邱文兵,殷保祥,劉軍嶺

(石河子大學(xué)師范學(xué)院物理系,石河子 832003)

描述微觀高速過(guò)程的模糊圖

邱文兵1,殷保祥1,劉軍嶺1

(石河子大學(xué)師范學(xué)院物理系,石河子 832003)

對(duì)于費(fèi)曼圖導(dǎo)致紫外發(fā)散的出現(xiàn),且不能計(jì)算其電磁質(zhì)量和重整化導(dǎo)致的電荷改變量的問(wèn)題,采用模糊圖論描述微觀高速領(lǐng)域,從而既可消除紫外發(fā)散,又能計(jì)算電磁質(zhì)量和重整化導(dǎo)致的電荷改變量。結(jié)果表明:真空作用導(dǎo)致的電子質(zhì)量和電荷的改變量都很小,分別為0.3%、0.026%。利用模糊圖計(jì)算了電子傳播子的一級(jí)修正形式,發(fā)現(xiàn)該形式不同于通常的形式,不需要電荷重整化,同時(shí)也避免了紅外發(fā)散,對(duì)S矩陣元的修正是微小的輻射修正。

費(fèi)曼圖;模糊圖;微觀高速過(guò)程;紫外發(fā)散;電磁質(zhì)量;電荷;改變量

Abstract:Since it leads to ultraviolet divergences and cannot calculate the change quantities of the mass and charge of electron in renormalization process,fuzzy graph is used to describe microcosmic fast-speed domain in this paper.Thus,on the one hand,ultraviolet divergences can be canceled;on the other hand,electronic electromagnetic mass and charge change can also be derived.The results indicate that these two changes are both very small respectively with number value 0.3%and 0.026%.The form of the second order approximation for the propagator of electron is calculated in fuzzy Feynman diagram,which is different from conventional form.The renormalization of charge is no longer necessary;at the same time,ultra-red divergences are also avoided.The correction to S matrix element is small radiative correction.

Key words:Feynman diagram;fuzzy graph;ultraviolet divergences;microcosmic fast-speed process;electromagnetic mass;charge change

量子場(chǎng)論面臨的發(fā)散困難有:躍遷振幅中的紫外發(fā)散、真空漲落發(fā)散、真空自能發(fā)散(涉及到宇宙學(xué)常數(shù)問(wèn)題)等等。目前的處理方案有重整化理論、超對(duì)稱(chēng)理論等。重整化理論不適用于量子引力,并且其處理方式(維數(shù)正規(guī)化的積分規(guī)則)是人為的規(guī)則;超對(duì)稱(chēng)理論的波色子(費(fèi)米子)與其超對(duì)稱(chēng)伴粒子各自的貢獻(xiàn)是無(wú)窮大,這是無(wú)意義的:重整化理論、超對(duì)稱(chēng)理論處理躍遷矩陣元中的紫外發(fā)散有效,對(duì)于解決有效計(jì)算真空漲落、真空自能等問(wèn)題則顯不足。所以探索一種能統(tǒng)一處理各種場(chǎng)論發(fā)散和問(wèn)題、并且在計(jì)算過(guò)程中也不產(chǎn)生無(wú)窮大的新理論方案是有意義和必要的。

現(xiàn)有理論認(rèn)為點(diǎn)模型是場(chǎng)論發(fā)散產(chǎn)生的根源,但點(diǎn)模型改造為弦模型后仍然導(dǎo)致發(fā)散,仍需要引入超對(duì)稱(chēng)以解決無(wú)窮大。所以,點(diǎn)模型是場(chǎng)論發(fā)散的根源還是值得探討的。本文認(rèn)為場(chǎng)論采用點(diǎn)模型是對(duì)場(chǎng)量子的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的描述,并非是把粒子視為沒(méi)有大小的點(diǎn),這也是點(diǎn)模型場(chǎng)論可用來(lái)描述復(fù)合粒子場(chǎng)論的原因。值得注意的是,場(chǎng)量子理論凡涉及到真空處時(shí)總遇到發(fā)散困難,例如真空漲落發(fā)散、真空自能發(fā)散、躍遷矩陣元紫外發(fā)散等等,這似乎預(yù)示:場(chǎng)論發(fā)散的根源在于現(xiàn)在的場(chǎng)論概念不適用于真空領(lǐng)域?！罢婵展こ獭盵1]是個(gè)真空問(wèn)題,所以探索有效自洽描述真空的理論是有實(shí)際意義的。

