● (蘇苑高級(jí)中學(xué) 江蘇蘇州 215128)

波利亞認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本宗旨是“教會(huì)年輕人思考”.在當(dāng)前的教育模式下，每一位教師都應(yīng)該認(rèn)真研究高考試題，不僅研究試題如何解決，還應(yīng)研究試題的背景、與課本知識(shí)的聯(lián)系.因?yàn)橛泻芏囝}目本身是出自課本題目或進(jìn)行了適當(dāng)?shù)母木?在這些內(nèi)容已經(jīng)基本研究清楚的情況下，還應(yīng)該研究解決題目的方法和思想，對(duì)該題的知識(shí)和方法的延伸，以及改變題目某些條件而出現(xiàn)的新題，更為重要的是教會(huì)學(xué)生如何思考.

針對(duì)近幾年江蘇省數(shù)學(xué)高考部分試題，筆者做了一些引申，在《數(shù)學(xué)通訊》2006年第11期上發(fā)表了對(duì)2006年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第21題的引申的文章，并在平時(shí)課堂教學(xué)中加以實(shí)踐，這對(duì)課堂教學(xué)有一定的幫助.波利亞說(shuō)：“當(dāng)你找到第一個(gè)蘑菇后，要環(huán)顧四周，因?yàn)樗鼈兛偸浅啥焉L(zhǎng)的”.在解題教學(xué)中，解題后的反思不單是簡(jiǎn)單的回顧或檢驗(yàn)，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)分析問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，尋找各科知識(shí)的交叉點(diǎn)，總結(jié)、理清、概括思路，做到舉一反三、觸類(lèi)旁通，以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和知識(shí)遷移能力，并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)命題進(jìn)行條件弱化和結(jié)論加強(qiáng)、推廣、引申等的反思.

1 從合情推理的角度對(duì)試題的知識(shí)覆蓋進(jìn)行引申

合情推理是波利亞的“啟發(fā)法”中的一個(gè)推理模式,歸納推理和類(lèi)比推理統(tǒng)稱為合情推理.歸納推理就是從具體到一般的推理，對(duì)試題的歸納推理就是將條件弱化、一般性處理后的一種推理，譬如歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式等.類(lèi)比推理就是將問(wèn)題類(lèi)比到具有某些共同屬性的知識(shí)上去而得到的一些推理結(jié)果，譬如將等差數(shù)列問(wèn)題類(lèi)比到等比數(shù)列問(wèn)題，平面幾何問(wèn)題類(lèi)比到立體幾何問(wèn)題等.此類(lèi)問(wèn)題的引申能提高課堂教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的深度和廣度.

例1設(shè)數(shù)列{an},{bn},{cn}滿足：bn=an-an+2,cn=an+2an+1+3n+2(n=1,2,3,…),證明:{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是{cn}為等差數(shù)列,且bn≤bn+1(n=1,2,3,…).

(2006年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題)

引申1設(shè)數(shù)列{an},{bn},{cn}滿足:bn=an-an+2,cn=an+2an+1+3an+2+…+(k+1)an+k(n=1,2,3,…;k∈N*),證明:{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是{cn}為等差數(shù)列,且bn≤bn+1(n=1,2,3,…).

2 從數(shù)學(xué)思想方法的角度對(duì)試題的解法進(jìn)行引申

中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法有許多，主要有分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)方程思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.在教學(xué)中,若能讓學(xué)生真正領(lǐng)會(huì)這些思想,這將對(duì)高考解題有很大的幫助.

譬如,許多數(shù)學(xué)問(wèn)題有“代數(shù)和幾何”的雙重背景，在解決時(shí)可以從這2個(gè)角度去思考，可以鍛煉學(xué)生的抽象思維與形象思維.

圖1

江蘇2009高考數(shù)學(xué)試題第18題：

例2如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圓C2:(x-4)2+(y-5)2=4.

(2)設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等,試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

除了試題給出的答案外，還可以用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題.

由上可見(jiàn)，此題用數(shù)形結(jié)合思想有效地化解了復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算，在教學(xué)過(guò)程中不妨經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生將代數(shù)方法與幾何方法轉(zhuǎn)換使用.

