王其軍，杜建軍

(哈爾濱工業(yè)大學 深圳研究生院，廣東 深圳518055，jjdu@hit.edu.cn)

機器人現(xiàn)有的逆解求解方法主要有解析法［1-3］、幾何法［4］、符號及數(shù)值方法［5］及近年出現(xiàn)的神經(jīng)網(wǎng)絡法［6-8］等.在機器人逆解過程中，一般在360°范圍內(nèi)計算機器人關節(jié)角度，但文獻［2-3］在解關節(jié)角時采用單變量反正切函數(shù)，一個反正切函數(shù)的解可能被丟失.機器人反解有多解，但控制機器人只能有一組解，所以必須選取一組解作為最后確定的解，文獻［2-3］中反解存在8 組解，沒有給出怎樣選取一組解作為最后反解的結果.

針對以上問題，本文在求關節(jié)變量時采用雙變量正切函數(shù)，這樣通過自變量的符號確定關節(jié)角度所在的象限，避免了解被丟失的可能性，針對反解多解，采用“最短行程”準則選取一組最接近于當前操作臂的解.

1 機器人運動學模型的建立

機器人運動學傳統(tǒng)的描述方法是基于D-H方法［9］，用D-H 法建立了各桿坐標系如圖1 所示，第i-1 系和i 系間的關系可以用坐標系的平移和旋轉來實現(xiàn).這種關系可由表示連桿i 對連桿i-1 相對位置的4 個齊次變換來描述，并叫做矩陣Ai.此關系式為

式中:θi為是關節(jié)i 的旋轉角;βi為是關節(jié)i 和i+1 間的扭轉角;ai為是關節(jié)i+1 的長度;di為是關節(jié)i 的偏距;i=0，1，2，…，6.

由六自由度機器人參考坐標系圖，得到六自由度機器人的D-H 參數(shù)表如表1.

圖1 機器人D-H 表示法參考坐標系

表1 D－H 參數(shù)

依照D-H 表示方法原理，可以得到坐標系X0-Z0到坐標系X1-Z1的變化矩陣為A1，同理相鄰坐標系間的變化矩陣計為A2，A3，A4，A5，A6.這6 個坐標變化矩陣的表達式如下:

式中:Si=sin θi;Ci=cos θi，則

式中:

這樣，由T 可以得到機器人末端的位姿(位置和姿態(tài)).

2 運動學反解

逆運動學問題是已知機器人末端執(zhí)行器的位姿，求相應的關節(jié)變量.

將式(1)變形為

式(2)的左邊

式(2)右邊

式中:

1)求解θ1.由式(3)與式(4)中的矩陣元素第三行第四列元素相等得到

θ1=Atan2(-ayL6+py，-axL6+px)或

θ1=Atan2(ayL6-py，axL6-px).

2)求解θ2.依據(jù)兩邊矩陣(3)，(4)中的第一行第四列元素和第二行第四列元素分別相等得到等式:

令

把u，v 代入式(5)、(6)得到

令

將式(7)與與(8)兩邊平方然后相加化簡得到

3)求解θ3.式(7)與(8)是關于S3與C3的方程組.所以可以解得

4)求解θ5.依據(jù)兩邊矩陣(2)，(3)中的第一行第三列元素和第二行第三列元素分別相等得到等式:

假設:

式(9)與(10)兩邊分別乘以S3與C3，然后相減，可以得到

5)求解θ4.式(9)與(10)兩邊分別乘以C3與S3，然后相加得到

6)求解θ6.依據(jù)兩邊矩陣(2)，(3)中的第三行第一列元素和第三行第二列元素分別相等，可以得到

3 運動學反解不唯一性

從解的表達式中可以看到θ1，θ2，θ5分別有兩個根，所以機器人有8 組根.在實際運行中，如何從機器人運動學的多組反解中選擇一組合適的解是一個值得研究的問題.一般地，具有多組反解的機器人運動學問題可以采用優(yōu)化算法來解決，定義一個優(yōu)化準則，選擇滿足優(yōu)化準則的最優(yōu)解作為機器人運動學的確定反解.本文采用“最短行程”準則選取一組最接近于當前操作臂的解.算法流程圖如圖2 所示.

圖2 最短行程準則流程圖

4 驗 證

按照如圖3 所示的具體步驟，利用計算機程序進行計算，可以驗證運動學解的正確性.

圖3 運動學驗證流程圖

已知輸入各關節(jié)角分別為-18.495 4，-37.618 3，-59.786 4，19.860 0，110.967 2，7.364 8，正解得到機器人位姿為387.217 0，-99.421 0，-104.717 0，180.000 0，-89.999 9，0.

逆解得到的關節(jié)角為-18.495 3，-37.618 3，-59.786 4，19.859 8，110.967 1，7.364 7.

計算結果表明，所得的解完全符合所賦初值.

5 結 論

2)在機器人逆解求關節(jié)角過程中，采用雙變量反正切函數(shù)，通過自變量的符號就可以確定關節(jié)角度所在的象限，避免了解被丟失的可能性.

3)給出了六自由度機器人對應某一位姿的8個位行，采用“最短行程“準則選取一組最接近于當前操作臂的解.

4)本文提出的方法已經(jīng)在深圳市元創(chuàng)興科技有限公司自主研發(fā)的工業(yè)六自由度機器人中成功應用.

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