本文從圖論角度入手考慮思路,量子場(chǎng)論在一定意義上可以視作費(fèi)曼圖的集合,可以不依賴(lài)場(chǎng)論的具體形式而獨(dú)立地發(fā)展費(fèi)曼規(guī)則[2]。然而,費(fèi)曼圖會(huì)導(dǎo)致紫外發(fā)散的出現(xiàn),說(shuō)明費(fèi)曼圖并不是正確描述微觀高速真空領(lǐng)域的圖論,雖然有所謂的重整化等定論式的方法[3～7]。從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看,費(fèi)曼圖就是經(jīng)典數(shù)學(xué)的普通圖論,而除了普通圖論,還有模糊數(shù)學(xué)的模糊圖論[8～11]。

1 模糊圖

圖論可用來(lái)描述事物間的關(guān)系。根據(jù)模糊數(shù)學(xué),事物間的關(guān)系有本質(zhì)上清晰、確定和明了的,稱(chēng)為清晰關(guān)系。清晰關(guān)系用普通圖描述,也有本質(zhì)上不確定和不明了的關(guān)系,只能考慮有這種關(guān)系的(隸屬)程度,用位于閉區(qū)間[0,1]里的隸屬函數(shù)值來(lái)量度這種關(guān)系的(隸屬)程度,這種關(guān)系稱(chēng)為模糊關(guān)系,模糊關(guān)系用模糊圖描述。

一個(gè)普通圖就是由若干線(xiàn)連接若干點(diǎn)而成的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)(圖1a),其中的每個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為頂點(diǎn),可代表某一個(gè)具體事物,而每條線(xiàn)稱(chēng)為一個(gè)邊,可代表某一個(gè)清晰關(guān)系。一個(gè)普通圖可表示為 G=G(V,E),其中V、E分別表示圖中所有頂點(diǎn)、邊的集合V={v1,v2,v3,v4,v5}、E={e1,e2,…,e9}。若對(duì)普通圖 G(V,E)的每一邊賦予一個(gè)位于閉區(qū)間[0,1]里的實(shí)數(shù)(圖1),這個(gè)數(shù)就是一個(gè)模糊關(guān)系的隸屬函數(shù)值(隸屬程度),此時(shí)每一邊代表一個(gè)模糊關(guān)系,則普通圖就變?yōu)橐粋€(gè)模糊圖(圖1b),可表示為 ~G=~G(V,E)。其中,

1)對(duì)于圖中每對(duì)頂點(diǎn),如果最多僅有一邊與之對(duì)應(yīng),則 G為簡(jiǎn)單圖,如圖1a。

2)若對(duì)圖的邊指定方向,則稱(chēng)此圖為有向圖;否則,稱(chēng)為無(wú)向圖,如圖1。

3)若對(duì)于模糊圖中每一個(gè)邊,其隸屬度值都為1,則模糊圖 ~G即成為普通圖G。所以,模糊圖是普通圖的改造、發(fā)展和推廣,普通圖論只是模糊圖論的特例。

下文采用自然單位制和Pauli度規(guī)。

圖1 簡(jiǎn)單、無(wú)向圖Fig.1 Simple non-directional graph

2 描述微觀高速過(guò)程的模糊圖論的形式及其傳播子規(guī)則

如果用模糊圖描述微觀高速過(guò)程,需要作如下的觀念改變:原來(lái)認(rèn)為在兩作用頂點(diǎn)之間有某種清晰的、確定的、分明的場(chǎng)傳播關(guān)系和性態(tài)(傳播子),實(shí)際上根本不確定,它們帶有相當(dāng)大的模糊性(不同于隨機(jī)性),可用隸屬函數(shù)值μ來(lái)表示(圖2),這里μ∈[0,1]。圖2中 G為普通圖,即費(fèi)曼圖,~G為模糊圖。

