祝建偉,陳彭年

(中國計量學院機電工程學院,浙江杭州310018)

遲滯現(xiàn)象(Hysteresis)又稱回滯現(xiàn)象或滯后現(xiàn)象,是指一個系統(tǒng)的系統(tǒng)狀態(tài)不僅與當下系統(tǒng)的輸入有關(guān),而且會因其過去輸入過程路徑不同而有不同的結(jié)果.換而言之,一個系統(tǒng)經(jīng)過某一輸入路徑運作之后,即使換回到最初狀態(tài)值時的同樣的輸入值,系統(tǒng)也不能回到其初始狀態(tài).遲滯現(xiàn)象無論在物理實驗中還是在現(xiàn)實工程中都是廣泛存在的,例如在伺服系統(tǒng)[1]、電子電路等機械電子設備、超導材料、壓電陶瓷、智能材料等具有記憶功能的材料以及電磁場中[2,3]均存在.

由于具有不可微的非線性,回滯現(xiàn)象的存在會嚴重限制系統(tǒng)的性能,引起系統(tǒng)震蕩,造成系統(tǒng)不穩(wěn)定.而削弱乃至消除具有不可微的非線性的環(huán)節(jié)又是比較困難的,因此如何控制具有回滯環(huán)節(jié)的系統(tǒng)便成了一個長期以來難以解決的課題.

針對這類問題,通常的一種控制方法是構(gòu)造一個與系統(tǒng)級聯(lián)的回滯環(huán)的逆模型進行前饋控制,直接抵消或者削弱回滯環(huán)帶來的影響[4-6].這類方法的一個問題是由于需要在回滯環(huán)上行和下行曲線上分別進行控制,構(gòu)造出的逆模型也是個回滯環(huán).回滯環(huán)解一般都極其復雜,大部分控制方法還不能進行穩(wěn)定性分析[3].另外,在采用自適用逆法對回滯進行控制時,還有一個特殊的問題就是其逆通常并不是唯一的,選擇不同的參數(shù)往往會取得執(zhí)行結(jié)果上很大的差異,而且在跳轉(zhuǎn)過程中會造成系統(tǒng)的抖動.

本文將研究一類具有類反斜線回滯的非線性不確定系統(tǒng)的自適應跟蹤問題.雖然文獻[7]研究過類似的問題,但其方法不能保證跟蹤誤差任意地小.本文的方法可保證跟蹤誤差小于任意給定的正數(shù).

此外,還將介紹兩種比較簡單實用的基于神經(jīng)網(wǎng)絡的自適應控制方案.在本文的第二部分首先對問題進行了說明.第三部分基于反步法提出了控制方案并進行了穩(wěn)定性分析.第四部分的仿真說明了所提出的方案的有效性.第五部分對這篇文章進行了小結(jié).

1 問題描述

考慮下面一類不確定非線性系統(tǒng):

其中,x=(x1,x2,…xn)T∈Rn為代表系統(tǒng)狀態(tài)的一個n維向量,y∈R為系統(tǒng)輸出,ω(u)為執(zhí)行器輸出,f(x)和g(x)是Rn上的未知連續(xù)函數(shù),代表系統(tǒng)的不確定性.執(zhí)行器 ω(u)是控制輸入u通過一個類反斜線回滯滯后環(huán)節(jié)形成的,其數(shù)學表達式為

其中α,c,B1都是常數(shù),c＞0為直線部分的斜率且滿足c＞B1.則系統(tǒng)(2)的解可以表示為

其中

對于系統(tǒng)的不確定性g(x)作如下假設:

假設1 存在正常數(shù)g1,g2,使得g2≥cg(x)≥g1＞0.

或

其中,ε＞0是任意給定的常數(shù).

2 自適應控制器的設計

為設計控制器,首先導出跟蹤誤差方程.設

則跟蹤誤差方程為

其中ˉg(x)=cg(x),d(x,u)=g(x)d(u).對于系統(tǒng)的不確定性d(x,u)依文[1]我們作如下假設:

假設2 存在正常數(shù)dmax,使得d(x,u)≤dmax

為方便設計,將系統(tǒng)(7)改寫成向量形式.設e=(e1,e2,…,en)T,則系統(tǒng)(7)可以改寫為

其中

因為f(x)是非參數(shù)化的未知函數(shù),因此通常需要用權(quán)系數(shù)未知的神經(jīng)網(wǎng)絡對其進行逼近.設ρ＞0和

本文采用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡,該網(wǎng)絡具有良好的非線性映射能力[8,9],表示形式簡單、隱層到輸出層為線性關(guān)系、收斂速度快等優(yōu)點.因為f(x)ˉg-1(x)是Rn上的連續(xù)函數(shù),根據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡對連續(xù)函數(shù)的萬有逼近性質(zhì),對任意給定的ε＞0,存在神經(jīng)網(wǎng)絡 wTξ(x)使得

其中ξ(x)∈Rl是網(wǎng)絡的基函數(shù)向量,w∈Rl是網(wǎng)絡的權(quán)向量.

