趙延風(fēng),祝晗英,王正中

(1.西北農(nóng)林科技大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院,陜西楊凌 712100;2.西北農(nóng)林科技大學(xué)水工程安全與病害防治研究中心,陜西楊凌 712100;3.西安市水務(wù)局渭氵產(chǎn)河管理中心,陜西 西安 710015)

圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ畹幕痉匠虨槌胶瘮?shù),目前還無法求得其解析解,傳統(tǒng)的求解方法主要是查圖表法和試算法,但由于求解過程復(fù)雜而給工程設(shè)計(jì)人員帶來不便.20世紀(jì)90年代以來,國(guó)外在正常水深計(jì)算方面進(jìn)行了深入研究[1-6],但研究所涉及的過水?dāng)嗝娲蠖酁榫匦?、圓角矩形、梯形和拋物線等斷面形式,圓形過水?dāng)嗝嫘问胶苌?國(guó)內(nèi)在正常水深計(jì)算方面也進(jìn)行了較多研究,提出了多種圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ畹挠?jì)算方法[7-13].文獻(xiàn)[7]提出了以圓心角為迭代值的迭代計(jì)算方法,但該方法迭代公式復(fù)雜,迭代初值帶有隨意性,至少需迭代4次才能達(dá)到工程要求的精度.文獻(xiàn)[8]通過分析計(jì)算,提出了圓形過水?dāng)嗝鏌o量綱正常水深近似等于有關(guān)參數(shù)k的2個(gè)函數(shù)乘積的計(jì)算公式,該計(jì)算公式用分段函數(shù)表示,不僅適用范圍較廣,而且計(jì)算精度較高.文獻(xiàn)[9]提出了牛頓迭代法,該方法計(jì)算精度較高,不足之處是初值函數(shù)為一分段函數(shù),且適用范圍較小,迭代公式更為復(fù)雜.文獻(xiàn)[10-13]也提出了幾種圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ畹挠?jì)算公式,這些計(jì)算公式均存在形式復(fù)雜、適用范圍小和精度低的缺點(diǎn).本文首先對(duì)圓形過水?dāng)嗝婢鶆蛄鞣匠踢M(jìn)行了變換,然后根據(jù)優(yōu)化擬合原理對(duì)圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ罘匠踢M(jìn)行了處理,最后提出了一種集簡(jiǎn)捷、準(zhǔn)確、通用于一體的圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ罱朴?jì)算公式.

1 基本方程

圓形過水?dāng)嗝嫒鐖D1所示.由文獻(xiàn)[8]可知,圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ畹姆匠炭杀硎緸?/p>

式中:n——圓形管道糙率;Q——輸水流量,m3/s;i——管道比降;d——圓形過水?dāng)嗝嬷睆?m;θ——圓形斷面正常水深時(shí)的圓心角,rad.

圖1 圓形過水?dāng)嗝鍲ig.1 Circular cross section

2 近似計(jì)算公式的推導(dǎo)

設(shè)

式中:k——已知量綜合參數(shù);x——圓形過水?dāng)嗝鏌o量綱正常水深;h——正常水深,m.

在實(shí)際工程中,如果圓形過水?dāng)嗝娴乃畛^一定深度,則有可能產(chǎn)生淹沒整個(gè)過水?dāng)嗝娴默F(xiàn)象即滿流現(xiàn)象,或者出現(xiàn)圓管明流和圓管滿流交替的水流特征.由文獻(xiàn)[7]可知,為了完全避免圓形過水?dāng)嗝嬖谳斔^程中明流和滿流交替發(fā)生的水流現(xiàn)象,對(duì)圓管上部未充水面積應(yīng)有一定的要求,即凈空面積應(yīng)大于全斷面面積的15%,那么圓形過水?dāng)嗝嫠鶎?duì)應(yīng)的圓心角θ≤4.39 rad,相應(yīng)的x＜0.8.由于x取值過小,會(huì)增大計(jì)算誤差,因而文獻(xiàn)[9,13]將x的取值確定在0.05以上.但是,實(shí)際工程中有時(shí)還需要計(jì)算小流量的正常水深,故本文將x的取值區(qū)間確定為[0.01,0.80],對(duì)應(yīng)的已知量綜合參數(shù)k的取值區(qū)間為[0.0153,2.9715].根據(jù)確定的x的取值區(qū)間,通過優(yōu)化處理,得出了無量綱正常水深x的一元二次方程,即

由式(4)計(jì)算得到的k～x曲線(稱為近似曲線)與由式(1)～(3)計(jì)算得到的k～x曲線(稱為精確曲線)如圖2所示.由圖2可以看出,2條曲線幾乎完全重合.解一元二次方程式(4),得

將式(5)代入式(3)可得圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ畹慕朴?jì)算公式.

3 誤差分析

圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ畹慕朴?jì)算公式已有多種,相對(duì)而言,文獻(xiàn)[8]所提出的近似計(jì)算公式形式最簡(jiǎn)單,精度最高,適用范圍最廣.為了說明本文所提出的近似計(jì)算公式的優(yōu)點(diǎn),將本文公式與文獻(xiàn)[8]公式進(jìn)行比較,如表1所示.

