汪會民 蔣 威

（安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230039）

二階非線性脈沖泛函微分方程正解的存在性

汪會民 蔣 威

（安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230039）

利用錐上的不動點(diǎn)定理研究了Banach空間中的一類二階非線性奇異脈沖微分方程的邊值問題，得到了正解存在的充分條件，并推廣已有文獻(xiàn)的一些結(jié)果。

脈沖方程；正解；時(shí)滯；錐

1 引言

脈沖微分方程描述了在某一時(shí)刻突然改變其狀態(tài)的過程。這樣的現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)中很常見，尤其在工程，物理中。近些年，脈沖微分方程已經(jīng)成為非常重要的研究領(lǐng)域。

其中，邊值問題：

已經(jīng)有許多文獻(xiàn)研究它了。然而，關(guān)于二階脈沖時(shí)滯微分方程正解的存在性還沒有相關(guān)的文獻(xiàn)。在這篇文章中，我們運(yùn)用錐上的不動點(diǎn)定理來研究正解的存在性。

本文，我們考慮下例二階脈沖時(shí)滯微分方程邊值問題正解的存在性

并且滿足以下條件：

這里 tk是一些固定點(diǎn)，并且滿足 0＜t1＜t2＜t3＜…＜tk＜…＜tm＜1，u′（t-k），u′（t+k）分別代表 u′（t）在 t=tk的左右極限。λ是一個(gè)正實(shí)數(shù)。

2 準(zhǔn)備工作

由引理（2.1）及推論（2.2）可得：

必要性的證明就是充分性的逆過程，在這里不再贅述了。

我們定義一個(gè)錐

定義一個(gè)算子T:P→P

2

所以Tu∈P。根據(jù)Arzela-Ascoli定理，T:P→P是全連續(xù)算子。

引理2.5 E是一個(gè)Banach空間，K?E是一個(gè)錐。假設(shè)Ω1，Ω2是E中的開緊集且?Ω2，T:K∩Ω1）→K 是全連續(xù)算子，使得：

這里a是0+或+∞。

3 主要結(jié)果

定理 3.1 假設(shè)（A1）-（A3）成立，且滿足

時(shí)，邊值問題（1.1）至少存在一個(gè)正解。

證明：由T是一個(gè)全連續(xù)算子如（2.4）式所定義。

定理 3.2 假設(shè)（A1）-（A3）成立，且滿足

邊值問題（1.1）至少存在一個(gè)正解。

定理 3.3 假設(shè)（A1）-（A3）成立，且滿足定理 3.4 假設(shè)（A1）-（A3）成立，且滿足

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EXISTENCE OF POSITIVE SOLUTIONS FOR SECOND ORDER NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS

WANG Hui-minJIANG Wei
（Department of Mathematics,Anhui University,HefeiAnhui 230039）

We study second order nonlinear singular impulsive boundary value problem using the cone on the fixed point theorem in Banach.And obtained sufficient conditions for existence of positive solutions,and promote some of the results of the literature

Impulse equation；Positheive solution；Delay；Cone

O175.1

A

1672－2868（2010）06－0001－05

2010－08-15

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（10771001），教育部博士學(xué)科專項(xiàng)科研基金項(xiàng)目（20093401110001），安徽省自然科學(xué)研究重大項(xiàng)目（KJ2010ZD02）資助.

汪會民（1986-），男，安慶人。安徽大學(xué)在讀研究生。研究方向：泛函微分方程。

責(zé)任編輯：陳 侃