滕志遠(yuǎn)，張愛(ài)武

(首都師范大學(xué)資源環(huán)境與旅游學(xué)院三維信息獲取與應(yīng)用教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)，北京100048)

單位四元素法在激光點(diǎn)云坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中的應(yīng)用

滕志遠(yuǎn)，張愛(ài)武

(首都師范大學(xué)資源環(huán)境與旅游學(xué)院三維信息獲取與應(yīng)用教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)，北京100048)

將點(diǎn)云配準(zhǔn)過(guò)程中的單位四元素法應(yīng)用于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，提出一種在求解坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過(guò)程中將旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量轉(zhuǎn)化為求解多元函數(shù)極小值的方法，直接解出坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量。與目前常用的一些方法相比，具有適應(yīng)大旋角、不受平移參數(shù)影響、計(jì)算簡(jiǎn)便快速、便于程序?qū)崿F(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。最后驗(yàn)證該方法的精度，并用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)其可行性。

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換;七參數(shù);單位四元素法

一、引 言

隨著測(cè)量技術(shù)的發(fā)展，三維激光掃描的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。三維激光掃描儀受外界環(huán)境影響小，能夠快速、連續(xù)地獲取數(shù)據(jù)，具有精度高、適應(yīng)性強(qiáng)、應(yīng)用廣泛、操作簡(jiǎn)便等諸多優(yōu)點(diǎn)。目前，三維激光掃描技術(shù)已在工程測(cè)量、地形測(cè)量、交通現(xiàn)場(chǎng)勘測(cè)、橋梁變形監(jiān)測(cè)、古建筑和文物保護(hù)、數(shù)字城市等多個(gè)領(lǐng)域得到應(yīng)用，取得了很好的效果［1］。

激光掃描儀獲取的數(shù)據(jù)所采用的坐標(biāo)系統(tǒng)是它自己定義的局部三維直角坐標(biāo)系，而不是各種實(shí)際中廣泛采用的坐標(biāo)系，如1954北京坐標(biāo)系［1］。而且在不同的站點(diǎn)，掃描儀的局部坐標(biāo)系也是不同的。這樣既造成各站點(diǎn)的點(diǎn)云需要配準(zhǔn)［2］，又使其應(yīng)用范圍受到限制。如果能將點(diǎn)云坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為實(shí)際中廣泛應(yīng)用的坐標(biāo)，既能實(shí)現(xiàn)點(diǎn)云的配準(zhǔn)，又能擴(kuò)大點(diǎn)云的應(yīng)用范圍。本文提出了一種將三維激光掃描儀的點(diǎn)云數(shù)據(jù)從其局部坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到其他三維坐標(biāo)系的方法。

二、轉(zhuǎn)換模型

傳統(tǒng)的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法，使用的是線性化的布爾沙模型［3］。在該模型中，需要求解3個(gè)旋轉(zhuǎn)角度參數(shù)，3個(gè)平移參數(shù)，1個(gè)尺度參數(shù)，共7個(gè)參數(shù)［4］。也稱為七參數(shù)法。轉(zhuǎn)換公式如下

其中XT=［X Y Z］T，為轉(zhuǎn)換后坐標(biāo);ΔX=［Δx Δy Δz］T，為平移向量，X=［x y z］T，為待轉(zhuǎn)換坐標(biāo);α、β、θ分別為X、Y、Z軸的旋轉(zhuǎn)角度，K為尺度參數(shù)。

如果7個(gè)參數(shù)已知，即可按照布爾莎模型公式，實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換。但在實(shí)際應(yīng)用中，這7個(gè)參數(shù)是未知的，可如果知道3個(gè)重合點(diǎn)［5］就可以用最小二乘法擬合出七參數(shù)。擬合七參數(shù)的過(guò)程一般是對(duì)旋轉(zhuǎn)矩陣進(jìn)行線性化后再計(jì)算七參數(shù)，但這種方法只能針對(duì)微小旋轉(zhuǎn)角的情況。當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度較大時(shí)，會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，損害坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度［6］。

為能更精確地求解七參數(shù)，科技工作者提出很多方法。如陳宇提出了非線性最小二乘的方法求解七參數(shù)，解決了大旋角情況下七參數(shù)求解［6］問(wèn)題;陸玨等提出了基于總體最小二乘的方法求解七參數(shù)［7］;這些方法都是基于最小二乘擬合的思想，原理比較復(fù)雜。

本文借鑒了點(diǎn)云配準(zhǔn)中的思想，將配準(zhǔn)過(guò)程中單位四元素方法應(yīng)用于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。

三、單位四元素法

配準(zhǔn)的過(guò)程是將不同站點(diǎn)點(diǎn)云統(tǒng)一到同一個(gè)坐標(biāo)系下的過(guò)程。因而點(diǎn)云配準(zhǔn)的過(guò)程其實(shí)也是點(diǎn)云的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的過(guò)程。