對(duì)于ˉG圖中μ4所對(duì)應(yīng)的那個(gè)電子傳播,以前認(rèn)為在頂點(diǎn) v1、v2之間有 SF(k)這樣一個(gè)確定的傳播性態(tài)聯(lián)系,但現(xiàn)在應(yīng)該認(rèn)為兩頂點(diǎn)間的傳播性態(tài)聯(lián)系實(shí)際上并不是那么確定,而是本質(zhì)上就有些模糊,它只是大概為或者近似于SF(k),近似程度用隸屬函數(shù)值μ4表示,即此電子的傳播性態(tài)(以大小為μ4的近似程度或隸屬程度)近似于 SF(k),也可以說(shuō)成:傳播性態(tài)近似于 SF(k)的隸屬度為μ4。按模糊理論,這種場(chǎng)傳播性態(tài)的模糊性應(yīng)該理解為場(chǎng)的一種本性。由于場(chǎng)傳播性態(tài)只是以一定大小的程度近似為SF(k),所以場(chǎng)貢獻(xiàn)的有效傳播子應(yīng)該取形式μ·SF(k),這就是模糊圖的傳播子規(guī)則(其他規(guī)則不變)。

圖2 反應(yīng)過(guò)程e-+e-→e-+e-的費(fèi)曼圖和模糊圖Fig.2 The diagrams describing the reaction course e-+e-→e-+e- Gis a common graph(Feynman diagram),and is a fuzzy graph)

下面討論模糊圖的每一內(nèi)線(xiàn)μ應(yīng)怎樣賦值。

在費(fèi)曼圖中紫外發(fā)散總是出現(xiàn)于有真空?qǐng)龅牡胤?紫外發(fā)散與真空?qǐng)雒芮邢嚓P(guān)。這似乎預(yù)示著傳統(tǒng)的關(guān)于真空?qǐng)龅挠^念是存在問(wèn)題的。費(fèi)曼圖賦予真空?qǐng)鲆粋€(gè)絕對(duì)確定的傳播性態(tài),問(wèn)題可能就出在傳播子的絕對(duì)確定性上。因此,模糊圖中就認(rèn)為真空?qǐng)龅膫鞑バ詰B(tài)實(shí)際上根本不確定,它們帶有相當(dāng)大的模糊性,用隸屬函數(shù)μ來(lái)表示其模,真空?qǐng)鰝鞑プ討?yīng)取為μ·SF(k),這里μ必須滿(mǎn)足0≤μ<1。而對(duì)于非真空?qǐng)?它從沒(méi)有帶給場(chǎng)論任何困難,說(shuō)明關(guān)于非真空?qǐng)龅挠^念不存在問(wèn)題,不必要改變其物理概念,其傳播性態(tài)仍是絕對(duì)確定的(μ=1),其傳播子形式取為μ·SF(k)=1·SF(k)=SF(k)。于是,在模糊圖ˉG中,有μ4<1,μ5<1,μ1=μ2=μ3=μ6=μ7=μ8=1,這樣,在模糊圖中真空?qǐng)龅膫鞑バ詰B(tài)是模糊性的,這是真空?qǐng)龅谋拘?是真空?qǐng)龉逃械摹Ｒ虼苏J(rèn)為:真空?qǐng)龅膫鞑バ詰B(tài)是完全確定的,這可能就是“費(fèi)曼圖會(huì)導(dǎo)致紫外發(fā)散”的深刻原因。

需指出的是,上述只是以真空電子場(chǎng)為例說(shuō)明真空?qǐng)鲇^念的改變,它對(duì)于任何其他真空?qǐng)龆汲闪?。?duì)于任何真空?qǐng)?例如電子場(chǎng)、夸克場(chǎng)、中間波色子場(chǎng)等,都有μ<1;對(duì)于任何非真空?qǐng)?都有μ=1。下文用μ·S(k)和S(k)分別代表任何真空?qǐng)?、非真空?qǐng)龅膫鞑プ印Ｍǔ?樹(shù)圖不包含真空?qǐng)?樹(shù)圖中的傳播子都是S(k)。但是,圈圖含有真空?qǐng)?圈圖中除了含有 S(k)外,也必包含有μ·S(k)。

