楊志安,辛 靜,李高峰

(1.唐山學(xué)院結(jié)構(gòu)與振動(dòng)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,河北唐山 063000;2.河北理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,河北唐山 063000)

力學(xué)教學(xué)中向量的導(dǎo)入與應(yīng)用

楊志安1,辛 靜2,李高峰1

(1.唐山學(xué)院結(jié)構(gòu)與振動(dòng)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,河北唐山 063000;2.河北理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,河北唐山 063000)

向量是數(shù)學(xué)的基本概念之一,向量與力學(xué)聯(lián)系緊密。結(jié)合力學(xué)教學(xué),將基于問題的研究性教學(xué)方法應(yīng)用其中。給出在向量教學(xué)中自然導(dǎo)入力學(xué)背景,在力學(xué)教學(xué)中自然導(dǎo)出向量知識(shí)教學(xué)實(shí)例。教學(xué)實(shí)踐表明這種教學(xué)模式符合“以人為本,以學(xué)生為中心”的核心教育原則,也符合“學(xué)以致用”的教學(xué)目的。

向量;幾何;力學(xué);基于問題;研究性教學(xué)

0 引言

力學(xué)是大學(xué)工科學(xué)生的一門技術(shù)基礎(chǔ)課。力學(xué)是研究物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)一般規(guī)律的科學(xué)[1]。數(shù)學(xué)是大學(xué)工科學(xué)生的基礎(chǔ)課。數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系及空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)為力學(xué)提供描述物體運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象與規(guī)律的語(yǔ)言與工具,反過來,力學(xué)也為數(shù)學(xué)概念的建立提供原形。事實(shí)上,數(shù)學(xué)中有不少概念首先是由力學(xué)家提出,然后再由數(shù)學(xué)家逐步嚴(yán)謹(jǐn)化。例如,牛頓與萊布尼茲分別從運(yùn)動(dòng)學(xué)和幾何學(xué)出發(fā),各自獨(dú)立提出微積分。數(shù)學(xué)的分支向量分析也是如此[2]。

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一,有深刻的幾何、力學(xué)背景,是解決幾何問題、力學(xué)問題的有力工具[3]。向量最初應(yīng)用于力學(xué),被稱為矢量,矢量的稱謂沿用至今。很多力學(xué)量,如力、速度、位移等都是向量。大約公元前350年,古希臘著名學(xué)者亞里士多德(Aritotle,公元前384-前322)就知道了力可以表示成向量,向量一詞來自力學(xué)、解析幾何中的有向線段,最先使用有向線段表示向量的是英國(guó)大科學(xué)家牛頓[4](New ton,1642-1727)。向量的基本概念和基本運(yùn)算都能從力學(xué)中找到背景[5]。如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中有效導(dǎo)入力學(xué)背景?在力學(xué)教學(xué)中有效導(dǎo)出數(shù)學(xué)方法?已引起從事數(shù)學(xué)及力學(xué)教師的注意[6]。傳統(tǒng)理工教育常常將新的課程作為本課程內(nèi)一個(gè)自成系統(tǒng)的知識(shí)體系處理,介紹理論方法與公式時(shí)與學(xué)生已有的知識(shí)聯(lián)系甚少[7]。向量分析與力學(xué)教學(xué)也或多或少存在這種現(xiàn)象。我們知道,任何一種新的信息都會(huì)經(jīng)過學(xué)習(xí)者的心智結(jié)構(gòu)的過濾,這一心智結(jié)構(gòu)綜合了學(xué)生已有的知識(shí),包括信念、先入之見,甚至是錯(cuò)誤、偏見等。如果新的信息與學(xué)習(xí)者的心智結(jié)構(gòu)相一致,就會(huì)被融匯進(jìn)去,事半功倍。如果兩者有抵觸,學(xué)生為了應(yīng)對(duì)考試,可能會(huì)死記硬背,不可能融入自己的心智結(jié)構(gòu)中,在這種情況下,他們是學(xué)不進(jìn)去的,教學(xué)效果也會(huì)大打折扣[8-10]。根據(jù)向量與力學(xué)課程的特點(diǎn),可以在向量與力學(xué)的教學(xué)中搭建一個(gè)橋梁,使學(xué)生從可能熟悉的內(nèi)容與經(jīng)歷出發(fā),以便跟他們已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來,這應(yīng)是承擔(dān)向量、力學(xué)教學(xué)任務(wù)的教師重點(diǎn)研究的問題。新的內(nèi)容的提出應(yīng)該有的放矢,與實(shí)際的應(yīng)用有關(guān),并與已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來,而不是僵硬地提出來。如果學(xué)生能看到他們先前已掌握的知識(shí)或理論有用,可以用來演繹、推理新課程的命題,他們就會(huì)更加有積極性。這樣學(xué)生才會(huì)強(qiáng)烈主動(dòng)地去學(xué),并自主填補(bǔ)知識(shí)的空白,有效地開展研究性學(xué)習(xí)[11]。

