●(艾青中學(xué) 浙江金華 321000)

1 內(nèi)容和內(nèi)容解析

內(nèi)容：平均變化率的概念及其求法.

內(nèi)容解析：本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)(選修2-2)第一章《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》的第一節(jié)變化率與導(dǎo)數(shù)中的變化率問(wèn)題.本節(jié)內(nèi)容通過(guò)分析研究氣球膨脹率問(wèn)題、高臺(tái)跳水問(wèn)題，總結(jié)歸納出一般函數(shù)的平均變化率概念，在此基礎(chǔ)上，要求學(xué)生掌握函數(shù)平均變化率解法的一般步驟.

本節(jié)課是起始課，對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的形成起著奠基作用.平均變化率是個(gè)核心概念，它在整個(gè)高中數(shù)學(xué)中占有及其重要的地位，是研究瞬時(shí)變化率及其導(dǎo)數(shù)概念的基礎(chǔ).在這個(gè)過(guò)程中，要注意特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的滲透.

新課標(biāo)對(duì)“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”內(nèi)容的處理有較大的變化，它不介紹極限的形式化定義及相關(guān)知識(shí)，也有別于以往教材將導(dǎo)數(shù)僅僅作為一種特殊的極限、一種“規(guī)則”來(lái)學(xué)習(xí)的處理方式，而是按照“平均變化率—瞬時(shí)變化率—導(dǎo)數(shù)的概念—導(dǎo)數(shù)的幾何意義”這樣的順序來(lái)安排，用“逼近”的方法定義導(dǎo)數(shù).這種概念建立的方式形象、直觀、生動(dòng),又易于理解，突出了導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì).

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)平均變化率的概念.

2 目標(biāo)和目標(biāo)解析

目標(biāo)：理解平均變化率的概念，掌握求平均變化率的一般步驟.

目標(biāo)解析：(1)經(jīng)歷從生活中的變化率問(wèn)題抽象概括出函數(shù)平均變化率概念的過(guò)程，體會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活;

(2)在信息技術(shù)環(huán)境下，可以使實(shí)例的背景更形象、更逼真，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，通過(guò)演示平均變化率的幾何意義讓學(xué)生更好地體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想;

(3)通過(guò)應(yīng)用舉例的教學(xué)，不斷地提供給學(xué)生比較、分析、歸納、綜合的機(jī)會(huì)，體現(xiàn)了從特殊到一般的思維過(guò)程，既關(guān)注了學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，又促使學(xué)生在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上獲取知識(shí)，提高思維能力，保持高水平的思維活動(dòng)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

3 教學(xué)問(wèn)題診斷分析

(1)學(xué)生學(xué)情分析

現(xiàn)有知識(shí)儲(chǔ)備:①直線的斜率；②物體運(yùn)動(dòng)的速度.

現(xiàn)有能力特征:具有一定歸納、概括、類比、抽象思維能力.

現(xiàn)有情感態(tài)度:對(duì)導(dǎo)數(shù)這一新鮮的概念具有強(qiáng)烈的求知欲和渴望探究的積極情感態(tài)度.

(2)對(duì)于平均變化率概念的理解，學(xué)生的認(rèn)知困難主要在于：用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)圖像變化的快慢速度，這種由形到數(shù)的翻譯、從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是比較困難的，因此在教學(xué)中可以從學(xué)生熟悉的身高變化、氣溫變化、氣球膨脹、運(yùn)動(dòng)速度等這些背景簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，利用圖像的陡升引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)值變化快慢的不同，并將這種不同用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，從而使學(xué)生逐步概括出函數(shù)平均變化率的定義.

教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)平均變化率的概念.

4 教學(xué)支持條件分析

為了有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，準(zhǔn)備計(jì)算機(jī)、投影儀、多媒體課件等增加課堂知識(shí)的交互性；用學(xué)生感興趣的名人身高，兒時(shí)的吹氣球游戲等寓教于樂(lè)，提高學(xué)生的興趣和課堂效率；用奧運(yùn)健兒成功的事例，讓情感引領(lǐng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

5 教學(xué)過(guò)程

5.1 簡(jiǎn)單介紹、總體把握

(1)介紹微積分的創(chuàng)始人——牛頓和萊布尼茨.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)播放牛頓和萊布尼茨的圖片(幻燈片展示)，向?qū)W生介紹微積分的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)發(fā)展史上一個(gè)具有劃時(shí)代意義的偉大創(chuàng)造，被譽(yù)為數(shù)學(xué)史上的里程碑.而牛頓和萊布尼茨在不斷地探索與研究中，各自獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分，并對(duì)微積分的發(fā)展做了突出的貢獻(xiàn).使學(xué)生初步了解相關(guān)的數(shù)學(xué)文化，感知科學(xué)家們不懈求真的科學(xué)態(tài)度與精神.

(2)微積分與4類科學(xué)問(wèn)題.

一是已知物體運(yùn)動(dòng)的路程作為時(shí)間的函數(shù)，求物體在任意時(shí)刻的速度與加速度;反之，已知物體的加速度作為時(shí)間的函數(shù)，求速度與路程.

