(空軍工程大學 導彈學院，陜西 三原 713800)

1 引 言

近二十多年來，信號波達方向(DOA)估計研究受到廣泛重視，在雷達、聲納、通信中尤為重要?；谛盘栕涌臻g的MUSIC(Multiple Signal Classification)算法和ESPRIT算法是目前比較好的DOA估計算法。MUSIC算法利用陣列協方差矩陣R的噪聲子空間和信號子空間的正交性進行DOA估計，對于非相干或相關程度較小的空間信源具有良好的分辨性能。然而，當信號相干時，信號源的協方差矩陣就會變成奇異陣，信號子空間將向噪聲子空間擴散，這時，MUSIC算法的分辨性能就會惡化甚至失效。

空間平滑最初是由Evans[1]提出來的，后來Shan[2]進行了完善，其基本思想是把主陣劃分為若干相重疊的子陣列，然后對子陣的協方差矩陣求平均(各子陣列的向量以各自的第一個陣元為基準，兩相干信號的相位差由于波達方向不同，使空間平滑產生隨機相位調制，因而可以對引起秩虧缺的信號解相關)。利用這種方法，我們可以得到滿秩的協方差矩陣，然后用MUSIC算法。在這些傳統(tǒng)的方法中，能處理的相干源最大范圍是2N/3(N為陣列的陣元數)[3-4]，可檢測相干源數目與子陣孔徑大小成為矛盾，隨后提出一些增強平滑技術方法[5]和利用互相關矩陣信息的前后向平滑[6]等在一定程度上增強了對空間相干源的解相關能力，但計算量比較大。Nizar在文獻[7]中提出C-SPRIT進行非圓信號如二進制相位鍵控(BPSK)和M進制幅度鍵控(MASK)DOA估計，隨后又利用C-SPRIT思想，提出CMUSIC方法[8]來解決非圓相干信號DOA估計，利用N個陣元估計N-1個非圓相干信號DOA，但也只是使信號源有相干變?yōu)橄嚓P，并沒有徹底解相關。利用本文的算法，能處理的最大相干源數目為N-1(為全陣的自由度)，而且在處理SNR較低或波達角相鄰近時的相干源也有效。

2 算法分析

假設一個N元等距線陣(ULA),假定P個窄帶平面信號源波達方向角分別為θ1,θ2,…,θp,那么，N個陣元接收的信號矢量可以寫為

(1)

式中，sk(t)代表第k個信號，其源波達角為θk；a(θk)表示N元陣的導向矢量；n(t)是N×1的均值為零、方差為σ2的加性高斯白噪聲。陣列導向矢量可以寫成

(2)

式中，上標T代表轉置，

(3)

式中，λ是波長，d是相鄰陣元的間距，N×P的陣列響應矩陣和P×1的信號矢量可以寫為

A(θ)=(a(θ1),a(θ2),…,a(θP))

(4)

和

S(t)=(s1(t),s2(t),…,sP(t))T

(5)

接收到的信號矢量可以寫為

X(t)=A(θ)S(t)+n(t)

(6)

圖1 陣元

本文方法用N元子陣，每個子陣的陣元數等于全陣列N，由圖1，子陣1寫為

Y1(t)=A(θ)S(t)+n1(t)

(7)

式中，

(8)

(9)

(10)

(11)

A(θ)Φ*S(t)+n2(t)

(12)

式中，

(13)

(14)

子陣3可以寫為

A(θ)(Φ*)2S(t)+n3(t)

(15)

A(θ)(Φ*)N-1S(t)+nN(t)

(16)

式中，

(17)

(18)

AH(θ)+σ2I

(19)

式中，上標H表示對矩陣進行共軛轉置操作，RS=E[s(t)s(t)H]是P×P的信號協方差矩陣，如果存在相干信號，Rs的秩小于P，那么我們可以用R1,R2,…,RN的平均得到滿秩的矩陣。

(20)

考慮一個8元ULA陣，傳統(tǒng)的方法讓每個子陣的陣元數為6，我們可以發(fā)現子陣4和子陣5在最后平均得到協方差矩陣時并沒有被用到，并且其它子陣的陣元數也少于8(全陣的陣元數)。很明顯，本文的方法比傳統(tǒng)方法利用了更多的資源。