單位四元素法的思想［8］如下：

若目標(biāo)點(diǎn)集A對(duì)應(yīng)于參考點(diǎn)集X，對(duì)應(yīng)點(diǎn)集滿足：兩個(gè)點(diǎn)集中點(diǎn)的個(gè)數(shù)相等，點(diǎn)集中的點(diǎn)要一一對(duì)應(yīng)。設(shè)旋轉(zhuǎn)變換向量為單位四元數(shù)

可得到3×3旋轉(zhuǎn)矩陣R(qR)。設(shè)平移變換向量為

可得完全坐標(biāo)變換向量q=［qR|qT］。則求對(duì)應(yīng)點(diǎn)集間的最佳坐標(biāo)變換向量問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為q，即使得函數(shù)

最小化的問(wèn)題。

在單位四元素法中，至少需要知道3對(duì)一一對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)。

算法過(guò)程［2］如下：

1)分別求重心：原始點(diǎn)重心為

轉(zhuǎn)換后點(diǎn)重心為

其中，n代表有n對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，ai、xi為帶有x、y、z坐標(biāo)的點(diǎn)。

2)構(gòu)造協(xié)方差矩陣為

3)構(gòu)造4×4矩陣為

其中，tr(R(c))是矩陣R(c)的跡;I3是單位3×3單位矩陣;Δ為

其中

4)計(jì)算4×4矩陣R(q)的特征值和特征向量，其中最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量即為單位四元數(shù)［q0q1q2q3］T。

5)計(jì)算旋轉(zhuǎn)矩陣為

其中，R11=q20+q21－q22－q23;R12=2(q1q2－q0q3);

R13=2(q1q3+q0q2);R21=2(q1q2+q0q3);

R22=q20－q21+q22－q23;R23=2(q2q3－q0q1);

R31=2(q1q3－q0q2);R32=2(q2q3+q0q1);

R33=q20－q21－q22+q23。

6)計(jì)算平移矩陣為

至此，計(jì)算出了旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量，即可實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。

四、測(cè)試試驗(yàn)

本文選取6個(gè)點(diǎn)，其中3個(gè)點(diǎn)既有在掃描儀下的坐標(biāo)，又有在轉(zhuǎn)換后坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。這3個(gè)點(diǎn)是用來(lái)求旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量的。另外3個(gè)點(diǎn)則已知在掃描儀下的坐標(biāo)。

由于是直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，設(shè)定尺度參數(shù)k=0，1～3號(hào)點(diǎn)原始坐標(biāo)分別為：(32.503，163.608，0.029)，(31.534，167.955，－1.164)，(25.723，169.838，5.343)。

4～6號(hào)點(diǎn)原始坐標(biāo)分別為：(72.356，163.140，1.948)，(65.148，175.564，12.566)，(85.720，155.195，20.232)。

表1是模擬測(cè)試試驗(yàn)的結(jié)果。表1中的理論值是用七參數(shù)轉(zhuǎn)換公式，將4～6點(diǎn)坐標(biāo)和參數(shù)代入七參數(shù)轉(zhuǎn)換公式算出的值。轉(zhuǎn)換值是4～6號(hào)點(diǎn)的原值代入單位四元素法算出的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量得出的值。此處的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量是利用1～3號(hào)點(diǎn)原坐標(biāo)值和經(jīng)七參數(shù)轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)值算出。

如表1所示，在第一組和第二組中，平移向量參數(shù)都是確定的，兩組數(shù)據(jù)分別試驗(yàn)了在不同旋角情況下坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換精度。由理論值和轉(zhuǎn)換值的對(duì)比可以看出，不論是大旋角還是小旋角，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的誤差都很小，最大的誤差也在10－6數(shù)量級(jí)，可見(jiàn)本文算法在旋角很大的情況下，也有很高的轉(zhuǎn)換精度。

第一組和第三組同樣有相同的平移參數(shù)，只是三個(gè)坐標(biāo)軸旋角值做了對(duì)調(diào)。由表中數(shù)據(jù)可以看出，本文算法對(duì)各個(gè)坐標(biāo)軸的旋角大小無(wú)特殊要求，不論旋角是大還是小，算法均有很高的轉(zhuǎn)換精度。在第一組和第四組中，有相同旋轉(zhuǎn)參數(shù)，不同的平移參數(shù)。這種情況下，誤差仍然很小，與前面的誤差相比沒(méi)有大的變化，說(shuō)明平移參數(shù)的大小對(duì)算法幾乎沒(méi)影響。將第二、三、四組的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，在不同的旋角和不同的平移參數(shù)下，理論值和轉(zhuǎn)換值的誤差依然在10－6數(shù)量級(jí)。

表1 測(cè)試試驗(yàn)

綜合以上的數(shù)據(jù)對(duì)比可以得出，本文算法在大旋角的情況下依然適用，且保持了很高的精度。旋角的大小和平移向量的大小對(duì)算法的精度幾乎無(wú)影響。