介紹二類自適應控制器的設計方法:一類是變結(jié)構(gòu)自適應控制器設計,另一類是連續(xù)自適應控制器設計.

2.1 變結(jié)構(gòu)自適應控制器的設計

變結(jié)構(gòu)控制器具有較強的魯棒性,即使對象結(jié)構(gòu)參數(shù)有一定變化控制系統(tǒng)仍然具有較好的控制特性[10],因此,首先考慮一種變結(jié)構(gòu)控制器.

設k∈Rn使得Ak=A-bkT為Hurwitz矩陣.設取定n×n正定對稱陣Q,則存在對稱正定陣P＞0,使得

設θ1=g2‖w ‖,θ2=dmax,其中dmax和 w分別由假設2和式(10)給出.設和分別是θ1和θ2的估計.

對系統(tǒng)(1)設計如下的變結(jié)構(gòu)自適應控制器:

現(xiàn)在考慮系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性.

定理1 考慮由式(8)和式(12)組成的閉環(huán)系統(tǒng).設假設1和2分別成立,設x(t)?Ωρ,t≥0.則閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號有界,且

證明 系統(tǒng)(8)可以改寫為作李亞普諾夫函數(shù)

容易看到

另外

由式(14),(15)和式(16)得

其中λm(Q)＞0為Q的最小特征值.從式(17)可知,閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號都有界,而且

2.2 連續(xù)自適應控制器的設計

盡管有良好的魯棒性,但是由于控制律中存在開關(guān)項sgn(eTPb),它產(chǎn)生的時滯以及慣性可能引起抖動現(xiàn)象.在自適應跟蹤頻率比較高的信號時,為了避免這種現(xiàn)象,這一小節(jié)再考慮一種連續(xù)型的控制器的設計.需要下面的引理.

引理1([3])設η＞0.則有

其中σ?0.278 5.

設控制器為

定理2 考慮由式(8)和式(19)組成的閉環(huán)系統(tǒng).設假設1和假設2分別成立,設x(t)?Ωρ,t≥0.則閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號有界,且

其中

證明 作李亞普諾夫函數(shù)

把式(21)代入式(20)可得

根據(jù)引理1,

由式(19),(22)和式(23)得

陪伴洛麗塔十年的雨果死了，對于海洋館來說，只不過是少了一頭表演的虎鯨，可是對于洛麗塔而言，它不僅少了“老公”，也少了一個玩伴，它整天郁郁寡歡，拒絕進食，也拒絕表演，工作人員只好清理了水池，給洛麗塔放了幾天假。

容易看到

其中λM(P)是P的最大特征值.由式(24)和式(25)立即得到

解不等式(26)可得:閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號都有界 ,且

設λm(P)是P的最小特征值,立即得到

定理2證畢.

注1 由定理2知,只要適當增大γ1和γ2,減小η,則可使最后的跟蹤誤差小于任意給定的正數(shù).而文獻[7]公式(29)說明文獻[7]的方法只能使跟蹤誤差小于一個給定的范圍.

3 仿真研究

為了驗證所提出控制方法的有效性,考慮如下非線性系統(tǒng)

其中 x∈R,ω(x)由(2)定義.在仿真中不妨選取 g(x)=4+sinx,α=1,c=3.18,B1=0.35,控制目標是使系統(tǒng)狀態(tài) x(t)跟蹤參考軌跡yd(t)=8sin(2t).

于是(29)所給系統(tǒng)的控制律可取為

取 η=0.02,γ1=4,γ2=10

圖1 f(x)=時控制輸入,系統(tǒng)狀態(tài)以及跟蹤誤差隨時間變化曲線Figure 1 Control signal,systems status and tracking error when f(x)=

圖2 f(x)=時控制輸入,系統(tǒng)狀態(tài)以及跟蹤誤差隨時間變化曲線Figure 2 Controlsignal, systems status and tracking error when f(x)=

4 結(jié) 語

與執(zhí)行器回滯相級聯(lián)的非線性系統(tǒng)的控制是控制理論與工程上的一個難題,文中針對具有類反斜線回滯的單輸入單輸出非線性系統(tǒng),基于神經(jīng)網(wǎng)絡的萬有逼近思想,提出了兩種比較簡單實用的控制方案.不同于自適應逆方法,該兩種方案并不需要構(gòu)造一個通常很復雜的逆來抵消回滯環(huán)對系統(tǒng)的影響;而且在第二種方案中,證明了只要適當?shù)恼{(diào)節(jié)某些參數(shù),就可以使誤差小于任何給定的正數(shù).另外,仿真實驗表明,該控制方案對于系統(tǒng)非線性部分的不確定性具有很好的魯棒性.

由于類反斜線回滯在機械系統(tǒng)特別是齒輪系統(tǒng)以及壓電陶瓷等中的普遍存在,該兩種方法具有一定的實際應用價值.

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