●(英山縣第一中學 湖北英山 438700)

圓錐曲線的“中點弦”問題，習慣的處理方式是對橢圓和拋物線的問題優(yōu)先用“點差法”(或說代點相減法)，對雙曲線問題優(yōu)先用“判別式法”(先設出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去一元后得到二次方程，然后運用根的判別式等知識求解).但在實際中，許多學生習慣于開始都采用“點差法”，因而在求解某些雙曲線問題時，又不得不放棄原來的思路而改用“判別式法”.下面筆者提供2種突破方法,以供參考.

方法1用平面區(qū)域思想突破.

圖1

解設A(x1,y1)，B(x2,y2),線段AB的中點為P(x0,y0),則

兩式相減得

3(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)，

即

3(x1-x2)x0=(y1-y2)y0.

因為x1=x2不合題意，所以

又因為題中的“中點弦”存在，所以

解得k的取值范圍是

方法2用回頭檢驗法突破.

即先用點差法求出可能的直線方程，然后與雙曲線方程聯(lián)立，消去其中一個元得到關于另一個元的二次方程，再用Δ檢驗這個方程是否有解.

解假設在雙曲線C上存在被點M(1，1)平分的弦，弦為AB，雙曲線中心為O(0，0)，A(x1,y1),B(x2,y2),則

兩式相減得

2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)，

于是

所以直線AB的方程為

y-1=2(x-1)，

即

2x-y-1=0.

2x2-4x+3=0.

由Δ=-8<0,知此方程無實數(shù)解，因此假設錯誤.故雙曲線C上不存在被點M(1，1)平分的弦.