張曉琴,趙深淼

二水平正交飽和設(shè)計中零效應(yīng)搜索法的推廣

張曉琴,趙深淼

(山西大學數(shù)學科學學院,山西太原030006)

文[5]中提出的零效應(yīng)搜索法是分析飽和設(shè)計的有效方法.一般假定誤差是服從正態(tài)分布的.零效應(yīng)搜索法對于密度函數(shù)是對稱分布的函數(shù)也適用,因此零效應(yīng)搜索法對t分布也適用.由于t分布的密度函數(shù)比較復(fù)雜,無法給出統(tǒng)計量的具體形式,但可通過模擬來實現(xiàn),通過對各種情況的模擬計算來說明零效應(yīng)搜索法對t分布也適用.本文選擇自由度為3的t分布做模擬.并且在此假定下,也能很好的識別飽和設(shè)計中的顯著因子,誤差方差的估計也很好.

正交飽和設(shè)計;次序統(tǒng)計量;零效應(yīng)搜索法;顯著效應(yīng);t分布

在飽和設(shè)計中,穩(wěn)健設(shè)計在質(zhì)量改進中有廣泛的應(yīng)用,研究如何正確識別顯著因子的效應(yīng)和估計誤差方差是近年來的熱點問題.已有的分析正交飽和設(shè)計的方法都是基于ε～N(0,1)假定下做的研究,如:Chen[1]提出了MaxUr方法,該方法只能識別顯著因子,得不到誤差方差的估計;文[2]給出的是一種逐步檢驗顯著因子的方法,也沒有給出σ的具體估計形式.而零效應(yīng)搜索法在識別顯著因子和估計誤差方面都有很好的結(jié)果.本文在零效應(yīng)搜索法的基礎(chǔ)上,將該方法推廣到t分布下做了更進一步的研究.由于t分布的密度函數(shù)比較復(fù)雜,寫不出統(tǒng)計量的具體形式,但可通過模擬實現(xiàn).

本文試驗是基于2水平的因析試驗.

2水平正交表Ln(2m)(m=n-1)的飽和設(shè)計通常用如下的線性統(tǒng)計模型來描述(詳見[3]):

其中,β0是一般平均,β1,β2,…,βm代表因子的主效應(yīng)或某些需要考察的交互效應(yīng),都是待估參數(shù).

易見,模型(1)中β=(β0,β1,…,βm)T的最小二乘估計為:

總平方和SST與各列平方和SSj(j=1,…,m)之間滿足

其中SST的自由度為n-1,SSj(j=1,…,m)的自由度為1.

我們的目標是,利用n個觀測值y1,y2,…,yn,借助某個方法來判斷,在m個效應(yīng)中哪些效應(yīng)是顯著的.即考慮如下的假設(shè)檢驗問題:

1 零效應(yīng)搜索法

引理1[4]若s個隨機變量X1,X2,…,Xs獨立同分布,其相應(yīng)的次序統(tǒng)計量記為:X1;s≤X2;s≤…≤Xs;s,假如它們的數(shù)學期望都存在,并記μi;s=E(Xi,s)為第i個次序統(tǒng)計量的期望,則有下式成立:

這里μr+1;s和μr;s分別表示來自總體的容量為s的樣本的第r+1個和第r個次序統(tǒng)計量的期望,μr;s-1表示同一總體容量為s-1的樣本的第r個次序統(tǒng)計量的期望.

分別用估計^μr+1;s=ξr+1,^μr;s=ξr,^μr;s-1=(ξr+1+ξr)/2代替μr+1;s,μr;s,μr;s-1,可得W統(tǒng)計量[5]如下:

零效應(yīng)搜索法的步驟:

(1)首先由y1,…,yn算得^βj及SSj(1≤j≤m),算出Ws(3≤s≤m)的值.

(2)對給定的顯著性水平α,我們可以按s由小到大的順序比較每對Ws,Ws,α(3≤s≤m)的大小,若滿足Ws>Ws,a的最小s=q+1,則零效應(yīng)個數(shù)就是q.