3 從弱化命題條件的角度對(duì)試題的結(jié)論進(jìn)行引申

一個(gè)命題有條件和結(jié)論這2個(gè)部分，如果將條件弱化，從具體數(shù)據(jù)引申為一般情形，那么就改變了命題的題設(shè)，從而對(duì)結(jié)論產(chǎn)生影響.有時(shí)結(jié)論仍然成立，有時(shí)結(jié)論不成立，這就需要我們?nèi)ヅ袛嗪妥C明.如此訓(xùn)練，一方面可以讓學(xué)生認(rèn)清某類(lèi)知識(shí)和方法的本質(zhì);另一方面還能提高學(xué)生的自主探索能力.

對(duì)2009年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第18題還可進(jìn)行如下引申：

引申4若平面內(nèi)有2個(gè)不重合的圓C1,C2，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線l1和l2，分別與圓C1和C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等.如果存在，求出點(diǎn)P；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析選擇用代數(shù)方法運(yùn)算.

建立平面直角坐標(biāo)系，使得圓C1,C2的圓心分別為(-a，0)和(a，0).設(shè)圓C1,C2的半徑分別為r1,r2,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,n),直線l1和l2的方程分別為

即

由題意可得

化簡(jiǎn)得

4nmk+[n2-(m-a)2],

此關(guān)于k的方程有無(wú)窮多解.由

解得

顯然第2組解不符題意，舍去.第1組解表示：要有滿足題意的解，兩圓半徑必須相同，點(diǎn)P必須在兩圓心連線段的垂直平分線上，且點(diǎn)P到此垂直平分線的距離等于兩圓心連線段距離的一半.在這種情形下，點(diǎn)P有且只有2個(gè)，這2個(gè)點(diǎn)與兩圓心正好圍成一個(gè)正方形.如果不滿足上述情形，那么這樣的點(diǎn)P不存在.

引申5若平面內(nèi)有2個(gè)不重合的圓C1,C2，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)夾角恒定的直線l1和l2，它們分別與圓C1和C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等.如果存在，求出點(diǎn)P；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析選擇用幾何方法說(shuō)理.

當(dāng)2個(gè)圓半徑相同時(shí)，當(dāng)直線l1經(jīng)過(guò)圓心C1，直線l2經(jīng)過(guò)圓心C2時(shí)，它們被圓截得的弦長(zhǎng)相等，都為圓的直徑，點(diǎn)P應(yīng)在線段C1C2的垂直平分線l上.因?yàn)閘1,l2夾角恒定，所以點(diǎn)P也在以線段C1C2為一條弦且其所對(duì)的圓周角恒定的2段圓弧C上，即點(diǎn)P是直線l與C的交點(diǎn)，這樣的點(diǎn)P有且只有2個(gè)(點(diǎn)A，B).當(dāng)l1,l2繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)至l1′,l2′時(shí)，各自旋轉(zhuǎn)的角度相同，C1到l1′的距離與C2到l2′距離相等.由垂徑定理可知，直線l1′被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2′被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等.因此滿足條件的點(diǎn)P就是A，B，此時(shí)四邊形AC1BC2為菱形，利用解析幾何知識(shí)，寫(xiě)出線段C1C2的垂直平分線l的方程和以線段C1C2為一條弦且其所對(duì)的圓周角恒定的2段圓弧C的方程通過(guò)解方程組，不難求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo).

當(dāng)2個(gè)圓半徑不相同時(shí)，可以證明這樣的點(diǎn)P不存在.

上述試題的引申揭示了知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)特征(內(nèi)涵與外延)：此類(lèi)問(wèn)題可以運(yùn)用代數(shù)的運(yùn)算來(lái)解決幾何問(wèn)題，也可以從圓的幾何性質(zhì)來(lái)直接研究幾何問(wèn)題.

4 從與課本聯(lián)系的角度對(duì)試題的源頭進(jìn)行引申

在注重基礎(chǔ)知識(shí)和方法的基礎(chǔ)上，如果能夠?qū)φn本內(nèi)容進(jìn)行進(jìn)一步研究和引申，有助于學(xué)生理解問(wèn)題的本質(zhì)，提高學(xué)生研究問(wèn)題的能力.例如2008年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第13題：

這2個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)是相同的，如果引申為一般情形，那么即可得到：

若到2個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)(不為1)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，則稱之為阿波羅尼斯圓.

抓住這個(gè)本質(zhì)后，例3就不難解決了.

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))[M].北京：人民教育出版社，2005.

[2] 高德龍.2006年一道高考題的引申[J].數(shù)學(xué)通訊,2006(11)：11-12