孫向東，劉擁軍，陳雯雯，賈智寧，黃保續(xù)

（中國動物衛(wèi)生與流行病學中心，山東青島 266032）

1 簡介

異常值對于數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析結果的準確性具有不良影響，重視異常值的檢測，分析其產生的原因，為發(fā)現(xiàn)問題、改進方法提供了契機。箱線圖法是檢驗數(shù)據(jù)中異常值的最常用方法。與格拉布斯法（Grubbs）、3σ 法、z分數(shù)法等不同的是，箱線圖法既可以用作服從正態(tài)分布數(shù)據(jù)異常值的判斷，也可以用作不服從正態(tài)分布數(shù)據(jù)異常值的判斷，從而拓展了這種方法的適用范圍。

箱線圖（Boxplot）也稱箱須圖（Box-whisker Plot），是美國著名統(tǒng)計學家John W.Tukey于1977年發(fā)明的[1]。箱線圖法利用數(shù)據(jù)中的五個統(tǒng)計量：最小值、下四分位數(shù)（Q1）、中位數(shù)（Q2）、上四分位數(shù)（Q3）與最大值來描述數(shù)據(jù)[2-4]。箱線圖可用于：（1）鑒別數(shù)據(jù)中的異常值，包括離群值和極端值；（2）判斷數(shù)據(jù)的偏態(tài)和尾重；（3）比較幾組數(shù)據(jù)的形狀。本文僅討論其在異常值鑒別中的應用。

箱線圖根據(jù)實際數(shù)據(jù)繪制，既不需要事先假定數(shù)據(jù)服從特定的概率分布，也沒有對數(shù)據(jù)作任何限制性要求，能夠真實、直觀地表現(xiàn)數(shù)據(jù)形狀的本來面貌。箱線圖判斷異常值的標準以四分位數(shù)和四分位距為基礎，較多數(shù)據(jù)的變化對四分位數(shù)影響不大，所以箱線圖判斷異常值的標準具有較強的魯棒性（Robust），檢測結果比較客觀。箱線圖法采用中位數(shù)代替平均數(shù)檢測異常值是統(tǒng)計檢測方法上的一大改進。箱線圖法能夠有效克服數(shù)據(jù)中存在異常值時，不能測出異常值的這種掩蓋效應（masking effect）[5]。

2 箱線圖的結構

箱線圖由參照系（坐標軸）、標志物（箱體、上下四分位線、中位線、異常值截斷點）、檢測數(shù)據(jù)（箱體兩端的延伸線、異常值）三種成分構成，具體見圖1。其中箱體的兩端分別對應下四分位數(shù)Q1和上四分位數(shù)Q3，Q1和Q3之間稱作四分位距（Inter Quartile Range，IQR）。上四分位點右邊1.5倍IQR和下四分位點左邊1.5倍IQR位置對應的點是異常值截斷點，異常值截斷點之間是內限。上四分位點右邊3倍IQR和下四分位點左邊3倍IQR位置對應的點是極端值截斷點，極端值截斷點之間是外限。異常值截斷點以外的數(shù)據(jù)稱作異常值，其中在內限與外限之間的異常值為溫和異常值或離群值（Outlier，mild outliers），在外限以外的為極端異常值或極端值（Extreme，extreme outliers）。

箱線圖的結構與標準正態(tài)分布函數(shù) N（0，1）之間的比較見圖 2。其中Q3與Q1之間包含了50%的數(shù)據(jù)點，異常值截斷點之間包含了99.3%的數(shù)據(jù)點，非異常值誤判為異常值的概率不大于0.7%。

3 箱線圖繪制方法

第一步，計算相關值。計算下四分位數(shù)Q1、中位數(shù)Q2、上四分位數(shù)Q3的值，并計算四分位距Q3－Q1，以及 Q3＋1.5×IQR、Q1－1.5×IQR、Q3＋3×IQR、Q1－3×IQR 等值。

第二步，繪制標志物。繪制數(shù)軸，度量單位和數(shù)據(jù)的單位一致，起點比最小值稍小，長度比該數(shù)據(jù)全距稍長；繪制箱體，在Q1和Q3對應的位置繪制箱體左右兩個邊，Q2對應的位置繪制中位線，詳見圖3（A）；繪制截斷線，在Q3＋1.5×IQR和Q1－1.5×IQR對應的位置繪制異常值截斷線，在Q3＋3×IQR和 Q1－3×IQR對應的位置繪制極端值截斷線，詳見圖 3（B）。

第三步，描線、點。確定數(shù)據(jù)中不是異常值的最小值和最大值點，分別用直線連結這兩個點與矩形兩端，用“ ?！睒顺鲭x群值，用“*”標出極端值，詳見圖 3（C）。

4 實證分析

以仔豬價格數(shù)據(jù)為例，演示運用SPSS繪制箱線圖的方法檢測來自148個調查點的仔豬市場價格數(shù)據(jù)中是否有異常數(shù)據(jù)（見表1）。

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（1）啟動SPSS 打開SPSS軟件，激活數(shù)據(jù)管理窗口。

（2）數(shù)據(jù)準備 把數(shù)據(jù)輸入SPSS軟件的數(shù)據(jù)編輯窗口。定義變量名：采樣點的變量名定義為Spot；輸入原始數(shù)據(jù)，仔豬價格變量名定義為Price。

（3）操作步驟 點擊Analyze菜單、Descriptive Statistics...過程中的Explore，彈出Explore對話框，如圖4。

點擊“Plots”，打開繪圖對話框，選中“Histogram”選項，如圖 5。

點擊“Continue”按鈕。返回“Explore”對話框，點擊“OK”鍵，完成計算。圖6是檢驗結果。

結果顯示第144~147號地點采樣數(shù)據(jù) 60、70、72 和 80 為離群值，第148號地點采樣數(shù)據(jù)100為極端值。

SPSS軟件自動生成的箱線圖中，沒有繪制異常值截斷線和極端值截斷線。

5 處理異常值原則討論

處理異常值的方式包括：（1）保留；（2）剔除；（3）替換，即用非異常值替換異常值；（4）修正，在找到實際原因時修正異常值。

對檢出的異常值，應根據(jù)實際問題的性質進行判斷：（1）若無充分理由，則不得剔除或修正異常值；（2）如果有充分理由，表現(xiàn)統(tǒng)計上高度異常的，可以剔除或進行修正；（3）被檢出的異常值，被剔除或修正的觀測值及其理由應予記錄以備查詢。

對于本例各個檢出的異常值進行電話核實，60、70、72 和 80 四個離群值為當?shù)貙嶋H仔豬價格，100這個極端值為錄入員誤報，實際值為44元/千克。經過修正，這些值全部用于動物衛(wèi)生狀況評估分析中。

[1]Tukey John W.Exploratory Data Analysis[M].Reading，MA:Addison-Wesley，1977:23-24.

[2]Michael Frigge，David C.Hoaglin and Boris Iglewicz.Some Implementationsof the Boxplot[J].The American Statistician，1989，43:50-54.

[3]Yoav B.Opening the Box of a Boxplot[J].The American Statistician，1988，42:257-262.

[4]Rousseeuw PJ，Ida Ruts,Tukey J W.The Bagplot:A Bivariate Boxplot[J].The American Statistician，1999，53:382-387.

[5]Bendre S M,Kale B K.Masking Effect on Tests for Outliers in Exponential Models[J].Journal of the American Statistical Association，1985，80:1020-1025.