劉序儼 黃聲明 林巖釗

(福建省地震局,福州 350003)

地形變旋轉(zhuǎn)張量探討＊

劉序儼 黃聲明 林巖釗

(福建省地震局,福州 350003)

在分析地形變組成的基礎(chǔ)上,指出旋轉(zhuǎn)與應(yīng)變張量矩陣同出而異名,兩者皆為位移梯度矩陣的不同組合。旋轉(zhuǎn)張量矩陣為位移梯度矩陣與其轉(zhuǎn)置矩陣之差的 1/2,為一反對稱矩陣,由于該矩陣的對角線元素為零,旋轉(zhuǎn)張量矩陣已退化為一向量,該向量的方向與模表征了地殼的剛體旋轉(zhuǎn)角位移。給出了位移梯度矩陣、旋轉(zhuǎn)與應(yīng)變張量矩陣的普適表達(dá)式,而旋轉(zhuǎn)張量矩陣的諸元素皆為位移分量偏導(dǎo)數(shù)的減組合,要想根據(jù)旋轉(zhuǎn)張量矩陣計(jì)算旋轉(zhuǎn)角位移,必須首先求得位移分量的坐標(biāo)函數(shù)式,且計(jì)算得到的旋轉(zhuǎn)角位移又不是一直接觀測量,為了克服求取位移分量坐標(biāo)擬合式的困難,又能對地表旋轉(zhuǎn)成分進(jìn)行直接觀測,提出了一種簡單且行之有效的觀測與計(jì)算方法。

地殼形變;位移梯度矩陣;旋轉(zhuǎn)張量矩陣;旋轉(zhuǎn)觀測;計(jì)算方法

1 引言

對于前者,dr與 dr′之間關(guān)系可用下式表示:

對于后者,顯然式 (1)是不適用于圖 2所示情況,此時(shí)須用一個(gè)地形變張量矩陣取而代之,對圖 2中的情況[1,2]:

式中,F為地形變張量矩陣,對于二維平面情況,F為二階矩陣,對于三維空間,F為 3階矩陣,根據(jù)文獻(xiàn)[1,2],任何一種地形變可由平移、旋轉(zhuǎn)和應(yīng)變 3部分組成,因此,式(2)中的地形變張量矩陣 F又可分解為：

式中,I為單位矩陣,表示剛體平移;Ω為旋轉(zhuǎn)張量矩陣,表示剛體旋轉(zhuǎn);ε為應(yīng)變張量矩陣,表示地塊形狀的改變。將式(3)代入式(2),則得表示地形變的普適表達(dá)式：

式(4)的幾何含義就是如圖 2的那樣對 dr進(jìn)行以下操作:先把 dr平移使其A與A′重合,然后把 dr旋轉(zhuǎn)一個(gè)β角,使 dr與 dr′重合,最后使 dr伸縮,使 dr等于 dr′。同樣,這種操作也適用于平面上的正方形和空間中的立方體,不過除了平移、旋轉(zhuǎn)和伸縮外,正方形和立方體的相鄰兩直角邊的夾角也可能發(fā)生改變,即剪應(yīng)變。既然地形變是由平移、旋轉(zhuǎn)和應(yīng)變 3部分組成,宛如顏料中的紅、黃、藍(lán) 3種原色可以調(diào)出百色一樣,平移、旋轉(zhuǎn)與應(yīng)變也是地殼變形的 3種“原色”,它們表征了地殼質(zhì)點(diǎn)在外力激勵(lì)下做出的響應(yīng)。

圖1 平行情況Fig.1 Parallel case

圖2 不平行情況Fig.2 Unparallel case

旋轉(zhuǎn)與應(yīng)變皆由質(zhì)點(diǎn)位移所引起,它們分別為位移梯度矩陣的不同組合,旋轉(zhuǎn)與應(yīng)變張量矩陣之和即等于位移梯度矩陣。設(shè)其質(zhì)點(diǎn)位移向量為 u,E為位移梯度矩陣,則有：

2 位移梯度矩陣及其性質(zhì)