二是求曲線的切線.

三是求函數(shù)的最大值與最小值.

四是求長(zhǎng)度、面積、體積和重心等.

設(shè)計(jì)意圖：利用章引言中提示的微積分的相關(guān)數(shù)學(xué)史，引導(dǎo)學(xué)生探尋微積分發(fā)展的線索，體會(huì)微積分的創(chuàng)立與人類科技發(fā)展之間的緊密聯(lián)系，認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)和定積分在研究和處理實(shí)際問(wèn)題中的作用，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的興趣.筆者建議學(xué)完本章內(nèi)容后，再次引導(dǎo)學(xué)生閱讀章引言，以加深學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的思想、方法和作用的體會(huì).

5.2 創(chuàng)設(shè)情境，生成概念

5.2.1 實(shí)例分析、初探概念

情境1某運(yùn)動(dòng)員的身高曲線圖

設(shè)計(jì)意圖：把生活中某運(yùn)動(dòng)員的身高曲線圖引入課題(如圖1)，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為生成函數(shù)平均變化率提供實(shí)際背景.

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生從圖1中觀察得到某運(yùn)動(dòng)員的身高隨年齡的變化情況.在13～16年齡段中，身高增長(zhǎng)最快.進(jìn)一步探究得，需用“身高的增長(zhǎng)量與年齡的增加量”的比值來(lái)刻畫(huà)這一問(wèn)題，而這個(gè)比值就是身高的年平均增長(zhǎng)率,即平均變化率.

圖1

圖2

情境2氣溫“陡升”

現(xiàn)有某市2009年3月18日至4月20日中某天的日最高氣溫記載,如圖2所示.

設(shè)計(jì)意圖：再次讓學(xué)生從“形”中感受生活中的變化率問(wèn)題——?dú)鉁囟干?，為生成函?shù)平均變化率提供了又一個(gè)實(shí)際背景.

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生從圖2中觀察得到溫度的變化情況，進(jìn)一步探究得到，需用“氣溫的增加量與時(shí)間的增加量”的比值來(lái)刻畫(huà)氣溫變化的快慢，而這個(gè)比值就是氣溫的平均變化率.

5.2.2 探究過(guò)程、感悟概念

情境3氣球平均膨脹率

在吹氣球的過(guò)程中可以發(fā)現(xiàn)，隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來(lái)越慢.如何從數(shù)學(xué)的角度描述這種現(xiàn)象呢？

設(shè)計(jì)意圖：“對(duì)生活現(xiàn)象作數(shù)學(xué)解釋”不僅可以激發(fā)學(xué)生深入探究的興趣，而且可以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是有用的.問(wèn)題中涉及到氣球內(nèi)空氣容量，即氣球體積V，氣球半徑r這2個(gè)變量.“隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來(lái)越慢”，從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行描述就是“隨著氣球體積的增大，半徑的增加量與體積的增加量的比值越來(lái)越小”，而這個(gè)比值就是氣球的平均變化率.

師生活動(dòng)：一個(gè)學(xué)生利用打氣筒給氣球打氣，連續(xù)打2次，每次打10下(盡量做到每次打入的空氣體積相同)，讓另一個(gè)學(xué)生用直尺測(cè)量2次的氣球直徑，直觀感受氣球的平均變化率.由球的體積公式推導(dǎo)出半徑關(guān)于體積的函數(shù)解析式，然后通過(guò)計(jì)算，用數(shù)據(jù)來(lái)回答問(wèn)題，解釋上述現(xiàn)象.

思考：當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時(shí),氣球的平均膨脹率是多少?

設(shè)計(jì)意圖：把情境3中的具體數(shù)據(jù)運(yùn)算抽象到一般的字母表示,為生成函數(shù)平均變化率概念作鋪墊.

師生活動(dòng)：教師播放多媒體，學(xué)生可以直接回答問(wèn)題，教師板書(shū)其正確答案.

情境4高臺(tái)跳水

在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時(shí)間t(單位：s)存在函數(shù)關(guān)系：h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如果用運(yùn)動(dòng)員在某段時(shí)間內(nèi)的平均速度描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，那么：(1)在0≤t≤0.5這段時(shí)間里,運(yùn)動(dòng)員的平均速度是多少？(2)在1≤t≤1.5這段時(shí)間里，運(yùn)動(dòng)員的平均速度為多少？

設(shè)計(jì)意圖：高臺(tái)跳水展示了生活中最常見(jiàn)的一種運(yùn)動(dòng)，而運(yùn)動(dòng)速度是學(xué)生非常熟悉的物理知識(shí)，這樣設(shè)計(jì)可以減少因?yàn)楸尘暗膹?fù)雜而可能引起的對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的干擾.通過(guò)計(jì)算為生成函數(shù)平均變化率概念提供了又一實(shí)際背景.

師生活動(dòng)：教師播放郭晶晶、吳敏霞在2008年北京奧運(yùn)會(huì)上的跳水比賽錄像，讓學(xué)生重溫奧運(yùn)會(huì)的輝煌成就，從而進(jìn)一步激發(fā)愛(ài)國(guó)熱情，并在情境中感受速度變化.學(xué)生通過(guò)計(jì)算回答問(wèn)題，對(duì)第(2)小題的答案說(shuō)明其物理意義.

