(1.上海貝爾股份有限公司，上海 201206；2.復旦大學 電子工程系，上海 200433)

1 引 言

在無線多入多出(Multiple-Input Multiple-Output, MIMO)系統(tǒng)中，若發(fā)射機預知信道狀態(tài)信息(Channel State Information, CSI)，則可采用簡單的波束賦形(Beamforming)技術獲得陣列增益和分集增益[1-2]。在頻分雙工(Frequency Division Duplex, FDD)系統(tǒng)中，因上下行鏈路的CSI不具有互易性，故通常需要接收機將CSI反饋給發(fā)射機[3]。文獻[4-6]分析了FDD系統(tǒng)中各種反饋模式下的容量或誤碼率性能。

然而，反饋會增加FDD系統(tǒng)的開銷。在時分雙工(Time Division Duplex, TDD)系統(tǒng)中，上下行鏈路的CSI通常具有互易性，因此，發(fā)射機可以在當前時刻利用接收到的導頻信號估計出CSI，計算出用于下一時刻的發(fā)射波束賦形向量或矩陣。但是，CSI估計誤差和上下行鏈路的時分復用特性導致的傳輸時延都會使得上下行鏈路的CSI不再具有理想的互易性。文獻[7]研究了非理想互易性對多入單出(Multiple-Input Single-Output, MISO)系統(tǒng)中單流波束賦形的誤碼率影響。

目前的主流無線通信標準之一LTE(Long Term Evolution)已經(jīng)在其Release-9版本中將雙流波束賦形[8]列入，它不但可以實現(xiàn)單流波束賦形具備的分集增益和陣列增益，還能帶來復用增益，正日益受到關注。就作者所知，在公開的文獻中，有關TDD系統(tǒng)中非理想互易性對雙流波束賦形影響的理論分析還十分少見。有鑒于此，針對實際系統(tǒng)采用非常廣泛的最小均方誤差(Minimum Mean Squared Error, MMSE)線性接收準則，本文研究了非理想互易條件下雙流波束賦形的遍歷容量。在推導出兩個數(shù)據(jù)流的平均后驗信干噪比(Signal to Interference plus Noise Ratio, SINR)上界的基礎上，得到了與之對應的遍歷容量(Ergodic Capacity)上界的閉合表達式。數(shù)值和仿真結果表明：所得上界與準確值較為接近，且互易度只會影響系統(tǒng)的陣列增益，而對系統(tǒng)的復用增益沒有影響。

對本文中的符號說明如下：大小寫黑斜體字母分別表示矩陣和(列)向量；I表示單位矩陣，0表示元素全為0的向量；(·)T和(·)H分別表示轉置和Hermitian轉置；‖·‖表示Frobenius范數(shù)；n×m表示n×m維復矩陣空間；vec(A)表示矩陣A的列展開；tr(A)表示矩陣的跡；EX(·)表示關于隨機變量X的數(shù)學期望，當不致引起混淆時，也用E(·)表示；CN(m,Σ)表示均值向量為m、協(xié)方差矩陣為Σ的復高斯隨機向量分布。

2 系統(tǒng)模型

考慮基站有M個天線、終端有N個天線(2≤N≤M)的采用雙流波束賦形的下行鏈路。實際信道一般是頻率選擇性的，但采用正交頻分復用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing, OFDM)技術可以將寬帶信道轉化為多路窄帶信道[9]。為分析方便，假設收發(fā)兩端之間的信道是平坦衰落的。因此，系統(tǒng)的基本輸入輸出關系可表示為

r=HFs+z

(1)

式中，r∈N×1為接收信號向量；信道矩陣H∈

對TDD系統(tǒng)，雙流波束賦形的過程可詳述如下：

(2)

步驟3：終端估計下行鏈路的等效信道矩陣G=HF并基于MMSE線性接收準則做相應的信號檢測。因本文著重考察非理想互易條件對系統(tǒng)的影響，故假設G的估計準確無誤。

3 遍歷容量分析

3.1 系統(tǒng)的等效輸入輸出關系

由以上分析知，式(1)可重寫為

r=Gs+z=s1g1+s2g2+z

(3)

將式(3)看作系統(tǒng)的等效輸入輸出關系，它等價于一個2發(fā)N收的MIMO，可采用各種經(jīng)典的MIMO檢測算法進行處理。目前，考慮到性能和復雜度的折衷，業(yè)界一般采用MMSE線性接收準則，本文也遵從這一假設。對應于s1和s2的MMSE濾波器向量為