設(shè)M與N為在ξ坐標(biāo)系中相鄰近的兩點(diǎn)。在外力作用下,M移至M′,N移至 N′。M的位移為u(r),N的位移為 u(r+Δr),其中,Δr=(ΔS1,ΔS2, ΔS3)T為M點(diǎn)的位置向量的增量(圖 3)。

圖3 地殼質(zhì)點(diǎn)位移示意圖Fig.3 Sketch of crustal particle displacement

在圖 3中,由于M與 N是非常接近的兩個(gè)點(diǎn),對M點(diǎn)位移所引起的N點(diǎn)位移向量 u(r+dr)進(jìn)行臺勞級數(shù)展開,僅取一次項(xiàng)可得:

由上式又可得:

根據(jù)向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)定理[3],由式 (5)可得:

式中,ΔU1、ΔU2、ΔU3分別為位移向量 u的全微分在M點(diǎn)單位活動標(biāo)架上的分量,則 E的表達(dá)式為：

E稱為M點(diǎn)處的位移梯度矩陣或位移向量 u的雅可比矩陣。由張量理論,位移向量為一階張量,位移梯度矩陣為二階張量矩陣。

位移梯度矩陣 E給出了位移向量的空間變化率,刻畫了地殼介質(zhì)的形變。這種“形變”體現(xiàn)在介質(zhì)內(nèi)部質(zhì)量體積元位移的相互作用上,這種介質(zhì)內(nèi)部相互作用產(chǎn)生的“形變”,在彈性力學(xué)中稱為“應(yīng)變”,位移的空間變化率即為應(yīng)變[4]。

由M點(diǎn)的位移梯度矩陣 E及轉(zhuǎn)置矩陣 ET所構(gòu)成的兩種特定組合,分別給出由M點(diǎn)位移在其鄰域所產(chǎn)生的地殼介質(zhì)的應(yīng)變和旋轉(zhuǎn)張量矩陣[1,2],前者可表達(dá)為:

式中,

后者可表示為:

式中,

其中,

前者的對角線元素分別表示在M點(diǎn)處正交坐標(biāo)架軸上的線應(yīng)變,而非對角線諸元素則分別表示在M點(diǎn)處由彼此相互正交的坐標(biāo)軸所構(gòu)成的平面上的剪應(yīng)變,在三維空間中,應(yīng)變張量矩陣僅有 6個(gè)獨(dú)立變量,在二維情況,僅有 3個(gè)獨(dú)立變量。雖然在不同的正交曲線坐標(biāo)系下應(yīng)變張量矩陣的元素各不相同,但它們都是相似矩陣,都能刻畫在M點(diǎn)處的所有地形變信息。無論由哪一種坐標(biāo)系下的應(yīng)變張量矩陣均能求出M點(diǎn)處的地形變不變量,這些不變量與坐標(biāo)系的選擇無關(guān),這些不變量隱藏在該矩陣之中。它們分別為該質(zhì)點(diǎn)處的主應(yīng)變及其主方向,在由彼此正交的兩個(gè)主方向構(gòu)成的平面上的剪應(yīng)變?yōu)榱?主方向上的應(yīng)變即為主應(yīng)變,主應(yīng)變之和等于該矩陣的跡,為該質(zhì)點(diǎn)處的體應(yīng)變,矩陣的行列式等于主應(yīng)變的乘積,該矩陣皆可由主方向的單位向量所構(gòu)成的變換矩陣轉(zhuǎn)換為以主應(yīng)變?yōu)閷蔷€元素的對角矩陣,主應(yīng)變與主方向皆可由矩陣的特征值方程求得,以上這些不變量正體現(xiàn)了應(yīng)變張量矩陣的幾何物理性質(zhì)。對于后者,由于為一反對稱矩陣,此時(shí)該矩陣已通化為一向量,該向量表征了該質(zhì)點(diǎn)處的剛體旋轉(zhuǎn)方向,而該向量的模則為剛體旋轉(zhuǎn)的角位移。M點(diǎn)處的地形變應(yīng)變與旋轉(zhuǎn)成分是由M點(diǎn)處的位移空間形變率即位移梯度所產(chǎn)生的,因此M點(diǎn)處的應(yīng)變與旋轉(zhuǎn)則表征了位移梯度矩陣的性質(zhì)。

