林 磊

(華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,上海 200241)

高維空間中一類(lèi)正多面體的構(gòu)造與其體積

林 磊

(華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,上海 200241)

確定了在n維歐幾里德空間中兩向量間夾角均大于等于90度的非零向量組中向量的最大個(gè)數(shù),進(jìn)而確定了向量間夾角大于90度時(shí)的最大個(gè)數(shù).由此導(dǎo)出了n維歐幾里德空間中正n+1面體的構(gòu)造與其體積公式.

正n+1面體;體積;n維歐幾里德空間

在2006年華東師范大學(xué)攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)試題《高等代數(shù)》中有這樣一道填空題:

如果α1,α2,…,αm是n維歐幾里德空間中一組非零向量,且滿(mǎn)足(αi,αj)≤0,?i≠j,則m的最大值是___________.

我們首先來(lái)給出這道題的解答.

解 m的最大值是2n.

設(shè)m的最大值是t.令e1,…,en是n維歐幾里德空間V的任一規(guī)范正交基,即該組基滿(mǎn)足(ei,ej) =δi,j,i,j=1,…,n,則取V中2n個(gè)非零向量±e1,±e2,…,±en.容易看出這一向量組滿(mǎn)足題目的要求,于是得t≥2n.

下面我們通過(guò)對(duì)維數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明t=2n.

n=1時(shí).若至少存在3個(gè)滿(mǎn)足性質(zhì)的非零向量α1,α2,α3∈V,則因dimV=1,故存在非零k,l∈,使得α2=kα1,α3=αl1.由于

而(α1,α1)＞0,因此k＜0.同理得l＜0.于是,(α2,α3)=kl(α1,α1)＞0,這與條件(α2,α3)≤0相矛盾.故t≤2,從而t=2.于是,n=1時(shí)結(jié)論成立.

假設(shè)n=k-1時(shí)結(jié)論成立,我們要證n=k時(shí)結(jié)論也成立(k＞1).由上面的討論可知,只要證明在V中不存在2k+1個(gè)非零向量α1,α2,…,α2k+1,使得(αi,αj)≤0,?i≠j.假設(shè)α1,α2,…,α2k+1是V中滿(mǎn)足性質(zhì)的非零向量組,令α=α2k+1,W=(α)⊥,則W是V的k-1維子空間.設(shè)βi是αi在W中的正交投影,i=1,2,…,2k,則存在ki∈,使得αi=βi+kαi,i=1,2,…,2k.由于

故ki≤0.某些βi可能等于0,由于αi≠0,故此時(shí)必有ki＜0.若存在i≠j,使βi=βj=0,則(αi,αj) =(kiα,kjα)=kikj(α,α)＞0,矛盾.故至多只能有一個(gè)βi等于0.不妨設(shè)β1,β2,…,β2k-1均不為0,則由于

所以β1,β2,…,β2k-1是k-1維歐幾里德空間W中滿(mǎn)足性質(zhì)的非零向量組.但是由于這些向量共有2k-1個(gè),這就與n=k-1時(shí)的歸納假設(shè)相矛盾.于是這樣的2k+1個(gè)非零向量α1,α2,…,α2k+1不存在,故n=k時(shí)結(jié)論也成立.由數(shù)學(xué)歸納法知,該結(jié)論對(duì)任何n都成立.

如果將上述問(wèn)題中不同的向量間的內(nèi)積“≤0”的條件改為“＜0”,情況會(huì)更加有趣,而討論將更為復(fù)雜.

命題1 設(shè)α1,α2,…,αm是n維歐幾里德空間V中的向量,滿(mǎn)足(αi,αj)＜0,對(duì)任意i≠j,則m的最大值等于n+1.

證先證在V中存在滿(mǎn)足命題條件的n+1個(gè)向量.從而得m的最大值大于等于n+1.我們對(duì)V的維數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)構(gòu)造性地證明滿(mǎn)足命題條件向量組的存在性.

當(dāng)n=1時(shí),設(shè)α是V的基,則α1=α,α2=-α就是滿(mǎn)足條件的向量組.

假設(shè)n=k-1時(shí)滿(mǎn)足條件的向量組存在,現(xiàn)在來(lái)考慮dimV=n=k＞1的情形.在V中任取一單位向量,記作αk+1.考慮W=(αk+1)⊥,則W是k-1維的歐幾里德空間.根據(jù)歸納假設(shè),在W中存在k個(gè)向量β1,…,βk,使得(βi,βj)＜0,對(duì)任意i≠j成立.于是,這些向量均非零,所以,不妨設(shè)它們都是單位向量.令則a＞0.取實(shí)數(shù)l,使得0＜l＜a,則對(duì)任意i≠j,有 l2＜-(βi,βj).取αi=βi-lαk+1,i=1,…,k,則

從而α1,…,αk,αk+1就是滿(mǎn)足條件的向量組.于是,由歸納假設(shè)知,對(duì)任意的n維歐幾里德空間V,存在滿(mǎn)足條件的向量組.