這樣,如果為每條真空?qǐng)鰞?nèi)線(xiàn)賦予一個(gè)適當(dāng)?shù)碾`屬函數(shù)值,則模糊圖將能夠給出有意義(有限)的結(jié)果——格林函數(shù)、S矩陣元、電磁質(zhì)量δm等。即使我們能夠獲得收斂的躍遷矩陣元,質(zhì)量、電磁流的重整化仍是必要的(分別考慮絕熱假設(shè)、規(guī)范不變性的要求[11,12])。這里的重整化運(yùn)算中不再是無(wú)窮大減無(wú)窮大,而是有限量減有限量。

最后,考慮真空?qǐng)鲭`屬函數(shù)μ的可能的、具體的數(shù)學(xué)形式,假設(shè):

其中 k2=kμkμ≥0,kμ代表真空?qǐng)隽孔拥?-動(dòng)量。假設(shè)這個(gè)形式對(duì)于任何真空?qǐng)龅膫鞑プ佣歼m用。n應(yīng)取盡可能小的自然數(shù),要滿(mǎn)足使得各種相互作用過(guò)程都不出現(xiàn)發(fā)散的要求。為此,取 n=3比較合適,因?yàn)榭梢则?yàn)證:當(dāng)考慮了隸屬函數(shù)μ中包含的內(nèi)部動(dòng)量后,模糊圖的表觀發(fā)散度為 D′=D-6Iv<0(D是不考慮隸屬函數(shù)因子而按通常費(fèi)曼圖中方法計(jì)算出的表觀發(fā)散度,Iv是所有真空?qǐng)鰞?nèi)線(xiàn)的條數(shù)),不再導(dǎo)致發(fā)散。Λ是一個(gè)由實(shí)驗(yàn)確定的常數(shù)參數(shù),對(duì)于任何真空?qǐng)龆疾蛔?可以視作截?cái)囝l率,滿(mǎn)足

上述理論形式滿(mǎn)足相對(duì)論不變性。

3 參數(shù)Λ的確定及幾個(gè)具體應(yīng)用的計(jì)算

3.1 真空電磁場(chǎng)導(dǎo)致的頂角修正

下面討論電子在弱電磁場(chǎng)(k1→0)中散射的頂角修正,如圖3所示。

其中m0為電子的實(shí)驗(yàn)質(zhì)量。

圖3 弱電磁場(chǎng)(k1→0)中電子散射的頂角修正.3 The correction to the vertex angle for electron scattering in weak electromagnetic field

圖3 a貢獻(xiàn)的頂角是γμ,圖3b圖貢獻(xiàn)的頂角修正是Λ(2)μ(p1,p2)。與通常理論不同,這里的頂角修正是一個(gè)有限量。因?yàn)殡娮訛槿蹼姶艌?chǎng)(k1→0)所散射,電子近似自由,故有:

3.2 電子電磁質(zhì)量的計(jì)算

圖4是電子自能圖,這是一個(gè)模糊圖,其中的虛線(xiàn)代表真空電磁場(chǎng),其隸屬函數(shù)μ(k)<1。

圖4 電子的自能Fig.4 The self-energy diagram of an electron

δm/m=0.002904,δm/m0=0.002896 。 (20)可見(jiàn),不像經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)點(diǎn)模型所認(rèn)為的那樣,電磁質(zhì)量是電子質(zhì)量的主要來(lái)源。相反地,模糊圖計(jì)算表明,電磁質(zhì)量只占電子質(zhì)量的小部分(大約0.3%),電子質(zhì)量的主要來(lái)源是其裸質(zhì)量,真空電磁場(chǎng)的貢獻(xiàn)很微弱。這是可以理解的,微弱的真空作用不可能導(dǎo)致大的貢獻(xiàn)。

3.3 真空極化導(dǎo)致的電荷改變量

光子的自能圖如圖5所示。

圖5 光子的自能Fig.5 The self-energy graph of photon

可見(jiàn),真空極化導(dǎo)致的電荷改變非常小,這是可以理解的,微弱的真空作用不可能導(dǎo)致大的電荷改變。

3.4 模糊圖對(duì)于電子傳播函數(shù)的一級(jí)修正

圖6a反映康普頓散射的最低次近似過(guò)程之一,而圖b則代表同一散射現(xiàn)象的較高次近似過(guò)程之一(其中的光子內(nèi)線(xiàn)代表真空?qǐng)?其隸屬函數(shù)值μ<1),它的內(nèi)電子線(xiàn)包含著電子自能。圖c表示考慮質(zhì)量重整化效應(yīng)時(shí)的貢獻(xiàn)[13]。因?yàn)榇藭r(shí)考慮了質(zhì)量重整化效應(yīng),故上式中的電子的質(zhì)量應(yīng)是實(shí)驗(yàn)觀測(cè)質(zhì)量 m0≈m。