5.2.3 歸納概括、恰當(dāng)表征

歸納定義：根據(jù)之前的4個(gè)情景，歸納概括出平均變化率的概念：

函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率的定義：

令Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),則

設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合具體問(wèn)題的實(shí)際意義,抽象得到變化率的定義,由淺入深、由易到難、由特殊到一般，完成了思維的飛躍.

探究1平均變化率的幾何意義是什么？

設(shè)計(jì)意圖：概念是文字表述，只是數(shù)量角度的描述，通過(guò)之前的例子，從圖形角度體會(huì)平均變化率的幾何意義.數(shù)形結(jié)合掃清了學(xué)生的思維障礙，更好地突破了教學(xué)的重、難點(diǎn)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)約美.

師生活動(dòng)：教師再次展示“氣溫陡升”的圖片，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察圖像，直觀感知、體會(huì)平均變化率的幾何意義.

5.3 應(yīng)用舉例，強(qiáng)化概念

5.3.1 聯(lián)系實(shí)際、感受平均變化率

設(shè)計(jì)意圖：感受數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活.

師生活動(dòng)：鼓勵(lì)學(xué)生思考并舉例說(shuō)明生活中平均變化率的例子,教師結(jié)合學(xué)生所舉的實(shí)例進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤治龊鸵龑?dǎo)，揭示本質(zhì).

5.3.2 變式訓(xùn)練、鞏固概型

探究2分別求以下函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的平均變化率.

(1)f(x)=2;

(2)f(x)=-2x+1;

(3)f(x)=x2.

變式1求函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間[-1,1]上的平均變化率．

變式2求函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間[1,1.1],[1,1.01],[1,1.001]上的平均變化率.

設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合前面所學(xué)的3類基本初等函數(shù)感受平均變化率,加深學(xué)生對(duì)平均變化率內(nèi)涵及幾何意義的理解.變式1中平均變化率為“0”這一現(xiàn)象引起學(xué)生的好奇，進(jìn)一步為聯(lián)系“高臺(tái)跳水”中平均速度為0，意識(shí)到平均速度只能粗略地描述物體在某段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).為了能更精確地刻畫(huà)出物體運(yùn)動(dòng)，有必要研究某個(gè)時(shí)刻的速度即瞬時(shí)速度，為下一節(jié)瞬時(shí)變化率的講解作鋪墊.

師生活動(dòng)：每生一題，認(rèn)真板演.教師巡視并規(guī)范過(guò)程.

5.4 歸納總結(jié)、內(nèi)化知識(shí)

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自己小結(jié)，不只是總結(jié)知識(shí)更重要的是總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法.這是一個(gè)知識(shí)重組的過(guò)程，是一個(gè)多維整合的過(guò)程，也是一個(gè)高層次的自我認(rèn)識(shí)過(guò)程，可以幫助學(xué)生自行構(gòu)建知識(shí)體系，理清知識(shí)脈絡(luò)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

師生活動(dòng)：學(xué)生小結(jié)，必要時(shí)其他學(xué)生補(bǔ)充、完善，教師適時(shí)點(diǎn)評(píng).

6 作業(yè)布置、升華提煉

設(shè)計(jì)意圖：作業(yè)是學(xué)生信息的反饋，在作業(yè)中可以發(fā)現(xiàn)和彌補(bǔ)教學(xué)中的不足，同時(shí)注重個(gè)體差異、因材施教.作業(yè)1是知識(shí)的鞏固與升華；作業(yè)2起到承上啟下的作用，并鍛煉學(xué)生自主探究的能力.

(1)作業(yè)本：變化率問(wèn)題第1頁(yè)第2題.

①運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里是靜止的嗎?

②你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問(wèn)題嗎？

本教學(xué)設(shè)計(jì)的總體思路：荷蘭數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾從數(shù)學(xué)教育的特點(diǎn)出發(fā)，提出了以下4個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的原則：“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”原則，“數(shù)學(xué)化”原則，“再創(chuàng)造”原則，“嚴(yán)謹(jǐn)性”原則.筆者認(rèn)為，對(duì)于本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念“平均變化率”，學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”是他們非常熟悉的4個(gè)情境——身高變化、氣溫變化、氣球膨脹、運(yùn)動(dòng)速度以及對(duì)相關(guān)圖形的直觀認(rèn)識(shí)；在教師的引導(dǎo)下，通過(guò)學(xué)生自己的運(yùn)算和思考，即“再創(chuàng)造”的過(guò)程，將形的問(wèn)題用數(shù)量予以精確刻畫(huà)；對(duì)4個(gè)問(wèn)題的共同屬性抽象概括而得出“平均變化率”的定義，即“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，再對(duì)定義進(jìn)行變式，并從數(shù)和形2個(gè)角度加深對(duì)“平均變化率”的理解，最后實(shí)現(xiàn)對(duì)“平均變化率”概念的意義建構(gòu).