下面結(jié)合筆者教學(xué)及研究的經(jīng)歷,從幾個(gè)方面討論力學(xué)與向量的導(dǎo)入導(dǎo)出關(guān)系,探討基于向量與力學(xué)問題的研究性教學(xué)方法。

1 向量的概念拓展及幾何表示

數(shù)學(xué)中,既有大小,又有方向并且服從平行四邊形加法法則的量叫做向量,力學(xué)中常稱為矢量。人們的長(zhǎng)期實(shí)踐證實(shí),力對(duì)物體的作用效應(yīng)取決于力的三要素:①力的大小,②力的方向,③力的作用點(diǎn)。前兩方點(diǎn)說明力是向量,第三方點(diǎn)說明力是定位向量。

在幾何學(xué)中我們知道,帶有方向的線段叫做有向線段。有向線段包含三個(gè)要素:起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度。知道了有向線段的起點(diǎn)、方向和長(zhǎng)度,它的終點(diǎn)就唯一確定。對(duì)照力的三要素,力可以用帶有箭頭的有向線段表示。

綜合上述分析,向量可以用有向線段表示。

在靜力學(xué)中,有一個(gè)著名的原理叫力的可傳性原理。作用于剛體上某一點(diǎn)的力,可沿其作用線移至剛體上任一點(diǎn),而不改變對(duì)剛體的作用效應(yīng)。根據(jù)力的可傳性可知,作用于剛體上的力的三要素是力的大小,方向和作用線。只需要表示出作用線而無需表示出作用點(diǎn)的向量稱為滑移向量。因此作用于剛體上的力是滑移向量。

在剛體靜力學(xué)中,學(xué)習(xí)過力偶矩向量。力偶對(duì)剛體的作用決定于三個(gè)要素:力偶矩的大小、作用面的方位和轉(zhuǎn)向。與力的三個(gè)要素對(duì)照,力偶矩的作用面的方位和轉(zhuǎn)向說明力偶矩的方向,力偶矩對(duì)剛體產(chǎn)生的繞任一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)相同,因此力偶矩向量是自由向量。向量概念被力學(xué)中力的概念引出,又在力學(xué)中得以拓展。

2 力學(xué)背景與幾何意義

2.1 向量加法

圖1

位移是向量,求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法。上面這種求向量和的方法,稱為向量的三角形法則。位移的合成可以看作向量加法三角形法則的力學(xué)模型。

圖2

上述這種求兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則。力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的力學(xué)模型。

向量的和運(yùn)算是向量的一種基本運(yùn)算。在向量和運(yùn)算中導(dǎo)入兩種力學(xué)模型,在力和位移的合成運(yùn)算中導(dǎo)出向量和,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與力學(xué)的和諧韻律。

2.2 向量數(shù)乘

在生活實(shí)踐中,有時(shí)向量與數(shù)量(指實(shí)數(shù))同時(shí)并存。在力學(xué)中有一條著名的定律,牛頓第二定律。表述為:物體的加速度跟所受的合力成正比,跟物體的質(zhì)量(質(zhì)量大于零)成反比,加速度的方向跟合力的方向相同,即

