嚴(yán) 彬

(仰恩大學(xué)數(shù)學(xué)系,福建 泉州 650093)

用一題多解提高學(xué)生的分析能力＊

嚴(yán) 彬

(仰恩大學(xué)數(shù)學(xué)系,福建 泉州 650093)

一題多解在極限的計(jì)算過程中的作用為:加深學(xué)生對(duì)基本概念、定理的理解和掌握,開拓學(xué)生的解題思路,打破思維定勢(shì),提高學(xué)生分析能力.

極限;洛必達(dá)法則;一題多解

極限是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念,是其他概念定義的基石,如何求極限是極限教學(xué)中的重點(diǎn),對(duì)于函數(shù)求極限的方法有多種,學(xué)生往往較難掌握.在教學(xué)過程中應(yīng)該針對(duì)一些典型例題講深講透.通過一題多解的例子,不僅做到開闊了學(xué)生的解題思路,訓(xùn)練了學(xué)生多向思維的能力,還增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的趣味性.

請(qǐng)看下面的例題:

例 1求極限

解法二:利用等價(jià)無窮小量代換

∵當(dāng) x→0時(shí),ex-1等價(jià)于 x.

∴ex-tanx-1等價(jià)于 x-tanx(x-tanx→0).

解法三:利用拉格朗日中值定理[2]

設(shè) f(x)=ex,則由拉格朗日中值定理有:?ξ∈ (x,tanx),使得

比較可知,解法一比較繁瑣,解法二學(xué)生比較容易想到且做法較為簡(jiǎn)單,解法三比較巧妙但學(xué)生一般難于想到.

例 2求極限

解法一:先求和,再運(yùn)用洛必達(dá)法則:

解法二:利用定積分定義,只要所求極限為和式結(jié)構(gòu):某段區(qū)間上 n等分的小區(qū)間上任意一點(diǎn)的函數(shù)值與小區(qū)間長(zhǎng)度的乘積之和,可轉(zhuǎn)化為定積分求解.

顯然第一種解法很簡(jiǎn)便,而通過第二種解法,對(duì)定積分概念有了更深刻的理解,讓學(xué)生通過知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系達(dá)到觸類旁通,提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

一個(gè)習(xí)題用多種方法解決,使學(xué)生盡可能周全地從各個(gè)方面來考慮和思考同一個(gè)問題.課本對(duì)計(jì)算極限提供了多種計(jì)算方法,例如:利用極限定義;極限的一些基本性質(zhì);函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系;利用等價(jià)無窮小量代換;極限的運(yùn)算法則;極限的復(fù)合運(yùn)算法則;函數(shù)的連續(xù)性;夾逼準(zhǔn)則;導(dǎo)數(shù)定義;洛必達(dá)法則;利用拉格朗日中值定理;一些已知極限等等.一題多解的可能性來源于能直接或間接的利用上述多種工具的條件.

當(dāng)然不是每道題都有多種解法,一題多解是手段不是目的.應(yīng)注意到有些題目不滿足應(yīng)用上述某種工具的條件,如:

例3

錯(cuò)解:直接利用等價(jià)無窮小量代換

正確解法:

不能用等價(jià)無窮小量代換的原因是:等價(jià)無窮小量代換只能用于乘除運(yùn)算,對(duì)加、減項(xiàng)的無窮小量不能隨意代換.

例4

錯(cuò)解:符合洛必達(dá)法則的應(yīng)用條件

仍是不等式,再應(yīng)用洛必達(dá)法則則又恢復(fù)到原來的比式,無法得到最終結(jié)果.

正確解法:無窮小因子分出法

學(xué)生學(xué)完洛必達(dá)法則后往往認(rèn)為符合條件的求極限問題都能用洛必達(dá)法則求解,通過這道例題,可以打破固定的思維模式,有助于學(xué)生加強(qiáng)對(duì)洛必達(dá)法則的理解和掌握,提高應(yīng)用能力.

求極限時(shí)往往要將高等數(shù)學(xué)中的一些概念和各種求極限的方法融合在內(nèi),而通過一題多解的例子,讓學(xué)生在學(xué)習(xí)并應(yīng)用方法求極限的同時(shí),又將以前所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行回顧,并讓學(xué)生能熟記重要公式.在解題時(shí)應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生“一題多解”的思維方式,開拓學(xué)生的解題思路,打破固定的思維模式,探索解題技巧,訓(xùn)練解題的靈活性,增強(qiáng)解題能力.讓學(xué)生能夠主動(dòng)去想以及敢想,還要增加他們學(xué)習(xí)的興趣,增加他們理解并掌握方法的信心.

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2002.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析 (第 2版)[M].北京:高等教育出版社,1991.

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1008-4681(2010)02-0103-02

2010-02-24;

2010-03-05

嚴(yán)彬 (1983-),女,福建莆田人,仰恩大學(xué)數(shù)學(xué)系助教,碩士.研究方向:動(dòng)力系統(tǒng) -分支與混沌.

(責(zé)任編校:簡(jiǎn)子)