(1.解放軍電子工程學院，合肥 230037；2. 解放軍61764部隊，海南 三亞 572013)

1 引 言

三站時差定位是一種無源定位方法，利用目標位于地球表面的約束，結合三站分別對目標進行時差測量形成的兩路時差數(shù)據，實現(xiàn)對目標的三維定位。因其具有無源被動工作、定位精度高[1-2]等優(yōu)點，在雷達、無線通信定位[3]、水聲定位[4]等領域得到了廣泛應用。

對于時差定位系統(tǒng)，目標的定位誤差是與目標相對于測量站的幾何關系密切相關的[1,5]。因此，在時差測量誤差及測量站站址誤差等誤差因素一定的情況下，對測量站布站進行優(yōu)化，是提高定位精度的有效手段。目前的文獻多是對時差定位精度與布站關系的研究，定性地選擇某種布站形式為最優(yōu)布站[5-6]。本文以提高一定的目標區(qū)域的整體定位精度為目標，運用基于多目標規(guī)劃的最優(yōu)化算法建立數(shù)學模型，構造最小最大評價函數(shù)，以使目標區(qū)的最大水平定位精度因子(HDOP)最小的布站為最優(yōu)布站。

2 基本原理

2.1 定位模型

假設3個測量站在地心直角坐標系下的坐標分別為xi,yi,zi，i=0,1,2，接收來自位于地球表面某一坐標x,y,z的目標點信號，可以得兩路時差數(shù)據對應于兩個時差方程，聯(lián)立WGS-84地球表面方程，即可建立目標點定位方程組[7-8]：

(1)

圖1 三站時差定位系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic of the tri-station TDOA location system

2.2 多目標規(guī)劃簡介[9]

多目標規(guī)劃是一種常見的最優(yōu)化模型，相對于單目標規(guī)劃問題，其有多個目標函數(shù)。數(shù)學模型為

minF(X)=min[f1(X),f2(X),…,fn(X)]
s.t.G(X)≤0

(2)

式中，X=[x1,x2,…,xm]為決策變量；G(X)=[g1(X),g2(X),…,gp(X)]為約束條件；gi(X)(i=1,2,…,p)可以是線性函數(shù)，也可以為非線性函數(shù)，當p=0時，為無約束多目標規(guī)劃。

3 水平定位精度因子(HDOP)

定位精度是定位系統(tǒng)最重要的指標之一。這里，以水平定位精度因子(HDOP)作為定位精度的度量準則。

對式(1)的前兩式兩邊取微分可得[8]：

c·dΔti+ui·dXi-u0·dX0(i=1,2)

(3)

其中：

對式(1)最后1式兩邊微分[8]：

(4)

其中：

k=1/(1-e2)2

結合式(3)與式(4)，有：

A·dX=c·dΔT+dU

(5)

其中：

由式(5)可得：

dX=A-1(c·dΔT+U)

設時差測量誤差、各測量站位置誤差均值為0，且不相關，則目標輻射源的定位誤差協(xié)方差矩陣為

PdX=EdXdXT=

A-1c2EdΔTdΔTT+EdUdUTA-1T

(6)

式(6)得到的是地固直角坐標系中定位的三維定位誤差協(xié)方差矩陣，考慮到一般對輻射源的定位精度指標是指在大地坐標下的經緯高的誤差。因此需將此協(xié)方差矩陣轉換到大地坐標下[10]：

PdL=J·PdX·JT

(7)

其中：

式(7)中PdL中PdL(1,1)、PdL(2,2)分別為經度、緯度分量的定位誤差方差，將其轉換為距離的方差分別為RL、RB。

定義水平方向的定位精度因子：

(8)

以此HDOP值作為定位精度的度量準則。

4 基于多目標規(guī)劃的布站優(yōu)化

4.1 布站優(yōu)化原則

這里考慮的布站優(yōu)化問題是在一定的布站區(qū)域里，合理布設3個測量站的位置，使定位系統(tǒng)對于一定目標區(qū)域的整體定位精度達到最優(yōu)。因此，布站優(yōu)化問題主要考慮以下幾點原則：

(1)3個測量站要布設在一定的布站區(qū)域內；

(2)3個測量站之間的距離滿足通視條件；

(3)3個站的覆蓋范圍均能覆蓋整個目標區(qū)域；

(4)使定位系統(tǒng)對目標區(qū)域的整體定位精度最優(yōu)。

4.2 布站優(yōu)化問題的多目標規(guī)劃評價函數(shù)構造

對于多目標規(guī)劃問題，其求解的主要思路是設法將多目標問題轉化為單目標問題，然后以單目標規(guī)劃的求解方法求解，而轉化的關鍵是依據決策者的需求，合理構造評價函數(shù)[9]。

結合4.1節(jié)提出的布站優(yōu)化問題需考慮的原則，這里選擇最小最大(minimax)法構造評價函數(shù)。這種決策方法是采取穩(wěn)妥的保守策略，即在最壞的情況下，尋求最好的結果。按照此策略，構造如下評價函數(shù)：

φ(X)=max[f1(X),f2(X),…,fn(X)]=

(9)

