繆 建,朱若谷,郭 斌,黃 宇

(中國計量學院計量測試工程學院,浙江杭州310018)

雖然基于多光束干涉原理的F-P干涉術已經(jīng)有一百多年的歷史[1,2],但是把它作為長度計量中的標準器具到構成激光器的諧振腔來研究還是比較新穎的,不管是理論研究還是實驗研究都是經(jīng)久不衰的研究熱點.目前,除了可以用它作為高分辨率光譜儀的色散元件以外,還可以用于激光穩(wěn)頻、光波長、腔內(nèi)介質(zhì)參數(shù)、微小位移等物諧振腔結(jié)構.

結(jié)合在研究光纖F-P微小位移測量中遇到的情況,對壓電陶瓷掃描調(diào)相F-P干涉儀作非線性影響的討論,顯然,給出的結(jié)果可應用于相關幾何量測量傳感器的誤正.

1 原 理

一般情況下可以用一個二次項表示壓電陶瓷的非線性電致伸縮,即位移量:

下面分別對應三種調(diào)制電壓,即:階躍電壓、鋸齒波電壓和正弦波電壓,討論壓電陶瓷的非線性對相調(diào)F-P干涉術的影響.

1.1 階躍電壓調(diào)制

為分析簡便起見,作相應近似,即在光強極大值附近作信號調(diào)制,而且精細系數(shù)F與位相Φ滿足F·Sin2φ遠小于1以及階躍電壓通過N步從0升到V0,那么投射光強可以表示為[3,4]:

其中:i=0,1,2,…,N,進一步對式(3)分塊求和,設分塊數(shù)為M,則有:

并作簡化處理,設ti=i/N,則有:

則式(4)可以化為:

1.2 鋸齒波電壓調(diào)制

這時的調(diào)制電壓可表示為:

取與階躍電壓調(diào)制相同的近似條件,這時僅需要把式(7)中的求和形式改成求積分形式就可以了 ,即

1.3 正弦波電壓調(diào)制

這時調(diào)制電壓表示為

式(10)中:Vm—正弦波調(diào)制電壓的幅值;ωm和φm—角頻率和初相位.同時為了簡便起見設ψ等于ωmt加上φm[7,8].

壓電陶瓷的電致伸縮特性表示為

作與前相同的歸化處理.則透射光強公式中的位相角 Φ可表示為

式(13)中 :ν1=2πc,ν2=πd.

設 cos(δ φt)=cos(ν1sinψ-ν2cos2ψ),則當 n為偶數(shù)時 ,cos(δ φt)為下式,取正號.

當n為奇數(shù)時,式(14)取負號,∑′表示首項系數(shù)為1.

設 sin(δ φt)為 sin(ν1sinψ-ν2cos2ψ),則 sin(δ φt)可表示為:

同樣當n為偶數(shù)時,選取正號,n為奇數(shù)時,選取負號.由式(14)與式(15)可以估算出主要低次諧波和零頻率成分的表示,其中略去高于5階貝賽爾函數(shù)因子項.

1)零頻率成分

2)一次諧波成份幅值

3)二次諧波成份幅值

上述方法比較繁瑣,下面介紹一種比較簡潔的方法.重寫透射光強表達式(13)為:

作變量替換,設:

則上述的投射光強公式可化為:

這時的分段積分光強〈Ii〉j可表示為:

當上式應用數(shù)值積分求解時,設時間從0變到T,把積分時間T細分N段,在N段中又均分M塊,各塊的積分上下限可由下式表示:

式(24)中 :j=0,1,2,…,M.

最后得出,為了檢驗或修正非線性影響,對應階躍或鋸齒波掃描,可以根據(jù)以下公式(25)和(26)計算初位相.

對應正弦調(diào)制,其初位相計算式為:

其中 x=4πa/λ,a為調(diào)制電壓產(chǎn)生的振幅.