(4)

s1和s2對應的判決表達式為

(5)

3.2 后驗信干噪比推導

分析系統(tǒng)容量的關鍵是推導出兩個數(shù)據(jù)流的后驗SINR。由式(3)～(5)可知，s1和s2具有對稱性，以下將以s1為例進行分析。對s1，其濾波后的后驗SINR為[13]

(6)

根據(jù)矩陣求逆引理(Sherman-Morrison公式)[12]：

(7)

將式(6)進一步化簡，得：

(8)

(9)

這里利用了

(10)

(11)

式(9)和式(11)中“≤”成立源于Jensen不等式。

由對稱性，s2對應的后驗SINR及其均值的上界分別為

(12)

和

(13)

表1 部分M和N對應的和值

下面簡要分析非理想互易情形對平均后驗SINR的影響。定義平均后驗SINR損失為理想互易情形與非理想互易情形的后驗SINR比值的平均值，即(以s1為例)：

(14)

(15)

由式(14)和式(15)可以看出：s1和s2對應的平均后驗SINR損失的下界都將隨著P的增大收斂于一常數(shù)，而與P無關，且當P→∞時前者大于后者。

3.3 遍歷容量推導

當s1和s2分別滿足復高斯分布時，其對應的(單位帶寬上的)容量為

(16)

其對應的遍歷容量為

(17)

式中，“≤”成立源于Jensen不等式。將式(11)和式(13)代入式(17)即可得到遍歷容量的上界。

4 數(shù)值和仿真結果

在數(shù)值計算和仿真中，設定M=4、N=2，所用信道模型及系統(tǒng)處理流程與第2節(jié)描述完全一致。

圖1給出了信道互易度因子α為1、0.8、0.6三種情形下兩個數(shù)據(jù)流的平均后驗SINR與信噪比的關系。其中分析所得上界根據(jù)式(11)和式(13)計算而得，準確值根據(jù)式(8)和式(12)由Monte Carlo仿真而得；α=1對應于上下行信道的理想互易情形(下同)。從中可以發(fā)現(xiàn)：

(1)對每個數(shù)據(jù)流，理論分析求出的上界與對應的仿真值非常接近，說明所得上界十分緊湊，也表明了理論推導的正確性；特別地，當α=1時，上界與準確值重合，這與3.2節(jié)的分析一致；

(2)對每個數(shù)據(jù)流，α越小將導致其后驗SINR越小，但不同α對應的曲線只有相對平移，而斜率相同，這一點由式(11)和式(13)也可以看出；

(3)無論是分析得到的下界還是仿真得到的準確值，相對第一個數(shù)據(jù)流，第二個數(shù)據(jù)流的平均后驗SINR損失較小，這與3.2節(jié)的分析一致。

(a)第一個數(shù)據(jù)流

(b)第二個數(shù)據(jù)流

圖2給出了信道互易度因子α為1、0.8、0.6三種情形下兩個數(shù)據(jù)流的遍歷容量與信噪比的關系。其中分析所得上界根據(jù)式(11)、式(13)和式(17)計算而得，準確值根據(jù)式(8)、式(12)和式(16)由Monte Carlo仿真而得。從中可以看出：

(1)對每個數(shù)據(jù)流，理論分析求出的上界與對應的仿真值較為接近，說明所得上界比較緊湊，同樣表明了理論推導的正確性；

(2)對每個數(shù)據(jù)流，不同α對應的曲線在中高信噪比(P≥10 dB)區(qū)域只有相對平移，而斜率相同，這表明雖然α越小將導致其遍歷容量越小，但只有陣列增益損失而沒有復用增益損失。

(a)第一個數(shù)據(jù)流

(b)第二個數(shù)據(jù)流

5 結 論

本文分析了TDD系統(tǒng)中上下行鏈路信道的非理想互易性對雙流波束賦形的影響，推導了基于MMSE線性接收準則的兩個數(shù)據(jù)流的平均后驗SINR及其上界，并進一步得到了遍歷容量的上界。數(shù)值和仿真結果表明：所得上界與準確值較為接近，且與理想互易情形相比，非理想互易性只會降低系統(tǒng)的陣列增益，而對系統(tǒng)的復用增益沒有影響。

下一步將研究非理想互易性對系統(tǒng)斷線容量(Outage Capacity)和誤碼率的影響以及兩個數(shù)據(jù)流之間的最優(yōu)功率分配。

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