張永謀，楊 敏

（1.蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院，甘肅蘭州730070；2.同濟(jì)大學(xué)地下建筑與工程系，上海200092）

0 引言

我國采用的計(jì)算推力樁的現(xiàn)行方法，如張有齡法、m法、c法等，都是單一參數(shù)法[1～4]，即在冪函數(shù)土抗力模數(shù)K=mxq中，q預(yù)先確定，只有一個(gè)待定參數(shù)m值的方法。用單一參數(shù)法計(jì)算推力樁，有一個(gè)共同的缺點(diǎn)，即樁在地面處的撓度、轉(zhuǎn)角、樁身最大彎矩及其所在的位置等，不能同時(shí)很好地符合實(shí)測(cè)值，只能湊合到較為接近的程度。其原因是待定參數(shù)的數(shù)目不夠，或選擇得不恰當(dāng)所致。但是，對(duì)樁基礎(chǔ)的設(shè)計(jì)至關(guān)重要，是值得十分重視的問題。解決問題的途徑之一是增加參數(shù)，并且要求參數(shù)選擇得恰當(dāng)。綜合剛度原理和雙參數(shù)法，用于推力樁的非線性分析和動(dòng)響應(yīng)分析，能取得比較滿意的效果。

1 無量綱差分方程式的推導(dǎo)

將樁身劃分為n個(gè)單元，則共有n+1個(gè)劃分點(diǎn)。要這n+1個(gè)點(diǎn)上都能建立差分方程式，則在樁軸兩端延伸線上分別設(shè)兩個(gè)點(diǎn)[5,8]。因此，最后得到樁身劃分點(diǎn)的編號(hào)如圖1所示。

現(xiàn)在，樁身的劃分點(diǎn)為n+1個(gè)，再加上樁頂以上和樁底以下各兩個(gè)虛擬點(diǎn)，則共有n+5個(gè)未知側(cè)移需要求解，但只有n+1個(gè)方程，所以需要根據(jù)樁底和樁頂處的邊界條件得出另外四個(gè)附加方程，連同上述n+1個(gè)方程，剛好聯(lián)立求解這n+5個(gè)點(diǎn)側(cè)移值。

根據(jù)有限差分法，得到樁身各節(jié)點(diǎn)位移函數(shù)：

式（2）即為樁身位移的遞推公式，它可用于樁身第i=3，4，…，n+3等點(diǎn)，得到n+1個(gè)方程，再加上4個(gè)邊界條件，共計(jì)n+5個(gè)方程，解這組n+5元聯(lián)立方程，就可以得出包括虛擬點(diǎn)在內(nèi)的n+5個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移yi，進(jìn)而可以通過各階中心差分式求出各個(gè)節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角和內(nèi)力。

2 試驗(yàn)樁實(shí)例計(jì)算

一樁基水平激振試驗(yàn)如圖2所示，實(shí)驗(yàn)在砂坑中進(jìn)行，樁為150 cm長的鋼管，土礫砂，承臺(tái)為鋼筋混凝土，樁、土、承臺(tái)的基本資料見表1所列。

共振時(shí)頻率f=9.4 Hz，

地面處水平位移的模為|y0|=0.068 08 cm，

轉(zhuǎn)角的模為|φ0|=0.002 36 rad，

彎矩的模為|M0|=5.88 kN·cm，

表1 樁、土、承臺(tái)基本資料匯總表

剪力的模為|Q0|=0.347 kN。

用前述方法，取1/n=0.75，α=0.043 63 cm-1，綜合剛度EI=2.0202×108N·cm2時(shí)，

令Ωy=0，則從式(84)就得到車輪不旋轉(zhuǎn)時(shí)環(huán)向指數(shù)為m的固有頻率和振型。車輪旋轉(zhuǎn)時(shí)，有離心效應(yīng)(由離心矩陣Mc描述)和陀螺效應(yīng)(由陀螺矩陣G描述)，它們(尤其是陀螺矩陣G)的存在使得不旋轉(zhuǎn)車輪的一個(gè)固有頻率變成旋轉(zhuǎn)車輪的2個(gè)特征頻率。