2 實驗及結(jié)果

首先通過實驗室測定常用的PZT壓電陶瓷非線性系數(shù),然后利用上面給出的結(jié)果進行數(shù)值計算.下面簡單地介紹測定壓電陶瓷非線性系數(shù)的方法.一般有兩種方法,即方法一:掃描調(diào)相干涉法.在通常的邁克爾遜干涉儀參考鏡后粘結(jié)壓電陶瓷,然后調(diào)節(jié)加在壓電陶瓷上的偏置電壓,可以測出干涉光強與電壓V的關系,用I(V)表示,進一步由邁克爾遜干涉儀的輸出光強公式

式(27)中:a為光強的直流成分I1+I2,b為光強中的交流成分的幅值2 I1I2.I1與I2分別為兩臂光強.通過階躍電壓掃描給出最大光強Imax與最小光強Imin,就可以得出a與b:

從而由下式給出位相變化δi和位移變化di,即:

式中:i等于1,2,3,…N為階躍電壓步進數(shù),λ為光波長,n為介質(zhì)折射率.

最后由N對數(shù)組(di,vi)用曲線擬合或二元回歸算法可以得到位移電壓之間的擬合公式:

方法二為直接測量法.雖然這種方法簡單,但是精度不高.它受電感測微儀的分辨率限制,其位移變化估讀到0.01 μ m,用電感測微儀(或其它測微裝置)直接測量給出(di,vi)數(shù)組.最后用相同的數(shù)據(jù)處理方法得出式(32),故稱直接測量法.

對無錫國營第七二一廠生產(chǎn)的壓電陶瓷(PZT-5)的實測結(jié)果為:

式(29)中:d的單位為μ m,V的單位為V.

經(jīng)歸化處理后C為0.99,d為0.133,兩者均為無量綱數(shù).

為節(jié)省篇幅,表1和表2分別給出初相位為零和π/4附近的理論給定值和分塊積分光強計算值(對應于采用階躍電壓掃描法).

表1 零位相比較Table 1 Comparison of zero phase

表2 π/4位相附件比較Table 1 Comparison of π/4 phase

由上述表列數(shù)據(jù)明顯地表示在π/4處位相測量誤差小于零值附近,通過類似比較也可以發(fā)現(xiàn)在π/2位相附件誤差也明顯地大于 π/4位相鄰域.

計算程序中使用的位相計算公式為(26).

3 結(jié) 語

對壓電陶瓷的非線性影響作了理論分析,把Chiayu Ai等人的結(jié)果推廣到正弦相調(diào)干涉術,并實際測量了壓電陶瓷的非線性系數(shù),介紹了兩種測量方法并在實測數(shù)據(jù)基礎上進行數(shù)值計算,最后給出的結(jié)論為除了Chiayu Ai等人提出的分前后兩組相互移相90°(對應四塊積分法)測量抵消誤差以外,在小調(diào)制信號時還應注意工作點在π/4初位相附近,并避開零值與±π/2位相鄰域.特別在非線性系數(shù) d較大的時候更應該如此,至于如何正確校正的討論由于受到篇幅所限將另文討論.

[1]朱若谷.激光應用技術[M].北京:國防工業(yè)出版社,2006:140-151.

[2]AI C,WYANT J.Effect of piezoelectric transducer nonlinearity on phase shift interferometry[J].Applied Optics,1987,26(6):1112-1116.

[3]朱若谷.一種新的簡易調(diào)相干涉術[J].計量技術,1989(6):1-2.

[4]朱若谷,陳永本.雙法布里—珀羅干涉儀的非線性控制[J].計量學報,2000,21(4):253-259.

[5]ZHU R G.Nonlinear control of double Fabry-Perot interferometer[J].SPIE Proceeding Series,1996,24(8):319-324.

[6]周 云,蔣魁強,王珊珊.鈮酸鈉鉀基壓電陶瓷的結(jié)構與性能研究[J].中國計量學院學報,2009,20(1):30-34.

[7]王向朝.激光干涉儀與納米精度檢測[J].中國計量學院學報,2001,12(2):43-48.

[8]孫流星,于瀛潔.基于波長移相的改進加權多步算法[J].中國計量學院學報,2004,15(4):61-67.

[9]王希花,郭書祥,汝長海.基于壓電陶瓷遲滯非線性的建模方法[J].哈爾濱工程大學學報,2010,31(1):271-276.

[10]崔王國,孫寶元,董維杰.壓電陶瓷執(zhí)行器遲滯與非線性成因分析[J].光學精密工程,2003,11(3):271-276.