力和加速度都是向量,而質(zhì)量是數(shù)量。從這條定律知道力的方向與加速度方向一致。在此基礎(chǔ)上產(chǎn)生向量的數(shù)乘運(yùn)算。

牛頓發(fā)現(xiàn)了力學(xué)基本定律-牛頓第二定律。給出了向量數(shù)乘的力學(xué)背景,而向量數(shù)乘又拓展了這一力學(xué)背景,使其更具有普遍性。數(shù)學(xué)與力學(xué)的和諧之美在牛頓定律中得到生動(dòng)體現(xiàn)。

2.3 向量的數(shù)量積

功是一個(gè)標(biāo)量,它由力和位移兩個(gè)向量來確定。那么,能否把“功”看成是這兩個(gè)向量的一種運(yùn)算的結(jié)果呢?在此類問題的基礎(chǔ)上,引出向量數(shù)量積的概念。

圖3

功的概念意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了它的力學(xué)意義。功的概念在生活與實(shí)踐中廣泛應(yīng)用。通過這種導(dǎo)入導(dǎo)出式學(xué)習(xí),我們會(huì)深深感到數(shù)學(xué)與力學(xué)如影隨形,無處不在。

2.4 向量的矢量積

向量間還有一種運(yùn)算,也是起源于實(shí)際需要,再看一個(gè)力學(xué)問題,就是力對(duì)點(diǎn)的矩矢的概念。

在此類問題的基礎(chǔ)上,引出向量的矢量積概念。

圖4

圖5

3 向量在力學(xué)中的應(yīng)用舉例

向量作為工具研究幾何問題,開創(chuàng)了研究幾何問題的新方法。建立向量運(yùn)算與幾何圖形之間的關(guān)系后,對(duì)圖形的研究推進(jìn)到了有效能算的水平,從而實(shí)現(xiàn)了綜合幾何到向量幾何的轉(zhuǎn)折。

向量及其基本運(yùn)算都有其力學(xué)背景。在靜力學(xué)中,前面已經(jīng)介紹力,力對(duì)點(diǎn)之矩矢、力偶矩矢都是向量。求合力、合力矩、合力偶矩運(yùn)算就是向量運(yùn)算。力系的簡(jiǎn)化是靜力學(xué)研究的主要內(nèi)容之一,集中體現(xiàn)了向量的平移、向量的合成、向量的相等等運(yùn)算。另外,力學(xué)與幾何密不可分,有些力學(xué)問題本身可歸納為幾何問題。下面介紹4個(gè)例子。

例1 渡河問題。如圖6,一條河的兩岸平行,河的寬度d=200 m,一艘小船從A處出發(fā)到河對(duì)岸,已知船在靜水中的速度是|v1|=4 m/s,水流速度|v2|=-m/s,求要使小船到達(dá)正對(duì)岸B處,小船應(yīng)如何行使,耗時(shí)多少。

解:考慮到水的流速,要使小船到達(dá)正對(duì)岸B處,那么船的速度和水流速度的合速度必須垂直于對(duì)岸,速度合成如圖7。則有

圖6

圖7

此題涉及向量合成運(yùn)算與直角三角形求解。

例-空間作用兩力的夾角問題。如圖8,在正方體剛體

圖8

此題求解空間兩個(gè)的夾角問題涉及向量的數(shù)量積運(yùn)算與立體幾何問題的求解。

圖9

作用在鋼板上的合力方向向上,大小為200 6 kN,作用點(diǎn)為三角形ABC的中心。

此題是求解空間三力合力問題,涉及向量的數(shù)量積運(yùn)算與正三角形求解。

例4 平面一般力系對(duì)不同簡(jiǎn)化中心的主矩之間關(guān)系的向量表示與證明。即證明平面一般力系對(duì)于新簡(jiǎn)化中心O′的主矩′,等于原簡(jiǎn)化中心的主矩上在點(diǎn)O的主矢對(duì)新簡(jiǎn)化中心O′點(diǎn)之矩。

