李寶鳳，闕艷華

（1.唐山師范學院 數(shù)學與信息科學系，河北 唐山 063000；2.石家莊市第119中學，河北 石家莊 050802）

影子價格最初是由前蘇聯(lián)經(jīng)濟學家康特羅維奇于20世紀30年代末在用線性規(guī)劃方法解決如何把工廠的現(xiàn)有生產(chǎn)資源結(jié)合起來以使產(chǎn)出達到最大化時提出的概念，后經(jīng)美國經(jīng)濟學家 T·庫普曼斯參考西方文獻正式定名為“影子價格”，在我國1987年后才逐漸發(fā)展起來的。

隨著我國市場化程度的加深和對外開放力度的加大，如何有效地利用企業(yè)內(nèi)部各種資源從而取得最好的經(jīng)濟效益，就成為當前企業(yè)面臨的一項嚴峻挑戰(zhàn)。從微觀來看，企業(yè)應用影子價格理論是有利于經(jīng)營管理，提高企業(yè)經(jīng)濟效益的；從宏觀來看，就整個國民經(jīng)濟的發(fā)展，應用影子價格理論也是必要的。根據(jù)資源的短缺和閑置程度，以及物資供應中的供需平衡與不平衡狀態(tài)，利用影子價格對現(xiàn)行價格進行調(diào)整和修正，使現(xiàn)有資源得到充分利用，提高社會總體的經(jīng)濟效益。

1 影子價格理論

設(shè)線性規(guī)劃的原問題是

其對偶問題是

對問題(1)引進松弛變量 xn+i(i = 1,2,… ,m)，化成標準形：

其中

對于線性規(guī)劃(1*)的最優(yōu)基B，滿足B-1b ≥0，C - C B-1A≤ 0。所對應的單純形表可表示成：

B問題(1*)的最優(yōu)解 XB=B-1b， XN= 0， max S = CBB-1b 。

在線性規(guī)劃問題(2)中，對偶變量 yi( i =1,2,… ,m)的經(jīng)濟意義可描述為第i種資源的影子價格，即稱yi*為關(guān)于bi的影子價格。

2 實例分析

某加工企業(yè)，面臨一個最優(yōu)生產(chǎn)計劃方案如何制定的問題。該企業(yè)今年計劃生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，這三種產(chǎn)品都需要經(jīng)過鑄造、機加工和裝配三個車間，為了保證質(zhì)量，三種產(chǎn)品均在本廠加工。試確定企業(yè)為獲得最大利潤，甲、乙、丙三種產(chǎn)品各應生產(chǎn)多少套。在這過程中需耗用的有限資源原材料生鐵100噸，其余數(shù)據(jù)如表1、2所示。

表1 三種產(chǎn)品的單位消耗

表2 三種產(chǎn)品費用比較

設(shè)該企業(yè)計劃生產(chǎn)甲、乙、丙三種新產(chǎn)品的數(shù)量分別為x1、x2、x3萬套，根據(jù)表2求得生產(chǎn)產(chǎn)品甲、乙、丙的單位利潤分別為

甲：23–8–6–5=4

乙：18–6–4–6=2

丙：16–7–3–3=3

建立如下數(shù)學模型：

目標函數(shù)： max S=4x1+2x2+3x3

約束條件：

對原問題引進松弛變量x4、x5、x6、x7，利用單純形法求該模型的最優(yōu)解，列最終單純性表3。

表3 最終單純形表

由此得出模型的最優(yōu)解：x1=52，x2=24，x3=0。并得到該企業(yè)可獲得的最大利潤為：

這說明了該企業(yè)的最佳投產(chǎn)方案是：生產(chǎn)甲產(chǎn)品52套，生產(chǎn)乙產(chǎn)品24套，產(chǎn)品丙不投產(chǎn)，這樣就可使該企業(yè)獲得最大利潤為256萬元。

