陳德標(biāo)

(麗水職業(yè)技術(shù)學(xué)院,麗水 323000)

方向差交會(huì)中水平位移可靠算法研究＊

陳德標(biāo)

(麗水職業(yè)技術(shù)學(xué)院,麗水 323000)

針對(duì)當(dāng)前方向差交會(huì)法數(shù)據(jù)處理中存在的問題,通過合理定義方向差的正負(fù)號(hào),導(dǎo)出水平位移最大值可靠算法?；凇膀?yàn)算”思路,推導(dǎo)了符號(hào)系數(shù) K的實(shí)用判別式和最大位移方向可靠算法,避免了異常區(qū)域計(jì)算錯(cuò)誤。最后模擬算例驗(yàn)證了算法的可靠性和正確性。

方向差交會(huì)法;水平位移;最大值;位移方向;模擬算例

1 引言

前方交會(huì)在水平位移、主體傾斜等變形監(jiān)測(cè)中應(yīng)用廣泛,其水平位移計(jì)算方法有兩種：一是由兩周期觀測(cè)方向值之差,直接解算坐標(biāo)變化量的“方向差交會(huì)法”;二是計(jì)算每周期觀測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)值,再以坐標(biāo)差計(jì)算水平位移[1,2]。當(dāng)前由坐標(biāo)差計(jì)算水平位移的方法成熟。在直接由方向差計(jì)算水平位移過程中,常以圖解方式作答 (如秒差作圖法[3]),或以圖解結(jié)果作為反三角函數(shù)項(xiàng)“±”號(hào)的取值依據(jù)[4],但文獻(xiàn)[5]未交代水平位移分矢量與矢量投影之間關(guān)系,文獻(xiàn)[6]給出了由“角差”計(jì)算最大傾斜量 e和傾斜方向αOO′的通用公式:

式中 eA、eB由α、β變化所決定,角值變大時(shí)為正,反之為負(fù)。同時(shí)規(guī)定三角函數(shù)項(xiàng)“±”的取值規(guī)則為“同號(hào)取正、異號(hào)取負(fù),且以數(shù)值代入計(jì)算”。

多數(shù)情況下,兩式能正確求得水平位移最大值和位移方向,但存在一些不足和不嚴(yán)密之處。式(1)有“±”號(hào),需人為判斷,不方便;式 (2)“±”號(hào)取值規(guī)則不嚴(yán)密,當(dāng) eA、eB絕對(duì)值差異大時(shí),易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤。由上分析知,方向差交會(huì)中水平位移可靠算法研究具現(xiàn)實(shí)意義。

2 水平位移最大值可靠算法

如圖 1、圖 2所示,O為某建筑物底部觀測(cè)點(diǎn)或首期觀測(cè)位置,O′為頂部觀測(cè)點(diǎn)或后期觀測(cè)位置; A、B為基線端點(diǎn),顧及坐標(biāo)代碼選用習(xí)慣,A、B、O3點(diǎn)順時(shí)針編號(hào),與文獻(xiàn)[6]編號(hào)相反;βA、βB為實(shí)測(cè)水平角,交角γ=180°-βA-βB;基線長(zhǎng)度 SAB通過鋼尺丈量或坐標(biāo)反算求得,測(cè)站至 O點(diǎn)的距離 SA、SB由正弦公式求出;Δ βA、Δ βB為瞄準(zhǔn) O、O′時(shí)的方向差,仿測(cè)量坐標(biāo)系,規(guī)定右偏為正、左偏為負(fù),注意在本文A點(diǎn)處,此約定與文獻(xiàn)[6]角差符號(hào)約定相同,B點(diǎn)處則相反。另外為了分析方便,以AO右側(cè)垂線為坐標(biāo)主軸,建立局部坐標(biāo)系 X′OY′。

因?yàn)棣?βA、Δ βB均為小角,故總水平位移 e在AO垂線上的投影值 eA=Δ βASA;在BO垂線上的投影值eB=Δ βBSB。

圖 1 γ＜90°方向差同號(hào)Fig.1 Same sign of direction difference asγ＜90°

圖 1中 eA、eB均為正,根據(jù)矢量求和三角形法則(或平行四邊形法則),在三角形OO′A′中,水平位移最大值 e的計(jì)算公式如下:

圖 2中,eA為負(fù) ,eB為正,夾角為 180°-γ,分矢量夾角∠A′OB′=γ,在三角形OO′A′中,水平位移最大值 e的計(jì)算公式為:

注意此式與式(3)最終表達(dá)式完全相同。經(jīng)分析 eA、eB均為負(fù),或 eA正 eB負(fù),式 (3)同樣適用,同時(shí)交角γ大小也不影響公式使用。