2 t(3)情形下σ2的均值模擬

考慮正交表H=L16(215)對應(yīng)的飽和設(shè)計模型(1),即yi=β0+β1xi1+…+β15xi,15+εi,i=1,…,16.令εi是取自t(3)的隨機數(shù),即σ2=3.我們依次假設(shè)顯著因子的個數(shù)分別為1個,2個,4個,6個.1個顯著因子時,取β1=size;2個顯著因子時,取β1=size,β2=2size;4個顯著因子時,β1=β2=size,β3=β4=2size;6個顯著因子時,β1=β2=size,β3=β4=2size,β5=β6=4size;8個顯著因子時,β1=β2=size,β3=β4=2size,β5=β6= 3size,β7=β8=4size;10個顯著因子時,β1=β2=β3=size,β4=β5=β6=2size,β7=β8=β9=3size,β10=4size;其中size=1,2,3,4.上面所有的沒有列出來的效應(yīng)以及β0都等于0.對于上述的每種情況,我們利用SA S的rannor函數(shù)構(gòu)造出自由度為3的t-分布,產(chǎn)生均值為0,方差為3的隨機數(shù).并且對每種情況都模擬計算100次,下面的表1到表6列出了每種情況下所計算出的100個σ^2的均值σ^2和標準差s.

表1 1個顯著因子Table 1 One significant factor

表2 2個顯著因子Table 2 Two significant factors

表3 4個顯著因子Table 3 Four significant factors

表4 6個顯著因子Table 4 Six significant factors

表5 8個顯著因子Table 5 Eight significant factors

表6 10個顯著因子Table 6 Ten significant factors

上述計算結(jié)果顯示,對2水平的飽和設(shè)計而言,當所有的非零效應(yīng)都大于3時,σ2的估計較好,其與真實值的偏差不超過0.38.當顯著因子的效應(yīng)小于3時,σ2的估計稍微偏小,這是因為我們選擇的εi是取自t(3)的隨機數(shù),估計值偏小是正常的.另外,σ2的估計的標準差隨著顯著效應(yīng)值的增大而增大,接近于目標值3.這說明我們給出的關(guān)于2水平飽和設(shè)計的誤差的估計方法是一個令人滿意的方法,對密度函數(shù)為對稱函數(shù)的分布均適用,都能用該方法來估計,且不再需要效應(yīng)稀疏原理的約束.

3 零效應(yīng)搜索法對t(3)的模擬分析

例1 考慮正交表H=L16(215)對應(yīng)的飽和設(shè)計模型(1),即yi=β0+β1xi1+…+β15xi,15+εi,i=1,…, 16.令εi是取自t(3)的隨機數(shù),即σ=3.又令β1=β2=2,β3=β4=4,β5=β6=6,β7=β8=8,β0=β9=…=β15= 0.而各個xij的取值情況詳見引言的模型敘述.可得到如下的試驗數(shù)據(jù)(y1,…,y16)=(42.703,28.768 4,-9.319 9,-23.123 8,0.407 3,-14.968 8,6.6922,-8.087 1,-0.378 7,-14.217 7,7.041 2,-7.488 0, 9.480 1,-10.480 8,7.284 2,-8.312 0).在顯著性水平α=0.05下進行分析.

首先由(2)算出各個βj的最小二乘估計^βj(j=1,…,15).算出各效應(yīng)平方和SSj=16^β2j(j=1,…,15),具體見表7的第3,4列.并將Ws(3≤s≤5)與其對應(yīng)的臨界值Ws,0.05(見附表)列于表8的第2,3列.觀察發(fā)現(xiàn),滿足Ws>Ws,0.05的最小的s=8,從而零效應(yīng)個數(shù)q=8-1=7.這與模擬前給定的零效應(yīng)個數(shù)是一致的.而σ2的估計^σ2=SSe/7=(SS1;15+…+SS7;15)/7=2.627 93.即^σ=1.621 01.由q=7可初步判定最小的7個SSj;15對應(yīng)的效應(yīng)為零,另外的8個效應(yīng)非零,即表7,表8中打＊所對應(yīng)的效應(yīng)1,2,3,4,5,6,7,8是顯著的.再由t-統(tǒng)計量進行驗證,即計算效應(yīng)1,2,3,4,5,6,7,8的t-統(tǒng)計量的值,見表9.又注意到在顯著性水平α=0.05時,t1-0.05/2(7)=2.364 62,通過觀察可見,顯著效應(yīng)確實為1,2,3,4,5,6,7,8.

