●(義烏市第四中學(xué) 浙江義烏 322000)

向量是高中階段的新增內(nèi)容之一，它以其強大的工具性，在解決某些問題中越來越受到師生的重視，特別是近幾年的高考對向量的考查更突出了向量作為工具的主體功能.它在很多情況下是和解析幾何進(jìn)行聯(lián)系的橋梁，許多問題能用“老辦法”解決，但利用向量解決會更合理，體現(xiàn)了高中課程改革內(nèi)容的優(yōu)越性和必要性.筆者通過以下幾種情況，以解析幾何題為例，詳細(xì)分析向量的工具功能，充分體現(xiàn)出運用向量解題所發(fā)揮的效果.

1 題中直接給出向量信息

在一類解析幾何題中明顯給出了向量信息，學(xué)生能自然地聯(lián)想到用向量的方法進(jìn)行解題.

(1)求證：直線l經(jīng)過一定點.

(2)設(shè)拋物線的焦點為F，∠AFB=θ,試問θ的值能否等于120°.若能，求出直線l的方程；若不能，請說明理由.

解(1)(用向量作為工具進(jìn)行解題)設(shè)直線l：y=kx+b，把它代入拋物線方程x2=3y，整理得

x2-3kx-3b=0.

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，由韋達(dá)定理知

x1+x2=3k,x1x2=-3b.

因為

所以

-4(x1x2+y1y2)=9.

又因為

所以

(2)方法1利用余弦定理，具體略.

方法2利用角公式，具體略.

利用拋物線的焦半徑公式,可知

因此

經(jīng)整理得

這與y1>0,y2>0矛盾,故∠AFB≠120°.

(1)求點C的軌跡D的方程；

(2)若直線l：y=k(x-1)與曲線D有2個不同的交點E,F，設(shè)P(-1，0)，當(dāng)∠EPF為銳角時，求k的取值范圍.

解(1)設(shè)M(1，m)，B(a，0)，則

設(shè)C(x，y)，則

把式(2)代入式(1)并整理得

3k2x2+(1-6k2)x+3k2-1=0.

因為∠EPF為銳角，所以

解得

2 題中未直接給出向量信息

在實際解題過程中，許多解析幾何題不會直接給出向量信息，而是隱藏在題目的某些信息中，這就要求學(xué)生有扎實的向量基礎(chǔ)知識和敏銳的洞察力，發(fā)掘題干中的向量信息，運用向量知識簡化解題過程.

圖1

例3如圖1,已知O為坐標(biāo)原點，A，B為拋物線x2=2y上的點，且△OAB的面積S=t·tanθ，其中θ=∠AOB.

(1)求當(dāng)t取最小值時，θ的最大值；

(2)求證：當(dāng)t取最小值時，△OAB的垂心H在一條定曲線上，并求出此定曲線的方程.

解(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

于是

從而

設(shè)直線AB：y=kx+b，代入拋物線x2=2y中,得

x2-2kx-2b=0，

于是

x1+x2=2k,x1x2=-2b，

因此y1y2=b2，則

因為θ∈(0,π)，所以

(2)由第(1)小題知，直線AB的方程為y=kx+1.設(shè)H(x，y),則

因為H是垂心,所以

又由韋達(dá)定理知

x1+x2=2k,x1x2=-2.

上式經(jīng)整理可得:y=-1.當(dāng)k=0時,易求垂心H的坐標(biāo)為(-1,0),適合上式,所以垂心H在一條定曲線上,定曲線的方程為y=-1.

回顧本題利用向量進(jìn)行解題,避免了大量繁瑣的運算過程,提高了解決這類問題的解題速度和準(zhǔn)確率.