錢華峰 王其申

（安慶師范學院數(shù)學與計算科學學院，安徽 安慶 246011）

LRC電路系統(tǒng)的對稱性與守恒量

錢華峰 王其申

（安慶師范學院數(shù)學與計算科學學院，安徽 安慶 246011）

Lagrange力學在類力學系統(tǒng)中有著重要的應用，利用Lagrange方程，可用來處理一些類力學系統(tǒng)的問題。本文運用Lagrange方程處理LRC電路系統(tǒng)，通過引入群的無限小變換，可以獲得該類力學系統(tǒng)的對稱性和守恒量。

類力學系統(tǒng)；LRC電路；對稱性；守恒量

Lagrange力學是分析力學的重要組成部分，但在很多非力學和非物理領(lǐng)域有著重要的應用，Lagrange方程的優(yōu)點之一，可用來處理一些類力學系統(tǒng)的問題。本文運用Lagrange方程來處理由電感L，電阻R，電容C和電動勢E所組成的電路系統(tǒng)的問題。在LRC電路系統(tǒng)中，通過引入群的無限小變換，可以獲得該類類力學系統(tǒng)的對稱性和守恒量。

1 預備知識

我們首先分析最簡單的LRC串聯(lián)電路，如圖1所示

圖1

這是一個最基本的振蕩電路，如果電源是電動勢E=E0ejωt的穩(wěn)態(tài)振蕩，則由電路中各元件的物理性質(zhì)和歐姆定律，電路中的電流所滿足的方程是

這一方程與圖2所示的力學振動系統(tǒng)的振動微分方程

有著完全相同的形式。

圖2

比較以上兩式，可以看到存在以下類比關(guān)系：

機械振動 質(zhì)點位移（x） 質(zhì)量（m） 彈簧常數(shù)（K） 阻尼系數(shù)（γ） 強迫力（F）電磁振蕩 電容帶電量（q） 自感系數(shù)（L） 電容量的倒數(shù)（C-1） 電阻（R） 電動勢（E）

根據(jù)這一對應關(guān)系，進一步可以指出兩個系統(tǒng)之間存在如下的能量之間的對應關(guān)系：

動能 勢能 耗散能 補充能源機械振動 1 2mx˙2 1 2kx2 1 2 γx˙ 2 F電磁振蕩 1 2Lq˙2 1 2cq2 1 2Lq˙2 E

此表說明：LRC電路中磁場能量相應于動能，電場能量相應于勢能，電阻耗損的能量相應于阻尼力所耗損的能量。

2 LRC電路系統(tǒng)的Lagrange方程

假設(shè)LRC電路系統(tǒng)由m個回路組成，每個回路由導線和電容，電感組成。用ik（k=1，2，…m）表示第k個回路中的電流，qk表示電容器中的電荷，它與電流之間的關(guān)系為q˙k=ik，Rk和Ck，Lk分別表示為第k個回路中的電阻和電容，電感。系統(tǒng)受理想，完整的約束，取qk為廣義坐標，LRC電路系統(tǒng)如圖3所示：

圖3

系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為：

系統(tǒng)的能量耗散函數(shù)為：

則系統(tǒng)的Lagrange方程為：

T，V分別為系統(tǒng)的動能和勢能

假設(shè)方程（4）非奇異，由（4）可解得：

3 LRC電路系統(tǒng)的Noether對稱性與守恒量

引進群的無限小變換：

其中ε為無限小參數(shù)，ξ0，ξk為無限小變換的生成元或生成函數(shù)。取無限小生成元向量

式中右式為第二項對重復指標從1到m求和（下同）。其一次擴展為

以及二次擴展為

若LRC電路系統(tǒng)在變換（5）下，使Noether等式成立

其中 GN=GN（t，q，q˙）稱為規(guī)范函數(shù)，則系統(tǒng)具有 Noether對稱性，并存在 Noether守恒量

證明：

將（8）式中的 代入得：

將（4）代入上式得：

4 LRC電路系統(tǒng)的Lie對稱性與守恒量

方程（2）在無限小變換（5）下，Lie對稱性確定方程為：

利用（6），（7），（8）式得到

此方程為關(guān)于無限小生成元ξ0，ξk相對于LRC電路系統(tǒng)的確定方程。

對于滿足方程（9）的 ξ0， ξk如果存在滿足

的函數(shù) GN=GN（t，q，q˙），則存在對應于 Lie 對稱性的守恒量

證明見（3）中的證明。

5 LRC電路系統(tǒng)的Mei對稱性與守恒量

假設(shè)在無限小變換（5）下，取無限小生成元向量

X（1）是無限小生成元向量X（0）的一次擴展，有

對LRC電路系統(tǒng)，生成元滿足如下方程

則相應的對稱性為LRC電路系統(tǒng)的Mei對稱性。

如果無限小變換（5）是系統(tǒng)的 Mei對稱性變換，且存在規(guī)范函數(shù) GN=GN（t，q，q˙），滿足方程：

6 總結(jié)

本文中研究結(jié)果表明：群的無限小變換，在LRC電路系統(tǒng)同樣具有Noether對稱性，Lie對稱性，Mei對稱性，當其生成元ξ0，ξk滿足一定的確定方程時，便可獲得相對應的守恒量，從而可以開辟應用Lagrange力學來研究這些領(lǐng)域的新途徑。

[1]趙躍宇，梅風翔.力學系統(tǒng)的對稱性與守恒量[M].北京：科學出版社，1999.

[2]傅景禮，陳向煒，羅紹凱.Lagrange-Maxwell系統(tǒng)的 Lie對稱性與守恒量[J].固體力學學報，2000，21（2）：157～160.

[3]張毅，葛偉寬.相對論性力學系統(tǒng)的 Mei對稱性導致的新守恒律[J].物理學報，2005，54（04）：1464～1467.

[4]梅風翔，劉瑞，羅勇.高等分析力學[M].北京：科學出版社，1999.

[5]王其申.經(jīng)典力學[M].合肥：中國科學技術(shù)大學出版社，2005.

SYMMETRIES AND CONSERVED QUANTITIES OF THE LRC CIRCUIT SYSTEM

Qian Hua-feng Wang Qi-shen
（School of Mathematics and Computation Science of Anqing Teacher College，Anqing Anhui 246011）

The important applications are obtained for the Lagrange mechanics in the class-mechanical system.Taken use of the Lagrange equation，we can deal with some the class-mechanical system questions.Used the Lagrange equation under the group infinitesimal transformations，the symmetries and conserved quantities of the LRC circuit system are obtained.

the class-mechanical system； LRC circuit； symmetry； conserved quantities

O302

A

1672－2868（2010）06－0057－05

2010－09-05

錢華峰（1973-），男，安徽桐城人。安慶師范學院數(shù)學與計算科學學院研究生。

責任編輯：宏 彬