劉 艷,蘇東奇,楊懷江,隋永新

(1.中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所,應(yīng)用光學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,吉林長(zhǎng)春 130033;2.中國(guó)科學(xué)院研究生院,北京 100049)

1 引 言

移相干涉術(shù)[1](Phase Shifting Interferometry,PSI)是 1974年由 Bruning等人提出的[2],他將該技術(shù)用于檢驗(yàn)光學(xué)表面和透鏡質(zhì)量,開(kāi)啟了 PSI應(yīng)用于光學(xué)測(cè)量領(lǐng)域的時(shí)代。

PSI作為一種精密測(cè)量手段,其測(cè)量精度通常受到干涉檢驗(yàn)過(guò)程中各種誤差源[3,4]的影響,包括移相器 (如 PZT)的標(biāo)定誤差、探測(cè)器的非線性誤差和量化誤差、光源的不穩(wěn)定性、機(jī)械振動(dòng)和空氣擾動(dòng)等等。因此,為了保證高精度的測(cè)量結(jié)果,提高測(cè)量精度的重復(fù)性,需要對(duì)這些誤差源進(jìn)行分析和校正。在這些誤差源中,機(jī)械振動(dòng)是影響最大的誤差源,是限制 PSI技術(shù)精度的關(guān)鍵因素。干涉測(cè)量中,減小振動(dòng)影響的預(yù)防措施一般有使用主動(dòng)或者被動(dòng)隔振裝置;在設(shè)計(jì)過(guò)程中注意隔振的設(shè)計(jì)要求;對(duì)放置干涉儀的試驗(yàn)臺(tái)做隔振設(shè)計(jì)等。另外,把干涉儀放置在安靜的遠(yuǎn)離振源的環(huán)境中也是非常重要的。

移相過(guò)程中移相值的不穩(wěn)定性通常來(lái)源于小幅度的振動(dòng),可以使用類似處理移相誤差的分析方法進(jìn)行分析處理。本文主要針對(duì)移相過(guò)程中的小幅度機(jī)械振動(dòng)進(jìn)行了模擬分析,并把模擬結(jié)果與現(xiàn)有文獻(xiàn)報(bào)道結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。

2 移相干涉儀工作原理

移相干涉技術(shù)的原理是在干涉儀的參考光束和被檢光束的相位差之間引入等間隔位移,當(dāng)參考光程 (或相位)變化時(shí),干涉條紋的位置也做相應(yīng)的移動(dòng),移相方式有有步進(jìn)式 (Stepping)和掃描式 (Scanning)兩種。步進(jìn)式是指壓電傳感器(Piezoelectric Transducer,PZT)推動(dòng)參考鏡步進(jìn)一定的位相值并且系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)之后,CCD采集此時(shí)對(duì)應(yīng)的干涉圖;掃描式是指 PZT推動(dòng)參考鏡以一定的速率勻速前進(jìn),在前進(jìn)的過(guò)程中,CCD以特定的時(shí)間間隔對(duì)干涉圖進(jìn)行采樣。在積分時(shí)間為零的情況下,步進(jìn)式可以看作掃描式的特殊情況[1]。

圖1 移相 Fizeau干涉儀工作原理Fig.1 Schematic diagram of phase shifting Fizeau interferometer