圖6 康普頓散射過(guò)程的費(fèi)曼圖Fig.6 Feynman graphs for Compton scattering

真空電磁場(chǎng)引致的電子傳播子的修正應(yīng)是:

式(36)和(37)中不再出現(xiàn)無(wú)窮大,對(duì)S矩陣元貢獻(xiàn)的是微小的車(chē)輛射修正。

質(zhì)量重整化后(考慮到絕熱近似[14],這是必須的),貢獻(xiàn)的已是微小的修正,因此就不必進(jìn)一步作重整化,即利用模糊圖作計(jì)算,只需進(jìn)行一次質(zhì)量重整化,其他的重整化諸如電荷重整化等都不需要。通常的電荷重整化程序在運(yùn)算中并不是合理的,這也是有觀點(diǎn)不贊成電荷重整化程序機(jī)制的原因之所在。更主要的是,只進(jìn)行一次質(zhì)量重整化有如下好處:既能修正絕熱近似帶來(lái)的誤差,又可避免紅外發(fā)散的出現(xiàn)(通常的紅外發(fā)散就是進(jìn)行電荷重整化時(shí)造成的[13]);只需質(zhì)量重整化,對(duì)于不可重整化的場(chǎng)論如介子-核子作用、量子引力[15,16]等極為有利,不再需要引入無(wú)窮多個(gè)抵消項(xiàng)[17]。

4 討論

文章對(duì)于參數(shù)Λ值的確定不是太準(zhǔn)確(參考值),這主要由以下兩點(diǎn)原因造成:1)F1是低級(jí)近似,不和實(shí)驗(yàn)結(jié)果嚴(yán)格相等;F1應(yīng)該與重整化理論得到的同級(jí)近似結(jié)果接近,計(jì)算表明,這就要求Λ盡可能得大,但又不是無(wú)窮大。2)頂角修正中反常磁矩對(duì)Λ值的改變不敏感。后續(xù)文章中可看到,當(dāng)考慮到宇宙學(xué)常數(shù)的上限限制時(shí),Λ應(yīng)該不大于Λ=2.954×1020m0,此時(shí)隸屬函數(shù)μ(k)也能很好地適用于任何其他真空?qǐng)龅挠?jì)算。盡管Λ值不太準(zhǔn)確,但這影響不了上述結(jié)論:微弱的真空作用不可能導(dǎo)致大的電子質(zhì)量和電荷的改變,也不可能導(dǎo)致大的輻射修正。

模糊圖運(yùn)用于場(chǎng)論,不僅最后結(jié)果不發(fā)散,就是計(jì)算過(guò)程中也不出現(xiàn)無(wú)窮大,而且還能具體解決傳統(tǒng)理論所不能處理的電磁質(zhì)量、電荷的改變量的計(jì)算問(wèn)題。

就像費(fèi)曼圖能夠由傳統(tǒng)場(chǎng)論定量推導(dǎo)出一樣,模糊圖也應(yīng)該有其理論基礎(chǔ):一種模糊場(chǎng)論形式(模糊理論和場(chǎng)論相結(jié)合的體系)。模糊場(chǎng)論是存在的,有意義的真空漲落、涉及到宇宙學(xué)常數(shù)問(wèn)題的真空自能等等的有效計(jì)算以及Einstein引力的有意義的量子化問(wèn)題,都將在這種模糊場(chǎng)論形式體系中作具體探討,限于篇幅,留待另文闡述。

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Fuzzy Graphs Describing Microcosmic Fast-speed Process

QIU Wenbing1,YIN Baoxiang1,LIU Junling1
(Department of Physics,Teachers CollegeKey Laboratory of Ecophysics,Shihezi University,Shihezi 832003,China)

O413.3

A

1007-7383(2010)05-0644-07

2010-09-24

邱文兵(197-),男,講師,從事量子場(chǎng)論發(fā)散問(wèn)題的處理方法研究方向:e-mail:qwb010@yahoo.com.cn。