下面我們?nèi)詫?duì)V的維數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明V中滿(mǎn)足命題條件的向量組最多只有n+1個(gè),從而證得命題.

對(duì)于1維歐幾里德空間,設(shè)α是V的基,αi=liα,i=1,2,3是V中任意3個(gè)非零向量,則非零實(shí)數(shù)l1,l2,l3中必有兩個(gè)數(shù)是同號(hào)的,不妨設(shè)它們是l1,l2,從而(α1,α2)=l1l2(α,α)＞0.于是,在V中不存在向量個(gè)數(shù)大于2的滿(mǎn)足條件的向量組.

假設(shè)V的維數(shù)等于k-1時(shí),不存在k+1個(gè)滿(mǎn)足條件的向量組.考慮dimV=k＞1時(shí)的情形.用反證法.假設(shè)V中存在k+2個(gè)非零向量β1,…,βk+2,滿(mǎn)足(βi,βj)＜0,對(duì)任意i≠j.令W=(βk+2)⊥,則W是V的k-1維子空間.令αi為βi在W上的正交投影,i=1,…,k,k+1,則βi=αi-lβik+2,其中l(wèi)i∈,i =1,…,k,k+1.由于(βi,βk+2)=(αi-lβik+2,βk+2)＜0,故li＞0,i=1,…,k,k+1.若有某個(gè)αi=O,則存在另一j≠i,使得(βi,βj)=(-lβik+2,αj-lβjk+2)=lilj(βk+2,βk+2)＞0,這與假設(shè)矛盾.因此,α1,α2,…, αk+1是W中的非零向量組,且(αi,αj)=(βi,βj)-lilj(βk+2,βk+2)＜0,對(duì)任意i≠j,i,j=1,…,k+1.這與維數(shù)等于k-1時(shí)的歸納假設(shè)相矛盾.從而易得:當(dāng)V的維數(shù)等于k時(shí),不存在k+2個(gè)滿(mǎn)足命題條件的非零向量.由數(shù)學(xué)歸納法得結(jié)論成立.

事實(shí)上,我們還有比命題1更強(qiáng)的結(jié)論.

命題2 在n維歐幾里德空間V中,存在n+1個(gè)單位向量α1,…,αn+1,使得對(duì)任意i≠j,(αi,αj)= -

證該命題的證明與上述命題中存在性部分的證明相近.仍對(duì)V的維數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)n=1時(shí),設(shè)α是V的任一單位向量,則α1=α,α2=-α即滿(mǎn)足要求.

假設(shè)當(dāng)n=k-1時(shí)結(jié)論成立,則當(dāng)n=k＞1時(shí),任取一單位向量α∈V,考慮W=(α)⊥,在k-1維歐幾里德空間W上,由歸納假設(shè),存在k個(gè)單位向量β1,…,βk,使得(βi,βj)=-,對(duì)任意i≠j.取則

設(shè)P0P1…Pn是n維歐幾里德空間中的一個(gè)正n+1面體,則該正多面體的頂點(diǎn)間的距離都是相同的.故可取P1(1,0,…,0),P2(0,1,…,0),…,Pn(0,0,…,1).可知它們?nèi)蝺牲c(diǎn)間的距離相等,都等于2.現(xiàn)設(shè)P0=(a,a,…,a),則由|P0P1|=|P1P2|=2得

為計(jì)算Ωn(在n中)的體積,先考慮由向量確定的平行2n面體Ω的體積|Ω|.由n級(jí)行列式的幾何意義(參見(jiàn)[2,P97])得,Ω的有向體積等于下列行列式D的值

或等價(jià)地,因?yàn)棣竛就是n維空間中由P1,P2,…,Pn,P0張成的單純形,所以根據(jù)[3,P319]中關(guān)于單純形的體積公式,其體積為

由于正n+1面體Ωn的棱長(zhǎng)等于2,于是我們有

定理3 在n維歐幾里德空間中,棱長(zhǎng)為a的正n+1面體的體積

最后考慮一些特例:取n=2,在平面上,邊長(zhǎng)等于a的正三角形的面積等于a2.取n=3,在三維空間中,棱長(zhǎng)等于a的正四面體的體積等于在四維空間里,棱長(zhǎng)等于a的正五面體的體積等于.而在七維空間中,棱長(zhǎng)等于a的正八面體的體積等于注意到此時(shí)a7的系數(shù)為有理數(shù).

[1] 日本數(shù)學(xué)會(huì).數(shù)學(xué)百科辭典(第2版)(中譯本)[M].北京：科學(xué)出版社,1984.

[2] 陳志杰.高等代數(shù)與解析幾何(上冊(cè))[M].北京：高等教育出版社,2000.

[3] 數(shù)學(xué)手冊(cè)[M].北京：高等教育出版社,1979.

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1672-1454(2010)03-0181-04

2007-10-30

上海市重點(diǎn)學(xué)科(B407)以及國(guó)家級(jí)精品課程“高等代數(shù)與解析幾何”建設(shè)項(xiàng)目資助