這樣，就將多目標規(guī)劃問題轉化為單目標規(guī)劃問題，目標函數(shù)可寫為

(10)

式中，D=X|G(X)≤0，為決策變量的可行域。

4.3 基于多目標規(guī)劃的布站優(yōu)化

按照4.2節(jié)介紹的最小最大評價函數(shù)構造法，可將基于多目標規(guī)劃布站優(yōu)化問題，寫成如下的數(shù)學模型。

假設目標區(qū)域范圍為：經度方向區(qū)間lmin,lmax；緯度方向區(qū)間wmin,wmax；三站高度相同，均為h。

目標函數(shù)：

min{max[HDOP1(X),HDOP2(X),…,HDOPn(X)]}=

(11)

其中，X=[l1,w1,l2,w2,l3,w3]為決策變量；li(i=1,2,3)為待優(yōu)化3個測量站經度；wi(i=1,2,3)為緯度；n表示將目標區(qū)域按一定規(guī)則劃分為n部分，當n足夠大時，可認為目標區(qū)域由n個目標點構成。

HDOPi(X)(i=1,2,…,n)表示三站坐標為某X=[l1,w1,l2,w2,l3,w3]時，對第i個目標的水平定位精度因子的大小。

約束條件[11]：

(12)

其中：

上述布站優(yōu)化模型基本思想是使目標區(qū)域內最大的定位誤差(這里為HDOP)最小，這樣就可以保證目標區(qū)域的整體定位精度，同時，附加約束條件，以滿足4.1節(jié)提出的布站優(yōu)化原則。

求解上述模型的算法是對布站區(qū)域內的每一種布站形式進行循環(huán)搜索，對于每一種布站形式首先判斷其是否滿足約束條件，若不滿足，則直接進入下一種布站形式的搜索判斷；若滿足，則計算其對目標區(qū)域內所有點的HDOP值，取其中最大的HDOP值，并記錄相應的布站形式(決策變量X，即各測量站坐標)。而后進入下一種布站形式的計算，如此循環(huán)，取所有保存的最大HDOP值最小的一種布站形式為滿足要求的最優(yōu)布站。

5 仿真分析

仿真實驗假設目標區(qū)域的范圍為東經121.4°～122.6°，北緯22.0°～22.8°，目標高程為0；布站區(qū)域的范圍為東經121.0°～123.0°，北緯23.0°～24.0°，高程2 000 m。

將目標區(qū)域按經、緯度步長均為0.05°劃分為n′個區(qū)域：

n′=[(122.6-121.4)/0.05]×

[(22.8-22.0)/0.05]=24×16

則可取n=25×17=425個點表示整個目標區(qū)域。

同樣將布站區(qū)域按照經、緯度步長均為0.000 01度劃分為m′個區(qū)域：

m′=[(123.0-121.0)/0.00001]×

[(24.0-23.0)/0.00001]=

200000×100000

則可取m=200001×100001種布站形式。

取滿足約束條件的初值X0：

X0=[122.300,23.050,121.600,23.080,

121.950,23.125]

運用上述基于多目標規(guī)劃的布站優(yōu)化方法，對m種布站形式逐一搜索判斷，可得優(yōu)化結果X*：

X*=[122.920,23.000,121.080,23.000,

122.054,23.467]

設定位系統(tǒng)的時差測量誤差為10 ns，測量站在大地直角坐標系下x、y、z各方向誤差均為5 m。圖2～4分別為所設初值X0對應的HDOP等值線分布圖、最優(yōu)布站X*的HDOP等值線分布圖及覆蓋范圍。圖中五角星表示3個測量站的位置，陰影區(qū)域表示目標區(qū)域，由三角形圍成的矩形框表示布站區(qū)域的范圍。圖2和圖3中曲線為HDOP等值線，圖4中曲線為三站各自的覆蓋范圍。

圖2 布站初值的HDOP等值線分布Fig.2 Distribution of HDOP isoline of the initial station layout

圖3 優(yōu)化布站的HDOP等值線分布Fig.3 Distribution of HDOP isoline of the optimal station layout

圖4 優(yōu)化布站的覆蓋范圍Fig.4 Overlay range of the optimal station layout

由圖2～4可以看出，與所設初值，即初始布站形式相比，運用基于多目標規(guī)劃的布站優(yōu)化方法所得的布站優(yōu)化結果，目標區(qū)域的整體定位精度明顯提高，同時又保證了測量站對整個目標區(qū)域的覆蓋。

6 結束語

本文以水平定位精度因子(HDOP)為定位精度的度量準則，基于提高定位精度的考慮，提出了一種基于多目標規(guī)劃的三站時差定位布站優(yōu)化方法。仿真結果表明，運用該方法對測量站布站進行優(yōu)化，效果明顯，既能保證系統(tǒng)覆蓋范圍、各站間通視等約束條件，同時又能使目標區(qū)域的整體定位精度達到最優(yōu)。在實際應用中，可根據經驗信息，各站可設不同的小范圍搜索區(qū)域，以提高優(yōu)化運算效率。

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