圖1所示為移相 Fizeau干涉儀檢測(cè)平板的工作原理示意圖。由光源 (一般采用波長(zhǎng)為 632.8 nm的穩(wěn)頻 He-Ne激光器作為光源)輸出的單頻激光被會(huì)聚透鏡會(huì)聚在小孔處 (起到空間濾波的作用),經(jīng)小孔濾波,到達(dá)準(zhǔn)直鏡,經(jīng)準(zhǔn)直之后,會(huì)聚光變?yōu)槠叫泄?。從?zhǔn)直鏡出射的平行光,經(jīng)過(guò)分束鏡分光,分光后的光束,經(jīng)過(guò)參考鏡的透射面,到達(dá)參考鏡的參考面,參考面上鍍有金屬膜,使一部分光到達(dá)帶有楔度的參考鏡的參考面后被反射回來(lái)作為參考光,另一部分光穿過(guò)參考面后到達(dá)樣品待測(cè)表面再反射回來(lái)作為待測(cè)光。參考光和待測(cè)光再通過(guò)分束鏡反射到達(dá)成像透鏡,發(fā)生干涉,就會(huì)在 CCD處觀察到等厚干涉條紋。計(jì)算機(jī)輸出移相指令給 PZT驅(qū)動(dòng)干涉儀的參考鏡產(chǎn)生等間隔的位移從而引入相位調(diào)制,用 CCD對(duì)經(jīng)調(diào)制的干涉圖進(jìn)行采樣,將 CCD所接收的視頻圖像信號(hào)數(shù)字化后送入計(jì)算機(jī),通過(guò)對(duì)數(shù)字移相干涉圖的分析處理,即得到被測(cè)波面的相位分布[2]。這種數(shù)字波面移相干涉技術(shù)能得到很高的相位分辨率和空間分辨率。采用多幅干涉圖采樣,克服了單幅干涉圖處理精度低的缺點(diǎn),可以在一定程度上抑制噪聲的影響。尤其對(duì)于隨機(jī)噪聲,對(duì)多幅干涉圖進(jìn)行平均運(yùn)算,可以明顯減少隨機(jī)噪聲造成的誤差,具有噪聲抑制能力強(qiáng)、實(shí)時(shí)、快捷、精度高等優(yōu)點(diǎn),從而獲得更加真實(shí)的所測(cè)元件表面的相位分布信息。

3 建立振動(dòng)誤差模型[6]

以共光路 Fizeau干涉儀為例,一般通過(guò) PZT精密控制干涉儀參考鏡面的機(jī)械移動(dòng)來(lái)產(chǎn)生等間隔位移,基于雙光束干涉原理,有下面的表達(dá)式:

其中,j是移相的步數(shù),Ij(θ)為移相過(guò)程中探測(cè)到的光強(qiáng),I0為背景光強(qiáng),γ為對(duì)比度,θ為參考光束和被檢光束的相位差,即所需要求解的位相,φj為移相值。這些參數(shù)都是空間位置 (x,y)的函數(shù)。

假設(shè)干涉檢測(cè)的過(guò)程中,存在如下所述的振動(dòng)形式:

其中,A為振動(dòng)的振幅,ν為振動(dòng)頻率,φv為振動(dòng)的初始位相值。

那么振動(dòng)引進(jìn)誤差的影響,等價(jià)于 PSI移相值 φj的不確定性,就是式 (1)中位相的位置加入振動(dòng)n(t)。

對(duì)于七步算法:

其中,ν0為采樣頻率,π/2為每步移相值,j=0,…,6。

可以得到:

則:

令νn=ν/ν0為振動(dòng)頻率與采樣頻率的比值,對(duì)于一般算法設(shè)其移相值為α,則對(duì)于一般情況式(5)變?yōu)?

把振動(dòng)式 (6)帶入式 (1)后,得到:

然后計(jì)算某一個(gè)振幅下不同的頻率νn對(duì)均方根 (Root-mean-square)的影響,得出此算法情況下νn與均方根的關(guān)系。具體計(jì)算每個(gè)頻率的影響是對(duì)一個(gè)周期內(nèi)的φv求平均值,即去掉振動(dòng)位相的影響。

為減小振動(dòng)的影響,采用積分的辦法,即對(duì)每次移相前后α/2范圍的光強(qiáng)值進(jìn)行積分:

由 PSI求解相位的典型形式為:

本文中,Wyant84b三步算法T3(簡(jiǎn)稱三步算法)[5],Hariharan87五步算法T5(簡(jiǎn)稱五步算法),七步算法T7和十三步算法T13分別為:

4 算法對(duì)振動(dòng)的免疫能力對(duì)比

在本文誤差模型的基礎(chǔ)上,沒(méi)有加入任何誤差因素時(shí)算法的對(duì)比如圖2所示,可以清晰地看到這 4種算法中,十三步算法的精度最高,具有最小的相位差。這里的相位差 (Phase Error)是指數(shù)值模擬中給定的相位值 (Real Phase)與由該算法計(jì)算得到的相位之差。下面分析移相算法對(duì)具有不同振幅和頻率的振動(dòng)的抑制能力。

圖2 沒(méi)有引入誤差因素時(shí),4種算法對(duì)比Fig.2 Comparison of 4 algorithms in condition without errors

4.1 振動(dòng)頻率固定,算法抑制能力與振動(dòng)振幅的關(guān)系

在振動(dòng)頻率等于采樣頻率,即νn=1時(shí),得到了相位差與振動(dòng)振幅的關(guān)系,如圖3所示?？梢钥闯?振幅越大,算法對(duì)振動(dòng)的抑制能力降低。十三步算法在各振動(dòng)振幅下都具有優(yōu)于其它 3種算法的抑制能力,五步算法和七步算法的抑制能力略低于十三步算法,三步算法在振幅較小的情況下也具有較好的抑制能力。除此之外,移相算法的步數(shù)越多,計(jì)算時(shí)間越長(zhǎng),計(jì)算過(guò)程也越復(fù)雜,所以在振幅較小的檢驗(yàn)環(huán)境中,同時(shí)對(duì)干涉檢驗(yàn)精度沒(méi)有特殊要求時(shí),可以考慮使用移相步數(shù)少的算法以便減少數(shù)據(jù)處理時(shí)間。

圖3 振動(dòng)頻率等于采樣頻率,相位差 RMS值隨振幅的變化Fig.3 RMS phase error varies with vibration amplitude when vibration frequency equals sampling frequency

圖4給出了振動(dòng)振幅分別為 0.02、0.1和 0.2 fringes時(shí),相位差與真實(shí)相位值的關(guān)系,其中 fringes指干涉條紋,一個(gè) fringe等于 2π弧度的相位。對(duì)圖4分析可知,十三步算法在抑制振動(dòng)方面具有明顯的優(yōu)勢(shì),與圖3體現(xiàn)的各算法對(duì)振動(dòng)的抑制能力強(qiáng)弱趨勢(shì)相一致。

圖4 存在振動(dòng)時(shí),4種算法對(duì)應(yīng)的相位差與真實(shí)相位值的關(guān)系Fig.4 Relation between real phases and phase errors of 4 algorithms as vibration exists

4.2 振動(dòng)振幅固定時(shí),算法抑制能力與振動(dòng)頻率的關(guān)系

由圖5和圖6可以看出,在振幅一定的情況下,4種移相算法中十三步算法對(duì)振動(dòng)的抑制能力最強(qiáng),其余依次為七步算法、五步算法和三步算法。

圖5 振幅為 0.02 fringes,振動(dòng)頻率與相位差 RMS的關(guān)系Fig.5 RMS phase error varies with vibration frequency in vibration amplitude of 0.2 fringe

圖6 振幅為 0.1 fringes,振動(dòng)頻率與相位差 RMS的關(guān)系Fig.6 RMS phase error varies with vibration frequency in vibration amplitude of 0.2 fringe

綜上所述,對(duì)于具有一定振幅和振動(dòng)頻率的振動(dòng)來(lái)說(shuō),本文提到的 4種算法中十三步算法具有最好的振動(dòng)抑制能力。除振動(dòng)之外,十三步算法在抑制移相誤差等方面也很強(qiáng)大,所以十三步算法經(jīng)常在實(shí)際的干涉信息處理軟件中被采用。著名的美國(guó)干涉儀生產(chǎn)商 Zygo公司的計(jì)算機(jī)軟件中多采用十三步算法。