2.1 系數(shù)計(jì)算

代入已知參數(shù)可求得各方程的系數(shù)。

2.2 列方程計(jì)算撓度

用遞推公式：

yi+2-4yi+1+ （6+ Ai）yi-4yi-1+yi-2=0可寫出16個(gè)方程。

用地面處樁頭邊界條件可寫出兩個(gè)方程，即：

用樁底邊界條件可寫出兩個(gè)方程，即：

聯(lián)立解線性方程組。

方程形式如：

AY=B

其中：用克拉默法則解此線性方程組，可解得撓度yi，用于后續(xù)計(jì)算。

2.3 轉(zhuǎn)角計(jì)算

2.4 彎矩計(jì)算

2.5 剪力計(jì)算

2.6 土抗力集度計(jì)算

2.7 計(jì)算結(jié)果（見圖3～7）

3 實(shí)心樁與空心樁的對(duì)比

地質(zhì)條件：0～14 m，中砂、中密、飽和；14～17 m，粗砂、中密、飽和；17～21 m，砂質(zhì)粘土、密實(shí)、半堅(jiān)硬。

荷載及比值：樁在地面處所受的動(dòng)力矩幅值M0和橫向動(dòng)力幅值Q0之比e=M0/Q0=0.25 m，其中Q0=60×104N。

表2 樁身彎矩與撓度的實(shí)測(cè)值和計(jì)算值匯總表

計(jì)算條件：1/n=0.5，m1=4.347 726 6 N·cm-3.5。

樁的物理幾何特征：

樁1：鉆孔灌注混凝土實(shí)心樁，樁徑D=1.62 m，樁的入土長度h=18.8 m，混凝土密度ρ=2.4×10-3kg/cm3，混凝土彈性模量Ep=3.0×106N/cm2，有鋼筋骨架。

樁2：鉆孔灌注混凝土空心樁，樁外徑D=1.62 m，樁內(nèi)徑d=1.02 m，樁的入土長度h=18.8 m，混凝土密度ρ=2.4×10-3kg/cm3，混凝土彈性模量Ep=3.0×106N/cm2，有鋼筋骨架。

樁3：鉆孔灌注混凝土空心樁，樁外徑D=2.22 m，樁內(nèi)徑d=1.52 m，樁的入土長度h=18.8 m，混凝土密度ρ=2.4×10-3kg/cm3，混凝土彈性模量Ep=3.0×106N/cm2，有鋼筋骨架。即，樁1樁身截面面積與樁3樁身截面面積相等，樁1實(shí)心樁面積為：2.060 15 m2，樁3空心樁面積為：2.055 13 m2。如圖8所示，樁1和樁3陰影部分面積相等。

計(jì)算參數(shù)見表3所列。

表3 計(jì)算參數(shù)表

圖9～13列出了樁1、樁2和樁3的撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力和土抗力的對(duì)比曲線。

4 結(jié)論

該設(shè)計(jì)使用了等效懸臂法估算推力樁的固有頻率，之后，采用吳恒立提出的綜合剛度原理和雙參數(shù)法，計(jì)算共振時(shí)樁在地面處的撓度和轉(zhuǎn)角幅值，以及樁身最大彎矩的幅值及其發(fā)生的位置。選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)，分別計(jì)算了實(shí)心樁和相等外徑的空心樁及與實(shí)心樁有相同等效截面積的空心樁在橫向動(dòng)荷載作用下樁在任意截面的撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力和土抗力集度。并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析（撓度曲線、轉(zhuǎn)角曲線、彎矩曲線、剪力曲線、土抗力集度曲線），得出以下結(jié)論：

（1）外徑相同的實(shí)心樁與空心樁相比，實(shí)心樁各截面的撓度和轉(zhuǎn)角較空心樁的小。

（2）外徑相同的實(shí)心樁與空心樁相比，實(shí)心樁各截面所受彎矩和剪力較空心樁的大。

（3）有效截面積相等的實(shí)心樁和空心樁相比，實(shí)心樁地面處的撓度和轉(zhuǎn)角幾乎是空心樁的2倍。

（4）有效截面積相等的實(shí)心樁和空心樁相比，實(shí)心樁各截面所受彎矩和剪力比空心樁的大且隨樁在土中的深度衰減較慢。

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