本文的算法編程實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單易行，運(yùn)算快速。在CPU為奔騰4，主頻為3.0 GHz，內(nèi)存512 MB的硬件條件下，用VC 6.0編譯，實(shí)現(xiàn)741 389個(gè)點(diǎn)的轉(zhuǎn)換并將結(jié)果輸出到磁盤上，用時(shí)22 s，而實(shí)現(xiàn)59 379個(gè)的點(diǎn)轉(zhuǎn)換并輸出到磁盤僅用時(shí)約1 s。

五、實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)

為檢測(cè)實(shí)際效果，我們選取了一組實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)用來(lái)檢驗(yàn)算法。實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)是將一段公路分為兩個(gè)站點(diǎn)進(jìn)行掃描。在每一個(gè)站點(diǎn)的掃描前，先放置五個(gè)靶標(biāo)。靶標(biāo)由于反射率較高，在后處理軟件中容易識(shí)別，并取得該處靶標(biāo)在掃描儀坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。每一站掃描完畢，用GPS測(cè)出靶標(biāo)的全局坐標(biāo)(這里將全局坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為1954北京坐標(biāo)系)。這樣在每站點(diǎn)云數(shù)據(jù)上，就至少有3對(duì)點(diǎn)可用來(lái)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系。

如圖1～圖2所示的是采用本文的算法轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)點(diǎn)的圖像。圖中深灰色的是一站數(shù)據(jù)，淺灰色的是另一站數(shù)據(jù)。為了突出顯示邊緣，前期對(duì)獲取的未轉(zhuǎn)換的數(shù)據(jù)進(jìn)行了裁剪處理。裁剪處理過(guò)的點(diǎn)云數(shù)據(jù)不會(huì)影響轉(zhuǎn)換的精度。

由圖1可以看出，淺灰色點(diǎn)正確地處在深灰色點(diǎn)的缺口處，兩站數(shù)據(jù)正確地拼接在一起，形成了完整的路面。說(shuō)明轉(zhuǎn)換后的點(diǎn)具有正確的坐標(biāo)值。

圖1 轉(zhuǎn)換完的兩站數(shù)據(jù)

圖2是局部放大效果。由圖中的粗線條可以看出，兩站數(shù)據(jù)拼接的效果很好，說(shuō)明本文算法轉(zhuǎn)換的坐標(biāo)精度是較高的。

圖2 拼接處的放大效果

隨著三維激光掃描技術(shù)應(yīng)用范圍的日益擴(kuò)大，傳統(tǒng)的逐站點(diǎn)配準(zhǔn)點(diǎn)云數(shù)據(jù)的方法由于需要人工手動(dòng)選點(diǎn)，效率低，且精度不能保證，故而難以適應(yīng)多站點(diǎn)、大數(shù)據(jù)量的配準(zhǔn)情況。而采用本文提出的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法，既能實(shí)現(xiàn)點(diǎn)云的快速配準(zhǔn)，又能保證精度，而且可以轉(zhuǎn)換成1954北京坐標(biāo)等應(yīng)用范圍比較廣泛的坐標(biāo)，也擴(kuò)大了三維激光點(diǎn)云在實(shí)際中的應(yīng)用。

六、結(jié)束語(yǔ)

七參數(shù)線性模型無(wú)法適用于旋角較大的情況。而本文提出的算法在大旋角的情況下仍然有很高的精度，受平移參數(shù)的影響也很小。算法實(shí)現(xiàn)快速，在掃描密度不高的情況下能實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)轉(zhuǎn)換。本算法較適合應(yīng)用于將激光掃描儀數(shù)據(jù)進(jìn)行三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的情況。

［1］ 楊偉，劉春，劉大杰.激光掃描數(shù)據(jù)三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度分析［J］.工程勘察，2004(3)：61-63.

［2］ 戴靜蘭，陳志楊，葉修梓.ICP算法在點(diǎn)云配準(zhǔn)中的應(yīng)用［J］.中國(guó)圖象圖形學(xué)報(bào)，2007，12(3)：517-521.

［3］ 盧忠，歸友龍，劉勇.基于總體最小二乘法的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)解算［J］.山西建筑，2009，35(36)：359-360.

［4］ 張宏.布爾莎-沃爾夫轉(zhuǎn)換模型的幾何證明［J］.測(cè)繪與空間地理信息，2006，29(2)：46-51.

［5］ 柯金樸.空間三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換原理及實(shí)現(xiàn)［J］.江西測(cè)繪，2008(3)：16-20.

［6］ 陳宇，白征東.基于非線性最小二乘算法的空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換［J］.大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2010(2)：129-132.

［7］ 陸玨，陳義，鄭波.總體最小二乘方法在三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中的應(yīng)用［J］.大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2008，28(5)：77-81.

［8］ BESL P J，MCKAY N D.A Method for Registration of 3D Shapes［J］.IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence，1992，14(2)：239-256.

Application of Unit Four Elements Method to Laser Point Cloud Coordinate Transformation

TENG Zhiyuan，ZHANG Aiwu

0494-0911(2010)11-0007-04

P237

B

2010-07-13

滕志遠(yuǎn)(1984—)，男，山東威海人，碩士生，主要研究方向?yàn)槿S信息獲取與應(yīng)用。