圖7 三步算法模擬與文獻(xiàn)對(duì)比:振幅確定時(shí) RMS隨頻率的變化Fig.7 Comparison be tween the results of three-step algorithm and references:RMS varies with frequencywhen amplitude is determined

5 與文獻(xiàn)報(bào)道對(duì)比

首先,以三步算法、五步算法、七步算法 (移相值π/2)為例,分別討論振動(dòng)幅度為 1/50,1/10,1/5 fringes時(shí),振動(dòng)頻率與 RMS的關(guān)系。與參考文獻(xiàn) [6]的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,如圖7、圖8、圖9所示。為便于分析對(duì)比,對(duì)每一種算法分別進(jìn)行了計(jì)算。

圖8 五步算法模擬與文獻(xiàn)對(duì)比:振幅確定,RMS隨頻率的變化Fig.8 Comparison between the results of five-step algorithm and literature:RMS varies with frequency when amplitude is determined

由圖6可以看出,三步算法對(duì)振幅在 1/10 fringes以下的振動(dòng)免疫力較好,對(duì)于更大振幅的振動(dòng)其抑制能力大大減小,但是從下面的模擬圖中仍然可以明確,不同的算法對(duì)振動(dòng)的敏感程度與振動(dòng)頻率密切相關(guān),在某些相同的歸一化頻率處這些算法對(duì)振動(dòng)的抑制或最強(qiáng) (如圖中歸一化頻率 4,8,12)或最弱 (如圖中歸一化頻率 2,6,10)。從圖7和圖8的對(duì)比可以看出,五步算法比三步算法對(duì)振動(dòng)的抑制能力強(qiáng)。對(duì)比圖7、圖8、圖9可以看出,對(duì)于振動(dòng)的抑制能力,七步算法優(yōu)于三步算法和五步算法。七步算法對(duì)移相器標(biāo)定誤差和移相非線性誤差也具有很高的免疫能力。

圖9 七步算法模擬與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比:振幅確定,RMS隨頻率的變化Fig.9 Comparison be tween the resultsof seven-step algorithm and literatures:RMS varies with frequencywhen amplitude is determined

從圖7、圖8、圖9的模擬結(jié)果與參考文獻(xiàn)對(duì)比結(jié)果看出兩者吻合的較好,所以本文的模擬在預(yù)測(cè)算法對(duì)振動(dòng)的抑制能力方面具有一定的可信度,能夠起到初步評(píng)價(jià)算法的作用。

6 結(jié) 論

在干涉檢驗(yàn)過(guò)程中,振動(dòng)對(duì)檢驗(yàn)精度的影響最大,一般采用主動(dòng)隔振平臺(tái)來(lái)隔離或減弱振動(dòng)的影響。在高精度干涉檢驗(yàn)中,對(duì)抑制振動(dòng)的需求就更高了,尤其對(duì)于低頻振動(dòng),隔振平臺(tái)的隔振作用已不明顯,需要用算法對(duì)振動(dòng)進(jìn)行專門(mén)處理。本文主要對(duì) Wyant84b三步、Hariharan87五步、七步算法 (移相步距π/2)和十三步算法 (移相步距π/4)等 4種不同移相算法對(duì)振動(dòng)的免疫能力進(jìn)行了對(duì)比分析。分析結(jié)果表明,十三步算法對(duì)振動(dòng)的免疫能力最強(qiáng);振動(dòng)振幅的大小是影響算法抑制能力的關(guān)鍵,振幅較小的時(shí)候,移相算法對(duì)振動(dòng)具有較好的抑制能力。本文的模擬能夠合理預(yù)測(cè)不同移相算法對(duì)振動(dòng)誤差的抑制能力,并且在一定程度上能夠起到評(píng)價(jià)和篩選移相算法的作用。

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