表1 2種圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ罱朴?jì)算公式最大相對(duì)誤差比較Table 1 Comparison of maximum relative errors of present approximate formula with those in Ref.[8]for circular cross section of normal depth

從表1可以看出:在x∈[0.01,0.80]范圍內(nèi),即在對(duì)應(yīng)的已知量綜合參數(shù)k的取值區(qū)間[0.0153,2.971 5]范圍內(nèi),文獻(xiàn)[8]公式和本文公式都有較高的精度.在常用x∈[0.05,0.80]范圍內(nèi),本文公式精度較高;在非常用 x∈[0.01,0.05)范圍內(nèi),文獻(xiàn)[8]公式精度較高.在x∈[0.01,0.80]范圍內(nèi),本文公式是一個(gè)通式表達(dá)式,而文獻(xiàn)[8]公式是一個(gè)分段函數(shù)表達(dá)式,應(yīng)用時(shí)還需通過該公式k值范圍的判斷,才能確定采用什么分段函數(shù),過程略顯復(fù)雜.總的來說,本文公式和文獻(xiàn)[8]公式均具有形式簡(jiǎn)單、精度高、適用范圍廣的特點(diǎn).

為了進(jìn)一步說明本文公式的精度,將本文公式與文獻(xiàn)[8,10-13]公式的相對(duì)誤差進(jìn)行了比較,如圖3所示.

圖3僅給出了相對(duì)誤差不大于2%的數(shù)值.誤差計(jì)算結(jié)果表明,在工程常用范圍內(nèi),用本文公式計(jì)算圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ畹淖畲笙鄬?duì)誤差小于0.74%,文獻(xiàn)[8,10-13]公式的最大相對(duì)誤差依次為+∞,-30.44%,-18.54%,-7.80%,-0.90%.從圖3可以看出,當(dāng)精度要求小于1%時(shí),本文公式和文獻(xiàn)[8]公式適用范圍最廣.

圖3 不同公式圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ钣?jì)算相對(duì)誤差比較Fig.3 Comparison of relative errors of various formulae for circular cross section of normal depth

4 應(yīng)用舉例

某電站輸水管道斷面為圓形,已知斷面底坡i=0.001,糙率n=0.015,斷面直徑d=15m,試確定流量分別為Q1=840.0m3/s和Q2=0.2m3/s時(shí)的正常水深.

由式(2)可知,當(dāng) Q1=840.0m3/s時(shí),=2.891707;當(dāng) Q2=0.2m3/s時(shí) ,0.019373.

解法1:用文獻(xiàn)[8]公式

計(jì)算正常水深.當(dāng)Q1=840.0m3/s時(shí),由于k=2.891707,故用分段函數(shù)的后段,即h=0.20k0.80×1.187kd=11.5169m;當(dāng)Q2=0.2m3/s時(shí),由于 k=0.019373,故用分段函數(shù)的前段,即h=0.25k0.77×1.087kd=0.1803m.

解法2:用本文公式計(jì)算正常水深.當(dāng) Q1=840.0m3/s時(shí),k=2.891707,則h=d[1.258-(1.584-0.605k0.75)0.5]=11.4848m;當(dāng) Q2=0.2m3/s 時(shí),k=0.019 373,則 h=d[1.258-(1.584-0.605k0.75)0.5]=0.1796m.

為了說明本文公式具有更高的計(jì)算精度,表2列出了文獻(xiàn)[8]公式和本文公式正常水深的計(jì)算值與精確公式正常水深的計(jì)算值的相對(duì)誤差.由表2可以看出,文獻(xiàn)[8]公式和本文公式計(jì)算精度都較高,都能滿足工程設(shè)計(jì)要求,但本文公式計(jì)算精度更高.

表2 2種計(jì)算公式計(jì)算結(jié)果相對(duì)誤差比較Table2 Comparison of relative errors of calculated results of approximate formula of present study with those from Ref.[8]

5 結(jié) 語

本文首先利用引入的無量綱正常水深參數(shù),對(duì)圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ畹幕痉匠踢M(jìn)行恒等變形,然后根據(jù)優(yōu)化擬合原理進(jìn)行處理,得到了一種新的圓形斷面正常水深的近似計(jì)算公式,且進(jìn)行了誤差分析,并通過相對(duì)較大流量和小流量的實(shí)例計(jì)算,推薦了2種比較好的圓形斷面正常水深的計(jì)算方法.分析表明,本文公式在工程常用范圍內(nèi)均可適用,而且計(jì)算精度較高,最大相對(duì)誤差小于0.74%,公式形式相對(duì)較為簡(jiǎn)單.與文獻(xiàn)[8]公式相比,本文公式省略了k值范圍判斷項(xiàng),求解過程和表達(dá)形式都較為簡(jiǎn)單,而且具有更高的計(jì)算精度.

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