靳文強(qiáng) 陳麗萍

蘭州交通大學(xué)招生就業(yè)處(甘肅蘭州，730070) 中鐵十九局集團(tuán)有限公司(遼寧遼陽(yáng)， 111000)

劉京學(xué)

蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院(甘肅蘭州，730070)

引言

滑移沖擊荷載作用下矩形復(fù)合板的動(dòng)力響應(yīng)是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，對(duì)于運(yùn)動(dòng)荷載作用下梁的動(dòng)力分析，F(xiàn)ryba、Dieterma和周華飛等人[1]進(jìn)行了深入研究，取得了很多有益成果。成祥生[2]、黃曉明[3]及候蕓等人[4]用不同的方法研究了一些特殊荷載作用下板的動(dòng)力問(wèn)題，國(guó)外學(xué)者Kim 等人[5]和Wu 等人[6]對(duì)動(dòng)力荷載作用下無(wú)窮大板的問(wèn)題進(jìn)行了較為深入的研究，Karas[7]就對(duì)板的撞擊問(wèn)題進(jìn)行了研究。Vaziri[8-9]還采用超有限元(super finite element)法分析了復(fù)合層板和圓柱殼受飛行物撞擊的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題。

對(duì)于工程實(shí)踐中的板所承受的沖擊荷載彈性板的動(dòng)力響應(yīng)分析，運(yùn)用薄板橫向振動(dòng)的基本微分方程和三角函數(shù)級(jí)數(shù)展開(kāi)法，對(duì)常速運(yùn)動(dòng)面荷載作用下粘彈性地基板進(jìn)行了分析，求得了板的動(dòng)力響應(yīng)的解析解。

1 基本方程及計(jì)算模型

1.1 基本方程

薄板橫向振動(dòng)的基本微分方程:

(1)

式中ρ——板件質(zhì)量密度;

q——單位面積所承受橫向動(dòng)載荷;

E——彈性模量;

h——板厚;

μ——泊松比。

這是關(guān)于撓曲面函數(shù)w(x,y,t)的四階偏微分方程，薄板小撓度振動(dòng)的基本問(wèn)題歸結(jié)為在給定的動(dòng)荷載及邊界條件和初始條件下定解方程。

1.2 邊界條件

薄板振動(dòng)所滿足的邊界條件和薄板靜力問(wèn)題一樣，先列出平行x軸的直線邊y=y0的邊界條件(平行y軸邊界也類似)，然后給出斜邊及曲線邊的邊界條件。若平板邊界完全不受力，應(yīng)該有邊緣上各點(diǎn)彎矩、扭矩、剪力為零的三個(gè)條件，即

(My)y=y0=0，(Myx)y=y0=0，(Qy)y=y0=0

(2)

由于基本方程(1)為四階偏微分方程，只能每邊滿足2個(gè)邊界條件，而不能滿足上述3個(gè)力邊界條件。為此采用凱爾文—克希霍夫(Kelvin—Kirchhoff)合力邊界條件:

(3)

(4)

顯然對(duì)矩形板振動(dòng)的研究，最方便是采用直角坐標(biāo)系(圖1)的薄板橫向振動(dòng)基本方程(1)，其相應(yīng)自由振動(dòng)方程為:

(5)

圖1 薄板橫向振動(dòng)直角坐標(biāo)模型

對(duì)于固有振動(dòng)的矩形板振型方程:

(6)

引入特征方程[10]:

(7a)

式中a——板長(zhǎng);

b——板寬;

m、n——階次。

若要對(duì)板上任一點(diǎn)上式都成立，并有振型非零解(A≠0)之條件為:

(7b)

可得四邊簡(jiǎn)支矩形板之第(m、n)階固有頻率公式:

(8)

與此頻率相應(yīng)的四邊簡(jiǎn)支矩形板之第(m、n)階振型為:

(9)

2 實(shí)例計(jì)算

工程上應(yīng)用于氣動(dòng)載荷問(wèn)題模型。假定有一激發(fā)，其波形為階梯函數(shù)，斜掃過(guò)板面[10](圖1)，波陣面與x軸夾角為β：

(10)

式中d——激波在x軸方向掃過(guò)的距離；

p0——沖擊荷載峰值。

有廣義力(d≤a)

(11)

對(duì)于四邊簡(jiǎn)支板，可算得：

當(dāng)dtgβ≤b,

(12a)

當(dāng)dtgβ>b,

(12b)

(13)

在動(dòng)力響應(yīng)解中，對(duì)于靜止初始條件，勻速前進(jìn)的擊波，d(t)=vt，v為荷載移動(dòng)速度，有解:

(14)

(15)

ZG10Cr13不銹鋼屈服強(qiáng)度350MPa，抗拉強(qiáng)度550MPa，采用紫銅作復(fù)板，彈性模量E=200 GPa，采用2#巖石炸藥，裝藥密度0.7g/cm3進(jìn)行爆炸焊接界面基板的應(yīng)力場(chǎng)模擬計(jì)算，基板ZG10Cr13不銹鋼的泊松比μ=0.30，分別計(jì)算沖擊載荷在板的端部和中部的彎曲變形情況(圖2)和應(yīng)力場(chǎng)分布(圖3)。

圖2 板的變形圖

圖3 板的應(yīng)力分布圖

通過(guò)對(duì)板的變形圖和應(yīng)力場(chǎng)分布圖分析發(fā)現(xiàn)，板的變形和應(yīng)力均對(duì)稱分布于板的幾何中心，荷載作用位置對(duì)變形和應(yīng)力的影響顯著，不論荷載作用在什么位置，板的幾何中心和邊緣部分相應(yīng)的撓度變形和應(yīng)力值相對(duì)其它區(qū)域較小，而在板的幾何中心線和邊界之間的中部相應(yīng)的撓度變形和應(yīng)力值相對(duì)其它區(qū)域較大；在板的邊界和幾何中心線位置擾度變形和應(yīng)力值變化相對(duì)均勻，而在板的幾何中心線和邊界之間的中部相應(yīng)的撓度變形和應(yīng)力值相對(duì)集中。

3 結(jié)論

(1)對(duì)常速運(yùn)動(dòng)面荷載作用下粘彈性地基板進(jìn)行了分析，求得了板的動(dòng)力響應(yīng)的解析解，該模型能用來(lái)模擬移動(dòng)沖擊荷載作用于薄板時(shí)的動(dòng)力反應(yīng)、分析評(píng)價(jià)基板屈服狀態(tài)。

(2) 移動(dòng)沖擊荷載的速度對(duì)板的變形和應(yīng)力均有一定的影響，板的變形和應(yīng)力均對(duì)稱分布于板的幾何中心，在沖擊荷載的速度超過(guò)某一值時(shí)，板的變形將出現(xiàn)較為明顯的振顫現(xiàn)象。

[1] 周華飛，蔣建群，張土喬. 移動(dòng)荷載下Kelvin 地基上無(wú)限長(zhǎng)梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)[J]. 浙江大學(xué)學(xué)報(bào)(工學(xué)版)，2004， 38(10): 1328-1333.

[2] 成祥生. 彈性地基板由運(yùn)動(dòng)荷載引起的反應(yīng)[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，1987，8(4): 347-355.

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[4] 侯蕓，孫四平，郭忠印. 移動(dòng)荷載下剛性路面響應(yīng)的參數(shù)影響分析[J]. 同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，31(1): 31-35.

[5] 孫璐，鄧學(xué)均. 彈性基礎(chǔ)無(wú)限大板對(duì)移動(dòng)荷載的響應(yīng)[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào)，1996，28(6): 756-760.

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