楊 艷
(襄樊學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,湖北 襄樊 441053)
p-群與Abel群的判定
楊 艷
(襄樊學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,湖北 襄樊 441053)
p-群是有限群中非常重要的一類群,這一點(diǎn)在sylow定理中就得以體現(xiàn),而pn階群總是冪零的,因此對(duì)pn階群和交換群的關(guān)系可以從兩個(gè)方面考慮:1)pn階的群在什么情況下是交換的,并找出相應(yīng)的類型,2)通過(guò)研究群G的sylow子群以判斷群G的交換性.
sylow子群;冪零群;p-群;Abel群
群論中,依照群的交換性對(duì)群進(jìn)行分類是很自然也很重要的問(wèn)題,因此可以把群分為Abel群和非Abel群. 而Abel群的理論作為群論的一個(gè)分支本身也具有相當(dāng)豐富的內(nèi)容,就像Laszlo Fuchs說(shuō)過(guò)的,群論中很少有性質(zhì)能夠像交換性這樣具有深遠(yuǎn)的影響. 事實(shí)上,群論中非常重要的一些概念,如可解、冪零等都是由交換性衍生而來(lái)的[1-3].
國(guó)內(nèi)外對(duì)于Abel群的研究一直沒(méi)有停止過(guò),這其中包括對(duì)交換性的判定、Abel群的自同構(gòu)、自由群、有限p-群、可解群、冪零群等諸多問(wèn)題. Hall. P、Higman. G、Kulikov. L. Ya、Robison. D. J. S等人對(duì)這些問(wèn)題就進(jìn)行過(guò)深入的研究,并取得了很好的結(jié)果[4-5].
給出一個(gè)群G,判斷它是否為Abel群甚至是循環(huán)群、有限生成Abel群等是很基礎(chǔ)也是很重要的理論.對(duì)于不同形式的群,因?yàn)樗哂械男再|(zhì)的獨(dú)特性,通常會(huì)找出一些相對(duì)應(yīng)的特別的方法. 同時(shí),也可以從不同的角度對(duì)其進(jìn)行判斷,比如它的一些特殊子群、有限群的階、它的自同構(gòu)群的結(jié)構(gòu)等. 這部分內(nèi)容在Abel群理論中是很豐富的.
引理1 非平凡的有限p-群的中心是非平凡的.
定理1 有限p-群是冪零的.
證明:令G是一個(gè)有限p-群,且|G|>1,則由引理1可知Z(G)>1, 因此我們可以對(duì)群的階作歸納,即知G/Z(G)是冪零的.
然后做一個(gè)自然同態(tài),
這樣可以找到一個(gè)G的一個(gè)中心列:
定理2 若|G|=p2,則G是Abel群,其中p是素?cái)?shù).
證明:由引理1可知|Z(G)|=p或p2,因此|G/Z(G)|=p或1,即G/Z(G)是循環(huán)群,設(shè)G/Z(G)=gZ(G),由此G=g,Z(G),即G是Abel的.
但當(dāng)|G|=pn,n≥3時(shí),此定理不一定成立.
例:對(duì)稱群D8={T,T2,T3,T4,ST,ST2,ST3,ST4},其中T4=1,S2=1,ST=T?1S,顯然|D8|=23,但不是交換群.
接下來(lái)重點(diǎn)考察p3階群的情形.
若群G的階為p3且G為交換群,則G一定與以下群同構(gòu)
1) G?Zp3,此時(shí)G為循環(huán)群;
2) G?Zp2⊕Zp;
3) G?Zp⊕Zp⊕Zp
定理3 若群G的階為p3且G為非交換群,則G一定與以下群同構(gòu):
1) 當(dāng)p=2時(shí)
證明:任取G的正規(guī)子群N,則因?yàn)閨G/N|≤p2,G/N為交換群,得
再注意到G中必?zé)op3階元素,可以分下面兩種情形.
設(shè)G中有p2階元素a,這時(shí)a是G的極大子群,即aG,因?yàn)閍p是a的特征子群,所以apG,由前面的分析知G'=ap
1111取i滿足ik≡1(mod p),令b=b1i,則有
于是G有關(guān)系
b1的階不為p. 因?yàn)閎1p∈a,可令b1p=akp,如果p≠2,則由
這時(shí)以b代b1,得G有如下關(guān)系式
G中無(wú)p2階元素.
若p=2,由G的指數(shù)為2可知G一定是交換群.
令c=[a,b],這時(shí)有
引理2 設(shè)G為有限群,A為G的極大交換子群,則A=CG(A).
證明:若CG(A)>A,取x∈CG(A),令B=x,A,則B交換且B>A,,矛盾于A的選取,故A=CG(A).
引理3 G為冪零群,若H 定理4 設(shè)G冪零,則G交換當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每個(gè)sylow子群的極大子群A有CG(A)=NG(A) 證明:必要性顯然成立,下面證明充分性. 設(shè)P為G的任一sylow子群,A為P的極大子群.則由CG(A)=NG(A),可知A交換. 若P不交換,則A為P的極大交換子群,由引理2,A=CP(A)=NP(A). 再由引理3,知P=A,矛盾,故P交換,又G冪零,由P的任意性,G交換. [1] ROSE JOHN S. A Course on Group Theory[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1978. [2] DEREK J S ROBINSON, GEHRING F W, AXLER SHELDON. A Course in the Theory of Groups[M]. New York: Springer, 1995. [3] WARFIELD R B. Nilpotent Groups[M]. Berlin: Springer, 1976. [4] LASZLO FUCHS. .Abelian groups in Hungary [J]. Rocky Mountain J. Math., 2002, 32(4):1181-1195. [5] CURRAN M J. The automorphism group of a non split metacyclic p-group[J]. Arch. Math. (Basel), 2008, 90(6): 483–489. Judgment of p-Group and Abel Group YANG Yan p-subgroup of a finite group is a very important group which can be seen in Sylow theorem . And we know that p-group is nilpotent, so the relation of p-group and Abel group can be considered from two aspects. One is when p-group is abelian. The other is to judge the group is abelian or not through the study of sylow-subgroup of a group. Sylow subgroup; Nilpotent group; p-group; Abel group O157 A 1009-2854(2010)11-0017-03 (責(zé)任編輯:饒 超) 2010-10-27 應(yīng)用數(shù)學(xué)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金資助 楊 艷(1981— ), 女, 湖北襄樊人, 襄樊學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院講師.
(School of Mathematical and Computer Sciences, Xiangfan University, Xiangfan 441053, China)