3 旋轉(zhuǎn)張量矩陣及其性質(zhì)

從式 (13)可看出,旋轉(zhuǎn)張量矩陣為反對稱矩陣,因此式(13)中的對角線分量皆為零,此時(shí),旋轉(zhuǎn)張量已退化為一個(gè)旋轉(zhuǎn)向量。式 (13)中各分量ωij(i≠j)表示為位移所引起的旋轉(zhuǎn)向量的模在 ij平面上的分量,具有明確的幾何意義。例如,ω12表示在M點(diǎn)處的單位標(biāo)架中由 e1和 e2單位向量所構(gòu)成的平面上(以下稱為 12平面)所發(fā)生的角度轉(zhuǎn)動量(以弧度為單位),在單位時(shí)間的轉(zhuǎn)動量稱為角速度。ω12值的正負(fù)由下述約定給出:如果ω12為正值,那么,根據(jù)右手法則,四指按反時(shí)針由 e1轉(zhuǎn)向 e2,大拇指所指的方向就代表在 12平面上所發(fā)生的轉(zhuǎn)動向量的方向[5],該轉(zhuǎn)動的大小與方向可表示為ω12e3;反之,ω21代表在 12平面上按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動,轉(zhuǎn)動向量的方向指向 -e3,該轉(zhuǎn)動的大小和方向可表示為 -ω21e3,因ω21=-ω12,則ω21e3=-ω12e3,說明 12平面上的轉(zhuǎn)動向量與約定的時(shí)針方向無關(guān),其他兩個(gè)平面上的旋轉(zhuǎn)向量亦可依此類推。最后可得由式(13)所表示的旋轉(zhuǎn)向量ω表達(dá)式為

設(shè):cosα、cosβ與 cosγ分別為向量ω的方向余弦,則ω的單位向量為

式中,

旋轉(zhuǎn)向量ω又可表示為

式中：ω0表示由位移所引起的單位轉(zhuǎn)動向量;ω表示由位移所引起的與ω0相正交平面上的旋轉(zhuǎn)量,其正負(fù)根據(jù)右手法則給出;ω23、ω13、ω12分別為ω在23、13、12平面上的分量,而ω本身也就是旋轉(zhuǎn)向量的模。

不同坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)張量矩陣亦如應(yīng)變張量矩陣一樣,也可通過這兩個(gè)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣 c進(jìn)行轉(zhuǎn)換,其表達(dá)式為[1]:

式中,c=cB,其中 cB與 cA分別為由M點(diǎn)處的直角坐標(biāo)系的單位標(biāo)架轉(zhuǎn)換到該點(diǎn)處的 B與 A坐標(biāo)系的單位標(biāo)架的轉(zhuǎn)換表達(dá)式[5],且 ccT=I,故旋轉(zhuǎn)張量矩陣如同應(yīng)變張量矩陣一樣也是相似矩陣,旋轉(zhuǎn)分量與的轉(zhuǎn)換亦同應(yīng)變張量分量的轉(zhuǎn)換一樣是可轉(zhuǎn)換的。

考慮到旋轉(zhuǎn)張量矩陣ω為一個(gè)由式 (13)所表示的一個(gè)已退化的轉(zhuǎn)動向量,當(dāng)然ω =(ω23,ω23, ω23)亦可由坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換公式得到以下相互轉(zhuǎn)換表達(dá)式:

式中,c=cA由于 c為正交矩陣,ccT=I,不難證明：

故不同坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)張量都能給出該質(zhì)點(diǎn)處地殼整體旋轉(zhuǎn)方向及其旋轉(zhuǎn)角位移,這正是該矩陣所隱藏的幾何物理不變量。

