阿不都克熱木阿吉白麗克孜玉努斯

1.新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院; 2.新疆大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院

在三個(gè)狀態(tài)下兩個(gè)相同部件并聯(lián)的可修系統(tǒng)解的穩(wěn)定性分析

阿不都克熱木1阿吉1白麗克孜2玉努斯2

1.新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院; 2.新疆大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院

本文用C0-半群理論和正算子理論證明三個(gè)狀態(tài)下兩個(gè)相同部件并聯(lián)的可修系統(tǒng)時(shí)間依賴解是強(qiáng)漸近穩(wěn)定的.

C0 -半群; Dirichlet 算子; 譜; 豫解集

1，引言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，電子產(chǎn)品以及信息網(wǎng)絡(luò)的廣泛應(yīng)用，系統(tǒng)的可靠性、穩(wěn)定性分析變得 越來(lái)越重要.三個(gè)狀態(tài)下兩個(gè)相同部件并聯(lián)的可修系統(tǒng)在通訊、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域中有廣泛 的應(yīng)用， 所以研究該系統(tǒng)的適定性和穩(wěn)定性分析不但從理論還是從實(shí)際都具有重要意義.在三個(gè)狀態(tài)下由兩個(gè)相同部件組成的并聯(lián)可修系統(tǒng)由以下方程組描述

其中p0(t)表示在時(shí)刻t兩個(gè)部件完好的概率； p1(x，t)表示在時(shí)刻t一個(gè)部件完好另一個(gè)部件故障并且故障的部件在(x，x+dx]內(nèi)被修好的概率；λ表示部件的平均壽命； μ(x)表示部件的修復(fù)率， 滿足

k表示正比失效率: k=1時(shí)表示并聯(lián)；0＜k＜1時(shí)表示熱備；k =0時(shí)表示冷備.當(dāng)兩個(gè)部件都完好時(shí)，一個(gè)部件工作， 一個(gè)部件儲(chǔ)備， 儲(chǔ)備的部件的失效率為k λ.在文獻(xiàn)[1]中作者在以下的條件下

用Laplace變換研究了此模型.他給出了解的Laplace 變換公式，即得到了解的存在性.在文獻(xiàn)[2]中作者用C0-半群理論證明了該模型的非負(fù)解的存在唯一性.在文獻(xiàn)[3]中當(dāng)系統(tǒng)冷備及修復(fù)率函數(shù)μ(x)為常數(shù)μ時(shí)通過研究相應(yīng)算子的譜特征得到了該系統(tǒng)的解 p(x， t)的強(qiáng)漸近穩(wěn)定性。在文獻(xiàn)[4]中作者當(dāng)修復(fù)率函數(shù)μ(x)滿足0＜μ≤μ()≤μ＜∞時(shí)通過直接估計(jì)冷備狀態(tài)下系統(tǒng)的主算子的預(yù)解式得到了該系統(tǒng)的時(shí)間依賴解的強(qiáng)漸近穩(wěn)定性.在文獻(xiàn)[5]作者中當(dāng)修復(fù)率函數(shù) μ() 滿足0＜μ≤μ()≤μ＜∞時(shí)， 證明了冷備狀態(tài)下系統(tǒng)的間依賴解的是指數(shù)穩(wěn)定的.到這里， 我們自然回提出這樣一個(gè)問題: 對(duì)修復(fù)率函數(shù)μ(x) ， 在熱備與并聯(lián)狀態(tài)下系統(tǒng)的該系統(tǒng)的時(shí)間依賴解是否強(qiáng)漸近穩(wěn)定性的？這是一個(gè)沒有解決的問題。要證明， 采取估計(jì)預(yù)解式的方法是不行的， 即估計(jì)預(yù)解式是非常困難的事情.為了克服這個(gè)困難， 避免過于繁瑣的計(jì)算， 在本文中，我們將利用主算子的特征方程的技巧，當(dāng)修復(fù)率函數(shù)μ(x)為有界可測(cè)函數(shù)且系統(tǒng)在冷備、熱備與并聯(lián)狀態(tài)下時(shí)證明該模型的時(shí)間依賴解是強(qiáng)漸近穩(wěn)定的，即該模型的時(shí)間依賴解按范數(shù)意義下趨向于0。由此看出， 文獻(xiàn)[3]與文獻(xiàn)[4]的結(jié)果是本文結(jié)果的特殊情況。取

為狀態(tài)空間.顯然X是一個(gè)Banach空間.為簡(jiǎn)單起見， 以下引入算子及其定義域。

其中， ψ是如下的線性泛函:

D是在空間W1，1[0，∞)上的如下算子:

定義算子 (A， D(A)) 如下:

則以上方程(1)～(4) 可以寫為Banach空間 X 中的抽象常微分方程:

在文獻(xiàn)[2]中作者得到了以下結(jié)果:

定理1算子(A，D(A)) 生成正壓縮C0-半群 (T(t))t≥0.

2 主要結(jié)果

在這一段中我們首先研究算子 A 的譜特征， 然后研究系統(tǒng)時(shí)間依賴解 p(x， t) 的漸近穩(wěn)定性.如果我們定義算子 (A0，D(A0 )) 如下:

那么根據(jù)[4，Lemma1.2]， 對(duì)任意γ∈ρ(A0)， 有

經(jīng)過簡(jiǎn)單計(jì)算可以表示 ker(γ-Am ) 中的元素如下:

由于 L是滿射，對(duì)每個(gè)

是可逆的(見[6，Lemma1.2])。我們把它的逆記為

并且稱D γ為Dirichlet算子.

下面的是D γ的具體表達(dá)式:

引理1對(duì)每個(gè)γ∈ρ(A0)， 有

如下用算子 D γ和 Φ 來(lái)表示相應(yīng)算子 A 的特征.為此，我們就象在文獻(xiàn)[7，Sect.3]中的方法給出如下定義:

引理2 設(shè)γ∈ρ(A0)，若存在γ0∈C，使得

證明 就象在文獻(xiàn)[7， Prop.3.3]方法一樣， 我們首先證明

因?yàn)槲覀冇?/p>

所以由此可知， γ∈A 可逆當(dāng)且僅當(dāng) I∈BR(γ， A0 ) 可逆.由于

由此可知， I-BR(γ，A0)可逆等價(jià)于1∈/σ(ΦD γ)， 因此，(8)成立.由假設(shè)1∈/σ(ΦDγ0)可推出γ0∈ρ(A)， 即ρ(A)=從而由[8， Prop.IV.2.17]得到σ(A)=σ(A)，

由于A是A在X0的限制.這表明(7) 成立.

證明 注意到

并且設(shè)γ∈iR，γ=ai.對(duì)0≤k≤1， 我們可以估計(jì)ΦDγ的范數(shù)如下:

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10.3969/j.issn.1001-8972.2010.11.014

新疆大學(xué)博士基金項(xiàng)目(No.BS080108)資助