表7 例1中^βj及SSjTable 7 ^βjandSSjin the Example 1

表8 例1中W統(tǒng)計量及其臨界值Table 8 W-statistic and its critical value

表9 t-檢驗Table 9 t-test

另外,模擬計算1 000次的結(jié)果顯示,結(jié)果如下:有527次正好選出所有真正顯著的因子,有137次誤將一個不顯著的因子判定為顯著的,80次誤判2個,66次誤判3個,65次誤判4個,45次誤判5個,80次漏判.出現(xiàn)漏判的原因是我們選擇的ε～t(3),而隨機誤差的標準差是3所以可能將取值比較小的顯著因子誤判為零因子.這與我們選擇的隨機變量的分布函數(shù)是分不開的.因為t-分布的密度函數(shù)比較特殊,它的峰比標準正態(tài)分布的峰尖,尾比標準正態(tài)分布的尾更重.

4 結(jié)論

用零效應(yīng)搜索法對t分布的模擬結(jié)果表明,零效應(yīng)搜索法適用于密度函數(shù)是對稱分布的函數(shù).能較好的識別顯著因子,且對誤差方差σ2的估計結(jié)果也令人滿意.

[1] CHEN Y.On the Analysis of Unreplicated Factorial Designs[J].Biometrical J ournal,2003,46:125-140.

[2] WU S S,WANG W.Step K-up Simultaneous Tests for Identifying Active Effects in Orthogonal Saturated Designs[J].A nn Statist,2007,35:449-463.

[3] 茆詩松,周紀薌,陳 穎.試驗設(shè)計[M].北京:中國統(tǒng)計出版社,2004.

[4] KARPL J K,KAPADIA C H,OWEN D B.Handbook of Statistical Distributions[M].New York and Basel:Marcel Dekker Inc,1976.

[5] 張曉琴,張應(yīng)山,茆詩松.二水平正交飽和設(shè)計的統(tǒng)計分析——零效應(yīng)搜索法[J].華東師范大學學報(自然科學版), 2008,1:51-59.

Spread of the Procedure of Searching Zero Effects in the Statistical Analysis of 2-Level Orthogonal Saturated Designs

ZHANG Xiao-qin,ZHAO Shen-miao
(School of Mathematical Sciences,Shanxi University,Taiyuan030006,China)

The article[5]proposed the procedure of searching zero effects which is a effective method in analyzing orthogonal saturated designs.Generally,it assume that the errors are subject to normal distribution. Because the density function oft-distribution is also a symmetric distribution,the procedure of searching zero effects is also applicable to thet-distribution.The density function oft-distribution is much more complicated,so it can’t give the specific form of statistics.However,it can achieve by simulation,through the simulation of various situations,illustrate that the procedure of searching zero effects is applicable to thetdistribution.Choosing the distribution oft(3)to do the simulation,under this assumption,it can also identify significant factor in orthogonal saturated designs,and the estimated of error varianceis also very well.

orthogonal saturated designs;order statistics;Procedure of Searching Zero Effects;active effects;t-distribution

O212.1

A

0253-2395(2010)02-0182-04

2009-05-26

國家自然科學基金(44K55050);山西省高校高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)化項目(20090006)

張曉琴(1975-),女,山西長治人,博士,研究方向:試驗設(shè)計.E-mail:zhangxiaoqin@sxu.edu.cn