圖2 本文方法與前后向平滑方法在子陣陣元數上的比較(在子陣6中y1等于

3 仿真與分析

我們用幾個仿真例子來證明本文所提方法的有效性，統(tǒng)一使用8元陣，快拍數為500。

仿真1，考慮3個等能量的相干源，DOA分別為θ1=-40°、θ2=-20°、θ3=0°，信噪比(SNR)為-10 dB。仿真結果如圖3所示。其中，圖3(a)中很難精確地在-40°～-20°和0°觀察到峰值，多次實驗結果的DOA峰值都不一樣。然而，在圖3(b)中我們可以清楚地看到3個尖峰，并且DOA估計比較準確，多次實驗的峰值位置都基本相同。這證明了本文方法在信噪比較低情況下的有效性。

(a)前后向平滑方法

(b)本文方法圖3 仿真結果

仿真2,對兩個等功率相干源，信噪比為5 dB,其波達角是θ1=10°、θ2=15°，分別作50次蒙特卡羅仿真。子陣陣元數是7，為前兩種方法條件下兩個相干源下最多的陣元數。比較前后向平滑以及加權前后向平滑，兩種方法中峰值的位置都偏離了真實值。如圖4所示，因本文所提出的方法每個子陣陣元數等于8，而其它的方法所涉及子陣陣元數小于8，所以此方法更為精確。從圖4中可以看出，本文所提出的方法估計的DOA峰值位置在真實值，而其它兩種方法則偏離較大。

圖4 波達角分別為10°、15°,信噪比為5 dB時仿真比較圖

在下面的仿真中，分別對波達角為10°、15°，信噪比是10 dB的等功率相干源求均方根誤差，在不同的相關系數條件下進行仿真，結果如圖5所示，可以看出本文方法均方根誤差比前后向平滑以及加權前后向平滑均方根誤差都小。同樣，在不同信噪比的情況下，如圖6所示，結果均體現該方法的優(yōu)越性。其中圖5和6比較的是不同DOA的估計均方根誤差的結果。從圖中可以看出，本文方法估計信號DOA的方差均要比前后向平滑、加權前后向平滑方法的要低。

仿真3，用本文的方法，我們可以估計N-1個相干源，N為陣元數目，但傳統(tǒng)方法無法做到，圖7驗證了本文方法的可行性。相干源數目為7，波達方向角(DOA)為-60°、-40°、-20°、0°、20°、40°、60°,信噪比為0 dB。

傳統(tǒng)的方法由于采用前后向平滑技術，使得陣列孔徑有所損失，估計信號DOA數目大大減少。而本文方法不采用前后向平滑技術，利用子陣之間的虛擬平滑，達到無孔徑損失的效果，使得估計的DOA數目達到最大，為陣列的最大孔徑(極限值)。

(a)波達角為10°

(b)波達角為15°圖5 SNR=10 dB時不同相關系數均方根誤差

(a)波達角為10°

(b)波達角為15°圖6 不同信噪比下均方根誤差

圖7 用本文方法10次試驗得到的空間譜估計(陣元數為8，相干源為7，信噪比為0 dB)

4 結 論

本文提出了一種可以充分利用全陣進行相干源估計的方法。該方法相對于傳統(tǒng)方法的優(yōu)越性是顯而易見的，尤其當相干源數目較大或未知時，本文方法可以估計的相干源數等于全陣時的最大數，是全陣估計信源的上限。并且，由于本文方法沒有孔徑損失，在同樣DOA數目的估計情況下，單個信號DOA估計精度會得到大大提高，尤其是低信噪比的情況下，其優(yōu)越性更加明顯。

參考文獻：

[1] Evans J E, Johnson J R, Sun D F.Application of advanced signal processing techniques to angle of arrival estimation in ATC navigation and surveillance system[R]//Technical Roport 582.Lexington,MA:M I T Lincoln Lab,1982.

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[3] Yoram Bresler, Albert Macovski.On the number of signals resolvable by a uniform linear array[J]. IEEE Transaction on Acoustics, Speech and Signal Processing, 1986,ASSP-34(6):1361-1375.

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[8] Amjad Salameh,Nizar Tayem. Conjugate MUSIC for non-circular sources[C]//Proceedings of 2006 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing. Toulouse:IEEE,2006:877-880.