圖10 力系簡(jiǎn)化圖

此例涉及向量的矢量積與向量的三角形法則。

4 結(jié)論

結(jié)合力學(xué)教學(xué)實(shí)踐,總結(jié)出在向量教學(xué)中自然導(dǎo)入力學(xué)背景,在力學(xué)教學(xué)中自然導(dǎo)出向量知識(shí)這種基于問題的研究性教學(xué)方法。指出在向量教學(xué)中自然導(dǎo)入向量概念及基本向量運(yùn)算的力學(xué)背景與幾何意義,在力學(xué)教學(xué)中自然導(dǎo)出向量知識(shí)這種基于問題的研究性教學(xué)方法的重要意義。對(duì)于教授力學(xué)課程的教師,強(qiáng)調(diào)在力學(xué)的相應(yīng)之處導(dǎo)出向量知識(shí)并使其在力學(xué)中拓展與應(yīng)用。這樣才能使課堂生動(dòng),有趣,使知識(shí)有機(jī)銜接。教學(xué)實(shí)踐表明這種教學(xué)模式符合“以人為本,以學(xué)生為中心”的核心教育原則,也符合“學(xué)以致用”的教學(xué)目的。

[1] 單輝祖,謝傳鋒.工程力學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2008:3-4.

[2] 人民教育出版社課程教材研究所.數(shù)學(xué)[M].北京:人民教育出版社,2008:34-35.

[3] 人民教育出版社物理室.物理[M].北京:人民教育出版社,2005:42.

[4] 董克誠(chéng).空間解析幾何教程[M].保定:河北大學(xué)出版社,1981:55-56.

[5] 南京工學(xué)院.理論力學(xué)[M].北京:高等教育出版社,1986: 65-66.

[6] 楊志安,李高峰,賈培強(qiáng).基于數(shù)學(xué)歸納法的“工程力學(xué)”教學(xué)實(shí)踐[J].唐山學(xué)院學(xué)報(bào),2010,23(3):1-4.

[7] 梅向明,黃敬之.微分幾何[M].北京:人民教育出版社,1983.

[8] Bruner,J.S.,The Act of Discovery[J].Harvard Ed-ucational Review,1961,31(1):717.

[9] Biggs,J.,Enhancing Teaching Through Constructive Alignment[J].Higher Education,1996,32(6):1-18.

[10] Felder,R.M.and Brent,R.Effective Strategies for Cooperative Learning[J].Cooperation and Collaboration in College Teaching,2001,10(2):69-75.

[11] 楊志安.基于學(xué)位論文與課程設(shè)計(jì)的“非線性振動(dòng)”課程研究型教學(xué)實(shí)踐[J].唐山學(xué)院學(xué)報(bào),2008,21 (6):1-8.

(責(zé)任編校:李高峰)

Applicationg and Introduction of Vector in Mechanics Teaching

YANG Zhi-an1,XIN Jing2,LIGao-feng1
(1.Key Lab of Structure and Vibration of Tangshan Collage,Tangshan 063000,China;2.College of Mechanical Engineering Hebei Polytechnic University,Tangshan 063000,China)

Vector is a basic mathmatical concept and is closely related with mathmatics.Combined with teaching practice of mechanics,the problem based investagating teaching method is brought forward and applied in mechanics teaching.The examples are given to show how to introduce background of mechanics in vector teaching and how to educe vector know ledge in mechanics teaching.Teaching practice indicates that this teaching mode accords to not only the core“people-oriented and student-centered”education principle,but also the teaching goal of learning for application.

vector;gometry;mechanics;problem-based;investagating teaching

O31;G64-

A

1672-349X(2010)06-0003-05

2010-06-25

楊志安(1963-),男,教授,博士,主要從事機(jī)電耦聯(lián)非線性動(dòng)力學(xué)、結(jié)構(gòu)與振動(dòng)工程的教學(xué)與研究工作。