由單純形表3，同時又得到了另一個信息，即該模型的對偶問題的最優(yōu)解，也就是各種資源的影子價格：其中原材料生鐵的影子價格為y1=0.4萬元，鑄造工時的影子價格為y2=0萬元，機加工工時的影子價格為y3=1.2萬元，裝配工時的影子價格為y4=0萬元。

現(xiàn)在該企業(yè)中的原材料生鐵和機加工工時的影子價格均為正數(shù)，鑄造工時和裝配工時的影子價格為0，這就說明原材料生鐵和機加工工時為短缺資源，沒有剩余，而鑄造工時和裝配工時有剩余，這樣根據(jù)影子價格就能得到：

（1）鑄造工時和裝配工時為過剩資源，因此再增加這兩種資源中的任何一種也不會提高企業(yè)總的經(jīng)濟效益，反而由于增加鑄造工時或裝配工時需要支付相應的購買設(shè)備的費用或雇用勞力支付工資，會使產(chǎn)品的成本提高，企業(yè)總的利潤下降，因此企業(yè)決策者可考慮裁員或安排剩余勞動力到其他崗位，并把多余的設(shè)備轉(zhuǎn)讓出去，使過剩資源得到合理利用，從而為企業(yè)降低成本。

（2）原材料生鐵的影子價格是 0.4萬元，這個信息告訴我們，在原材料生鐵有100噸的基礎(chǔ)上，如果再增加一噸的生鐵，就可使企業(yè)的總利潤增加0.4萬元，這樣企業(yè)就可以得到的純利潤為0.4萬元減去每噸生鐵的價格。

（3）機加工工時的影子價格為 1.2萬元，它在四種資源中影子價格最大，這就說明機加工工時最緊缺，應首先考慮增加機加工工時，那么在原有設(shè)備提供 180工時的基礎(chǔ)上，再增加一工時，就可使企業(yè)的總收益增加1.2萬元。這時企業(yè)可得的純利潤為1.2萬元減去機加工一工時的費用。

通過影子價格，知道了增加原材料生鐵或機加工工時都可以提高企業(yè)的經(jīng)濟效益，但是這種增加并不是沒有限制的增加，只是在某一范圍內(nèi)增加來提高企業(yè)的效益。那么究竟再購進多少噸生鐵或增加多少機加工工時才是即合理又能提高企業(yè)效益的？

設(shè)在原有的基礎(chǔ)上增加原材料生鐵Δb1(≥0）噸，增加機加工工時Δb3(≥0）時數(shù)，在它們各自影子價格不變的基礎(chǔ)上，根據(jù)靈敏度分析理論求Δb1和Δb3。

由上面求得的單純形表3知最優(yōu)基

則依據(jù)資源變化靈敏度分析有：

根據(jù)上面的計算我們知道，如果條件允許，可再購進原材料生鐵 Δb1噸，同時增加機加工工時 (60 - 2 Δb1)小時，企業(yè)總利潤增加0.4Δb1+1.2 (60 - 2 Δb1)萬元。純利潤即為0.4Δb1+1.2 (60 - 2 Δb1)萬元減去購買原材料生鐵和增加機加工工時所購進設(shè)備的費用。

3 結(jié)論

利用資源的影子價格以及資源變化的靈敏度分析，可為企業(yè)決策者提供增加哪一種資源相比之下對增加企業(yè)的經(jīng)濟效益最有利的理論依據(jù)，且系統(tǒng)決策者可用本方法對系統(tǒng)內(nèi)各部門的資源利用情況進行評價，對現(xiàn)有資源配置進行調(diào)整，直至達到最優(yōu)。這樣，既可使有限的人、財、物資源從效益低的部門流向效益高的部門，從而提高企業(yè)整體的經(jīng)濟效益，又可促使部門自身提高勞動生產(chǎn)率、降低資源消耗、使自己的現(xiàn)有資源得到充分利用，從而產(chǎn)生最大的經(jīng)濟效益。