顧及到式 (15),則式 (23)又可寫為：

4 地表面旋轉(zhuǎn)張量的運(yùn)動方程

旋轉(zhuǎn)張量矩陣與應(yīng)變張量矩陣都是同出而異名,即它們都是位移梯度矩陣的不同組合。前者為減組合,后者為加組合。根據(jù)數(shù)字濾波理論,前者為高通濾波器,后者為低通濾波器。在無地震情況下,地殼噪聲一般表現(xiàn)為地脈動,其振幅都是較小的,因此,地殼旋轉(zhuǎn)分量的數(shù)值一般比平移和應(yīng)變要小。

地殼旋轉(zhuǎn)如同應(yīng)變一樣,都是由地殼剪切應(yīng)力所引起的。在這里,我們僅討論地表旋轉(zhuǎn)問題,因?yàn)槲覀兡壳斑€沒有這樣一個(gè)三維形變觀測系統(tǒng)。根據(jù)牛頓第二定律與物體轉(zhuǎn)動的力矩平衡原理,繞垂直于地表面的 Z軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動方程為[4]:

式中,θz是繞 Z軸的轉(zhuǎn)動角,Iz為地殼體積微元dxdydz繞 Z軸的轉(zhuǎn)動慣量,Gz為體積力力矩密度的Z軸分量,Gzdxdydz為該 Z軸分量繞 Z軸的旋轉(zhuǎn)力矩,Iz=ρdxdydz[(dx)2+(dy)2]平均,其中ρ為地殼密度,σxy與σyx分別為地表面上的 2個(gè)剪應(yīng)力。當(dāng)體積微元 dxdydz趨于零時(shí),轉(zhuǎn)動慣量 Iz趨于零的速度更快,因而上式變?yōu)?

在小應(yīng)力情況下,上式又可近似寫成:

同理,可得繞 X軸與 Y軸轉(zhuǎn)動的運(yùn)動方程:

式中,Gx與 Gy分別為體積力力矩密度的 X軸與 Y軸分量繞 X軸與 Y軸的旋轉(zhuǎn)力矩。

當(dāng)上式 Gi(i=x,y,z)=0,則得到剪切應(yīng)力張量的重要關(guān)系式:

文獻(xiàn)[7,8]則直接從力矩平衡方程出發(fā),在假定Δxi(i=1,2,3)→0前提下,同樣得到了σij=σji。式(30)表明剪切應(yīng)力是對稱的。在線性小應(yīng)變彈性波傳播理論中,Gi=0是允許的。應(yīng)力張量的對稱性“消隱”了轉(zhuǎn)動運(yùn)動方程存在的形式,因此,在一般文獻(xiàn)中對轉(zhuǎn)動運(yùn)動方程都不予討論[4]。張量的對稱性本身就呈現(xiàn)了“旋轉(zhuǎn)成分”。

既然旋轉(zhuǎn)為組成地形變 3種成分中的一種,為一種獨(dú)立成分,據(jù)筆者所知,到目前為止,雖然還沒有一種專門的觀測系統(tǒng)對其進(jìn)行觀測研究,但旋轉(zhuǎn)作為地形變的一種獨(dú)立成分,如何對它進(jìn)行觀測一直成為學(xué)者關(guān)注的焦點(diǎn),其中,地震旋轉(zhuǎn)儀的研制與試測就是顯著的一例[9]。該旋轉(zhuǎn)儀的本體為一完全對稱的圓環(huán)形旋轉(zhuǎn)慣性擺。雖然該儀器經(jīng)過 1年的試測記錄到了一些地震旋轉(zhuǎn)波,但因地震位移波與旋轉(zhuǎn)波同時(shí)到達(dá),位移波會對旋轉(zhuǎn)波產(chǎn)生極強(qiáng)的干擾,使旋轉(zhuǎn)波被淹沒在位移波中難以分辨,如何抑制地震 P波波動使之不會對旋轉(zhuǎn)波產(chǎn)生影響,是一項(xiàng)非常關(guān)鍵的而又十分不易解決的難題,終因種種原因遭遇到重重困難,最后也只好將試測樣機(jī)束之高閣而作罷,但不管怎樣,研制者卻開創(chuàng)了中國地震旋轉(zhuǎn)儀研制的先河。迄今為止,還沒有找到一種行之有效的觀測系統(tǒng)與計(jì)算方法,在這里,本文提出一種簡單易行的觀測方案與計(jì)算方法。