3 最大位移方向可靠算法

3.1 系數(shù) K異常區(qū)域分析

如圖 1、圖 2所示,在局部坐標(biāo)系 X′OY′中,水平位移最大值 e的方向,即OO′方向用αmax表示。

式中,反三角函數(shù)項(xiàng)符號(hào)系數(shù) K=±1,具體取值與eA、eB正負(fù)號(hào)、γ大小及最大位移方向有關(guān),現(xiàn)分述如下。

1)當(dāng)γ=90°時(shí)

根據(jù)反余弦坐標(biāo)方位角計(jì)算公式,顯然有 eB≥0,K=+1;eB＜0,K=-1。

2)當(dāng)γ＞90°時(shí)

如圖 3所示,令ω=γ-90°,多數(shù)情況下,K的取值規(guī)則與γ=90°時(shí)相同。但最大位移方向在 (0, ω)∪(180°,180°+ω ]陰影區(qū)時(shí),將出現(xiàn)異常,且注意到此時(shí) eA、eB異號(hào),絕對(duì)值差異大。

當(dāng)最大水平位移處在OO′方向,其方位角在(0, ω)內(nèi)。此時(shí)Δ βA右偏,eA為正;Δ βB左偏,eB為負(fù)。據(jù)圖解 K理應(yīng)取 +1,規(guī)則與γ=90°時(shí)相反。

當(dāng)最大位移方向位于 (180°,180°+ω]時(shí),Δ βA左偏,eA為負(fù);Δ βB右偏,eB為正。據(jù)圖解 K理應(yīng)取-1,規(guī)則亦與γ=90°時(shí)相反。

3)當(dāng)γ＜90°時(shí)

如圖 4所示,令ω=90°-γ,其情況與γ＞90°時(shí)類同。最大位移方向在[-ω,0)∪(180°-ω,180° )陰影區(qū)時(shí),將出現(xiàn)異常,且注意到此時(shí) eA、eB同號(hào),絕對(duì)值差異大。此區(qū)域內(nèi) K取值規(guī)則亦與γ=90°時(shí)相反。

圖 3 γ＞90°時(shí),K取值異常區(qū)Fig.3 Kabnor mal area ofKvalue asγ＞90°

圖 4 γ＜90°時(shí),K取值異常區(qū)Fig.4 Kabnormal area ofKvalue asγ＜90°

3.2 K值可靠算法

鑒于上述分析,可知 K不能簡(jiǎn)單依據(jù) eA和 eB正負(fù)號(hào)取值,它還與γ大小及最大位移方向有關(guān),經(jīng)分析,可用下式確定 K值:

式中,sign(x)為符號(hào)函數(shù),abs(x)為絕對(duì)值函數(shù)。

式(5)含義是:總水平位移 e在 BO右側(cè)垂線(局部坐標(biāo)方位角為γ)上的投影反演值,必須與實(shí)測(cè)值相等。當(dāng)αmax確為 cos-1(eA/e)時(shí),位移投影反演驗(yàn)算值等于實(shí)測(cè)值 eB,abs(x)項(xiàng)為 0,顧及計(jì)算誤差和符號(hào)取值需要,引入 e/1 000項(xiàng),K取值 +1。當(dāng)αmax不為 cos(eA/e)時(shí),位移投影反演驗(yàn)算值與實(shí)測(cè)值 eB差異明顯,abs(x)項(xiàng)遠(yuǎn)大于 0,K取值 -1。判別式(5)經(jīng)大量數(shù)據(jù)驗(yàn)算正確可靠。

3.3 最大位移方向統(tǒng)一方位角計(jì)算

參見圖1、圖2,設(shè)直線AB在統(tǒng)一坐標(biāo)系中的方位角為αAB統(tǒng)一,最大位移方向?yàn)棣羗ax統(tǒng)一,則:

4 算法驗(yàn)證

基于 Excel,擬定測(cè)站坐標(biāo)A(200,200)、B(100, 100);交會(huì)三角形內(nèi)角βA=45°、βB=18°。計(jì)算得交角γ=117°,首期交會(huì)點(diǎn)坐標(biāo) O(200,150.9525),方位角αAO=270°、αBO=27°,距離 SAO=49.047 5 m、SBO=112.232 6 m,AO右側(cè)垂線方位角為 0°(局部坐標(biāo)系與統(tǒng)一坐標(biāo)系重合)。接著以 O為基準(zhǔn)點(diǎn),起始方位 5°,步長(zhǎng) 20°,半徑 0.2 m,算出驗(yàn)算圓圓周上各 Ci點(diǎn)坐標(biāo)。進(jìn)而算出測(cè)站A、B至 Ci的方位角,并與αAO、αBO比較,得方向差Δ βA、Δ βB。然后顧及距離 SAO、SBO,得投影值 eA和 eB。再按式 (3)、(5)、(4)計(jì)算水平位移最大值 e、系數(shù) K和位移方向αmax。最后根據(jù)文獻(xiàn)[6]的計(jì)算思路,參照本文點(diǎn)號(hào)順序和方向差正負(fù)號(hào)的約定,且暫不考慮 eA=0或 eB=0之特例,式 (2)修正為式 (7),算出最大位移方向,相關(guān)計(jì)算結(jié)果見表 1。

