面體等.

建立空間觀念，培養(yǎng)圖形意識.每年的立體幾何試題雖然給出了圖形，但如果空間觀念不強，那么圖形所揭示的點、線、面的位置關(guān)系就理不清.譬如2005年數(shù)學(xué)高考試題，很多學(xué)生找不到“O在平面PBC內(nèi)的射影”在哪里；2006年找不到“CD與平面ADMN所成的角”.對于同一個圖形，還要善于從不同的角度去觀察和理解，可以是俯視、仰視、側(cè)視、斜視，從中體會不同的感覺，以開拓空間視野，培養(yǎng)空間感.

4.3 教會如何思考

和其他問題一樣，對立體幾何大題的求解，首先是對題目已知條件的分析，結(jié)合所求的問題選擇合適的方法.一般地，可以將已知條件盡可能的標(biāo)示在題圖上，甚至挖掘出隱含的條件和結(jié)論.根據(jù)問題類別確定相應(yīng)的解決方法,譬如證明線面平行可以轉(zhuǎn)化為證明線線平行，也可轉(zhuǎn)化為證明面面平行.有時還可考慮和其他知識的巧妙結(jié)合，譬如函數(shù)知識，或是平面幾何中的結(jié)論或定理等.只有教會了學(xué)生如何思考，學(xué)生才會在不斷變化的題目背景中找到最佳的方法解決問題.

4.4 發(fā)展思維品質(zhì)

立體幾何試題?？汲Ｐ?有的背景新穎、有的求解思路獨特，要求考生具備良好的思維品質(zhì)，才能在考試時有沉著、冷靜的心態(tài)，尋求最優(yōu)的解答方法．空間想象能力、計算能力和邏輯思維能力是解決立體幾何大題的基礎(chǔ).