5 旋轉(zhuǎn)張量計(jì)算面臨的困境

在取得諸測站的位移觀測資料后,是否就可直接按式(11)與(13)進(jìn)行地應(yīng)變與旋轉(zhuǎn)形變分析呢?回答是否定的,其原因是我們無法知道位移的坐標(biāo)函數(shù)表達(dá)式,因此也就無法得到位移諸分量對該測站坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)值。根據(jù)彈性力學(xué)理論基礎(chǔ),地殼介質(zhì)這種彈性體中所有的物理量都是連續(xù)的,即是說,密度、位移、應(yīng)變、應(yīng)力都被假定為空間點(diǎn)的連續(xù)變量,并且假定空間點(diǎn)變形前后應(yīng)該是一一對應(yīng)的,位移向量為空間點(diǎn)的單值函數(shù)并具有所需的各階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)[1],在一般情況下,我們無法知道位移的坐標(biāo)函數(shù)表達(dá)式,但天體起潮力引起的測站位移是個(gè)例外。根據(jù)固體潮理論,在采用古登堡-布倫地球模型的基礎(chǔ)上,天體起潮力引起的位移可根據(jù)該測站處的天體起潮力計(jì)算出來,從而可得到天體起潮力所導(dǎo)致的測站位移在球坐標(biāo)系下以測站地心向徑ρ、地心緯度φ與經(jīng)度λ為變量的位移坐標(biāo)函數(shù)表達(dá)式,最后根據(jù)式(11)與(13)進(jìn)行應(yīng)變與旋轉(zhuǎn)張量計(jì)算,以得到固體地球應(yīng)變與旋轉(zhuǎn)張量的理論值[10-12],把應(yīng)變固體潮觀測值進(jìn)行維尼迪柯夫調(diào)和分析,就可在振幅與相位方面對兩者進(jìn)行分析,以取得可靠的地形變信息。

在一般不知位移坐標(biāo)函數(shù)表達(dá)式的情況下,如何解決應(yīng)變張量計(jì)算呢?為此,許多學(xué)者進(jìn)行了探討,例如,文獻(xiàn)[13]建議以若干個(gè)觀測點(diǎn)作為支撐點(diǎn)來確定某個(gè)內(nèi)插函數(shù),在進(jìn)行內(nèi)插時(shí),如果沒有給觀測值提供一種假定的動力學(xué)模型數(shù)據(jù)的話,采用純粹的幾何模型內(nèi)插方法必須滿足觀測點(diǎn)的分布密度能保證相鄰觀測點(diǎn)之間的線性內(nèi)插達(dá)到足夠的精度以滿足研究的需要,以及所選定的幾何內(nèi)插函數(shù)能確保相鄰觀測點(diǎn)之間存在近似線性內(nèi)插關(guān)系,內(nèi)插函數(shù)可采用樣條逼近技術(shù)或擬合推估方法求得。文獻(xiàn)[14]認(rèn)為,在我們所得到的是一些離散點(diǎn)的位移,而不是點(diǎn)位的函數(shù)時(shí),則無法解析地求出偏導(dǎo)數(shù),此時(shí)必須用數(shù)值估計(jì),有兩種方法可供采用。一種是求一個(gè)小區(qū)域的導(dǎo)數(shù),此時(shí)需要采用有限元方法,另一種是求一個(gè)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù),此時(shí)可用有限差分法。因此,利用應(yīng)變張量矩陣公式計(jì)算應(yīng)變張量遇到了建立位移分量的坐標(biāo)線性擬合公式這個(gè)難題。在利用旋轉(zhuǎn)張量矩陣公式計(jì)算旋轉(zhuǎn)張量時(shí)也遇到了同樣的難題,如何繞開這個(gè)難題,直接利用位移觀測資料進(jìn)行旋轉(zhuǎn)張量計(jì)算只有另覓他途。