從表 1可以看出,水平位移最大值的計(jì)算值與理論值 0.2 m相差甚微。因方向差交會(huì)法本身不是嚴(yán)密算法,最大位移方向αmax與理論值有所差異,誤差大的可能有數(shù)分,這對(duì)一般工程沒實(shí)質(zhì)影響。同時(shí)注意到,e理論方向?yàn)?5°或 (25°、185°、205°)∈(0°,27°)∪(180°,207°]時(shí),K取值異常,即與 eB符號(hào)相反,應(yīng)用式(5)避免了錯(cuò)誤。

反觀式(7),絕大部分計(jì)算正確,但 e理論方向?yàn)?105°或 (285°)∈(90°,117°)∪(270°,297°)時(shí),計(jì)算所得 128°55′46″、309°04′11″,與正確方向的差數(shù)分別是 23°55′46″、24°04′11″,該差值為 2cos-1(abs(eB)/e),表明此時(shí)反三角函數(shù)項(xiàng)的符號(hào)系數(shù)錯(cuò)了。進(jìn)一步分析知,最大位移方向αmax位于BO過O點(diǎn)垂線與AO所夾之銳角(交角γ與 90°之差)區(qū)域內(nèi)時(shí),式(7)計(jì)算結(jié)果均不正確。

上述分析表明,本文算法比式 (2)及修正后的式(7)可靠。

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)性地提出“右偏為正、左偏為負(fù)”的方向差正負(fù)號(hào)定義規(guī)則,導(dǎo)出方向差交會(huì)中水平位移最大值可靠算法,去除“±”,方便計(jì)算。并指出反三角函數(shù)項(xiàng)符號(hào)系數(shù) K取值存在異常區(qū)域,基于“驗(yàn)算”思路,推得實(shí)用判別式,得出最大位移方向可靠算法。最后模擬算例驗(yàn)證了該算法的可靠性、正確性和易編程性,完善了方向差交會(huì)法,可有效地減少水平位移計(jì)算錯(cuò)誤。

表 1 水平位移可靠算法驗(yàn)算結(jié)果Tab.1 Results from checking horizontal displacement algorithm

1 JGJ 8-2007.建筑變形測(cè)量規(guī)范 [S].2007.(JGJ 8-2007.Standard for defor mation measurement for building and structure[S].2007)

2 GB 50026-2007.工程測(cè)量規(guī)范[S].2007.(GB 50026-2007.Standard for engineering surveying[S].2007)

3 陳龍飛,金其坤.工程測(cè)量[M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社, 1990.(Chen Longfei and JingQikun.Engineering surveying [M].Shanghai：TongjiUniversity Press,1990)

4 王再華,柳廣杰.塔形建構(gòu)主體傾斜測(cè)量[J].測(cè)繪通報(bào), 2005,(9)：29-31.(Wang Zaihua and Liu Guangjie.Inclination surveying for tower building[J].Bulletin of Surveying andMapping,2005,(9)：29-31)

5 平海慶,等.高屋建筑物傾斜觀測(cè)的一種新方法[J].北京測(cè)繪,2006,(3)：34-37.(Ping Haiqing,et al.A new method of tall building oblique observation[J].Beijing Surveying andMapping,2006,(3)：34-37)

6 彭偉平.煙囪傾斜變形觀測(cè)的新方法及其應(yīng)用[J].測(cè)繪通報(bào),2004,(10)：38-41.(PengWeiping.A new method for deformation measurement of chimney inclination and its application[J].Bulletin of Surveying and Mapping,2004, (10)：38-41)

STUDY ON REL IABLE ALGORITHM FOR HORIZONTAL D ISPLACEM ENT IN D IRECTION D IFFERENCE INTERSECTION

Chen Debiao
(L ishui Vocationalamp;Technical College,Lishui 323000)

Aiming at the problem in data processing of direction difference intersection,a reliable algorithm for the maximum horizontal displacement is derived through defining direction differencec’s plus-minus.To avoid incorrect calculation of abnormal area,practical discriminant of the code coefficientKand the reliable algorithm of maximum displacement direction are derive,the reliability of improved method is verified through simulation examples finally.

direction difference intersection;horizontal displacement;maximum;displacement direction;simulation example

1671-5942(2010)05-0140-04

2010-02-23

浙江省麗水科技計(jì)劃項(xiàng)目(200903)

陳德標(biāo),男,1970年生,工程碩士,講師,主要從事工程測(cè)量、地下管線測(cè)量的教學(xué)和實(shí)踐工作.E-mail：cdb203@163.com

P212+.2

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