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        論邊長確定的四邊形面積最大值定理

        2010-11-24 03:58:25河間市第一中學(xué)河北河間062450
        關(guān)鍵詞:條邊余弦定理邊長

        ● (河間市第一中學(xué) 河北河間 062450)

        《數(shù)學(xué)通報》2009年第11期有如下一個數(shù)學(xué)問題:

        題目四邊之長分別為定值的凸四邊形的兩對角線互相垂直,求此四邊形面積的最大值.

        x2-y2=w2-z2=AE2-CE2,x2+z2=y2+w2,

        圖1

        圖2

        即兩組對邊邊長平方之和相等.這里對四邊形進行了限制.自然會問:給出4條線段(任三邊之和大于第四邊),由其構(gòu)成的四邊形面積有無最大值、何時取得最大值、有無一般規(guī)律?筆者對此進行了探究,得到如下定理:

        定理1若給出4條線段a,b,c,d,當(dāng)其組成的四邊形為圓的內(nèi)接四邊形時,面積最大.

        證明顯然,四邊形面積最大時一定是凸四邊形.

        如圖2,凸四邊形ABCD的4條邊之長依次為a,b,c,d,一組對角分別為θ1,θ2,連結(jié)BD,則四邊形面積

        2S=absinθ1+cdsinθ2.

        (1)

        在△ABD與△CBD中,由余弦定理得

        a2+b2-2abcosθ1=c2+d2-2cdcosθ2,

        從而

        (2)

        式(1)與式(2)平方相加,整理得

        因此,當(dāng)cos(θ1+θ2)=-1時,S有最大值.而0<θ1+θ2<2π,當(dāng)θ1+θ2=π,即四邊形為圓的內(nèi)接四邊形時,面積有最大值,且

        定理得證.

        由上述證明過程不難得出,對于圓的內(nèi)接四邊形的面積有如下定理:

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