6 旋轉(zhuǎn)觀測與計(jì)算方法探討

地殼旋轉(zhuǎn)作為地形變的一種獨(dú)立成分,除了文獻(xiàn)[1,2]從理論上給予證明以外,更主要的是要以觀測事實(shí)予以證明,因?yàn)樽匀豢茖W(xué)不像思辨哲學(xué)那樣僅是在形而上學(xué)層面上進(jìn)行思考,而自然科學(xué)本身是一種實(shí)證科學(xué),對任何一種理論都必須經(jīng)過觀測或?qū)嶒?yàn)加以驗(yàn)證。如何對地形變旋轉(zhuǎn)成分進(jìn)行觀測,本文提出一種觀測方案 (圖 4)。圖中OA與OB相互垂直,分別位于 x軸與 y軸上,OA=OB,分別在A、O、B進(jìn)行位移觀測。

圖4 旋轉(zhuǎn)觀測示意圖Fig.4 Sketch of rotation observation

圖 4中Ux(·)與 Uy(·)分別為 A、O、B點(diǎn)的位移分量,其中,Ux(O)與 Ux(A)的差異會使 OA發(fā)生脹縮,而Uy(O)與 Uy(A)的差異則會使 OA發(fā)生偏轉(zhuǎn),類似地Uy(O)與Uy(B)之差異會使OB脹縮, Ux(O)與Ux(B)會使 OB發(fā)生偏轉(zhuǎn)。圖中 OA邊旋轉(zhuǎn)角位移向量ωOA為:

類似地,OB邊的旋轉(zhuǎn)角位移向量ωOB為:

以上計(jì)算是依照右手法則來確定旋轉(zhuǎn)向量方向的,旋轉(zhuǎn)方向定為為與地表垂直向上方向的一個(gè)單位向量,如果式 (31)與 (32)中右邊的系數(shù)為正,表明旋轉(zhuǎn)為逆時(shí)針,反之為順時(shí)針方向。最后,兩邊位移所引起的O點(diǎn)處的地殼旋轉(zhuǎn)位移ω為上述兩式之平均值：

上式正是由式 (14)所表示的二維地表應(yīng)變張量矩陣中的ωyx的旋轉(zhuǎn)向量表達(dá)式。

采取這樣的方案不但可以對地表旋轉(zhuǎn)進(jìn)行觀測,而且可以進(jìn)行計(jì)算,從而可以彌補(bǔ)這方面的空白。

至于三維地殼旋轉(zhuǎn)張量觀測,我們必須在空間6個(gè)不同方向進(jìn)行位移觀測。目前,我們還不可能在地殼洞體中建立這樣一個(gè)觀測系統(tǒng),因此,也就無法取得其他兩個(gè)旋轉(zhuǎn)張量。如何對地殼旋轉(zhuǎn)進(jìn)行完備觀測與計(jì)算,仍然是一個(gè)今后值得重視的問題。

在這里,值得提出的是,本文給出的地形變旋轉(zhuǎn)張量觀測與計(jì)算公式(34),是受旋轉(zhuǎn)張量式 (14)的啟發(fā),式(34)不過是式 (14)在圖 4中等邊直角三角形上的近似展開罷了,觀測與計(jì)算原理是正確的。由于福建省地震局 GPS網(wǎng)點(diǎn)布設(shè)時(shí),沒有考慮地旋轉(zhuǎn)觀測方案,因此,無法以觀測資料實(shí)例對該方法的可行性與實(shí)效性進(jìn)行驗(yàn)證。不過我們可以對式(34)計(jì)算地旋轉(zhuǎn)張量的精度進(jìn)行估計(jì)。

設(shè):Δx=Δy=l,設(shè) GPS單點(diǎn)觀測位移的中誤差為σu,設(shè)σω為ω的計(jì)算中誤差,根據(jù)誤差傳播定律,不難得出:

在目前 GPS單點(diǎn)觀測精度最高可達(dá)σu=1 mm,設(shè) l=100 m=105mm,則按式(35),此時(shí),σω= 10-5(弧度)=2″,如取 l=1 000 m=106mm,則σω=0.2″,如 l=10 km=107mm,則σω=0.02″,此時(shí)ω的測定中誤差相當(dāng)于傾斜固體潮最大幅度。因此,采用此種方法是無法勝任旋轉(zhuǎn)固體潮觀測的,但可以滿足對大震的同震旋轉(zhuǎn)觀測,此種旋轉(zhuǎn)觀測系統(tǒng)是可以對大震所引起的同震旋轉(zhuǎn)作出響應(yīng)的,因?yàn)榇笳鸬耐鹦D(zhuǎn)量較大。

7 認(rèn)識與討論

文獻(xiàn)[4]認(rèn)為應(yīng)力矩陣的對稱性“消隱”了應(yīng)力轉(zhuǎn)動方程存在的形式,但不是意味著旋轉(zhuǎn)成分的消失,而是認(rèn)為應(yīng)力張量的對稱性本身就呈現(xiàn)了“旋轉(zhuǎn)成分”,旋轉(zhuǎn)成分的存在是一種客觀事實(shí),不過其量值比正應(yīng)變與剪應(yīng)變值要小罷了,大地震所造成的煙筒或鐵軌扭曲就是旋轉(zhuǎn)成分存在的一種例證。究其原因,旋轉(zhuǎn)是由不同距離處的質(zhì)點(diǎn)位移之差異所造成的,即是由質(zhì)點(diǎn)的不同空間形變率所造成的。本文從地形變構(gòu)成出發(fā),闡述了應(yīng)變與旋轉(zhuǎn)張量矩陣皆為位移梯度矩陣的不同組合,并指出位移梯度矩陣刻畫出了空間形變率,并給出了應(yīng)變與旋轉(zhuǎn)張量矩陣的普適表達(dá)式。由式(11)與 (13)可發(fā)現(xiàn),要想根據(jù)位移觀測資料進(jìn)行應(yīng)變與旋轉(zhuǎn)張量分析,首先要給出位移分量的坐標(biāo)函數(shù)式,除了應(yīng)變固體潮外,我們一般是無法獲知位移分量的坐標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式,此時(shí)要從建立動力學(xué)或幾何模型并采用線性內(nèi)插方法來取得位移分量的坐標(biāo)擬合式,在此基礎(chǔ)上,才能根據(jù)式(11)與(13)進(jìn)行應(yīng)變與旋轉(zhuǎn)張量分析[10,11],從這個(gè)意義上說,根據(jù)式 (13)對位移分量的坐標(biāo)擬合式取偏導(dǎo)而取得的旋轉(zhuǎn)并不是一種直接觀測量,而且存在擬合誤差帶來的影響。對此,本文給出了一種繞開式(13)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)分析的方法,提出了一種在等邊直角三角形 3個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行位移觀測及其計(jì)算方法,該方法簡單易行,可避免采用式 (13)要確定位移分量坐標(biāo)函數(shù)式的困難。在目前的地形變觀測系統(tǒng)中,唯缺失旋轉(zhuǎn)觀測系統(tǒng),只有建立了旋轉(zhuǎn)觀測系統(tǒng),我們才真正具有了對地形變 3種成分進(jìn)行觀測的一個(gè)完備的觀測系統(tǒng)。

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RESEARCH ON ROTATION TENSOR OF CRUSTAL DEFORMATION

Liu Xuyan,Huang Shengming and Lin Yanzhao
(Earthquake Adm inistration of Fujian Provine,Fuhzou 350003)

On the basis of the analysis of component combination of crustal deformation,it is pointed out that strain and rotation tensor matries both are different combination of displacement gradient matrix,and the rotation tensormatrix is a half of diffrence of both displacement gradieutmatrix and it is transpose one and anti-symmetrix one.Because its diagonal elements of rotation tensormatrix is zero so it turns into a kind of vector in degradation, the direction and modulus of the vector characterize the crustal rigid rotation.

crustal deformation;displacement gradieatmatrix;rotation tensormatix;rotation observation;calculation of rotation

1671-5942(2010)05-0057-07

2010-06-21

中國地震局老專家基金

劉序儼,男,1939年,研究員,長期從事固體潮與地殼形變研究.E-mail：xuyanliu@126.com

P315.72+5

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