趙萬(wàn)春1，師 君

(1.中國(guó)人民解放軍駐157廠軍事代表室，四川 彭州 611930；2.電子科技大學(xué) 電子工程學(xué)院，成都 610054)

1 引 言

陣列理論廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲納及通信等領(lǐng)域,天線方向圖[1-3]描述的陣列天線的分辨率特征是陣列天線設(shè)計(jì)的重要指標(biāo)之一。數(shù)學(xué)上，天線方向圖的分析可看作帶參數(shù)的振蕩積分的求解問(wèn)題。但是，由于振蕩積分相位函數(shù)具有多樣性，可能為連續(xù)函數(shù)、周期函數(shù)或隨機(jī)函數(shù)，該振蕩積分的求解較為困難。目前，方向圖的優(yōu)化主要采用基于統(tǒng)計(jì)模型的優(yōu)化方法，如模擬退火算法(SA)[4-8]及遺傳算法(GA)[9-13]等。雖然上述方法可以對(duì)天線旁瓣進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，但無(wú)法揭示天線陣元布局與方向圖之間的直接聯(lián)系。另外，對(duì)于高維陣列，當(dāng)天線陣元數(shù)目較多時(shí)，上述方法運(yùn)算量較大。

在實(shí)際工程中，陣列天線陣元的數(shù)目有限，振蕩積分的求解問(wèn)題可近似為離散有限長(zhǎng)復(fù)指數(shù)和的計(jì)算。通過(guò)引入分布函數(shù)的概念，本文介紹了離散有限長(zhǎng)復(fù)指數(shù)和的計(jì)算方法，并將該方法應(yīng)用于二維陣列天線方向圖的分析，揭示了二維陣列天線陣元布局與其方向圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系。然后，利用該關(guān)系分析了滿(mǎn)陣圓形陣列、稀疏圓形陣列及混合圓形陣列的布局與天線方向圖的關(guān)系，驗(yàn)證了該分析方法的正確性。

在上述研究的基礎(chǔ)上，本文進(jìn)一步分析了加權(quán)對(duì)天線方向圖的影響，并在此基礎(chǔ)上提出了一種基于分布函數(shù)的圓形陣列方向圖優(yōu)化方法。該方法通過(guò)對(duì)不同半徑陣元權(quán)重的設(shè)計(jì)使得其對(duì)應(yīng)的天線方向圖達(dá)到與期望的窗函數(shù)相近的效果。

2 離散有限長(zhǎng)復(fù)指數(shù)和的計(jì)算

陣列天線方向圖優(yōu)化問(wèn)題數(shù)學(xué)上可以看作是振蕩積分求解問(wèn)題，由于該問(wèn)題分析較為復(fù)雜，目前主要采用駐定相位原理進(jìn)行近似求解。但是對(duì)于離散有限長(zhǎng)信號(hào)，其指數(shù)和的計(jì)算可以采用本節(jié)給出的方法進(jìn)行計(jì)算。

假設(shè)已知離散有限長(zhǎng)信號(hào)f(n)=(0,1/4,2/4,0,1/4,1/4)，需求解該信號(hào)的復(fù)指數(shù)和，其公式可表示為

ej·2π·0+ej·2π·1/4+ej·2π·1/4

(1)

根據(jù)加法的交換律和結(jié)合律，式(1)可改寫(xiě)為

1·ej·2π·2/4+0·ej·2π·3/4(2)

式中，系數(shù)2、3、1和0表示各復(fù)指數(shù)項(xiàng)出現(xiàn)的頻率(概率意義上)。因此，通過(guò)引入密度(分布)函數(shù)D(i)={2,3,1,0}的概念，可得到：

(3)

(4)

類(lèi)似地，帶有參數(shù)的離散有限長(zhǎng)復(fù)指數(shù)和可表示為

(5)

根據(jù)上面的例子可看出，帶參數(shù)的離散有限長(zhǎng)復(fù)指數(shù)和可通過(guò)對(duì)其分布函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換得到，該性質(zhì)為本文提出的圓形陣列方向圖優(yōu)化方法的技術(shù)。實(shí)際上，采用Lebesgue測(cè)度等方法，該性質(zhì)可很容易地?cái)U(kuò)展到連續(xù)函數(shù)的振蕩積分的計(jì)算。由于離散有限長(zhǎng)復(fù)指數(shù)和的性質(zhì)已經(jīng)滿(mǎn)足陣列優(yōu)化問(wèn)題的需要，連續(xù)函數(shù)的振蕩積分將在其它的研究中詳細(xì)論述。

3 陣列天線方向圖

天線方向圖是陣列天線的重要指標(biāo)，反映了天線輻射電磁波在空間中的分布情況。陣列天線設(shè)計(jì)的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題為通過(guò)對(duì)陣型、陣元布局及權(quán)重系數(shù)的優(yōu)化以獲得期望的天線方向圖。本節(jié)將利用上節(jié)介紹的計(jì)算方法推導(dǎo)二維陣列天線的方向圖，并分析幾種典型圓形陣列的方向圖。

3.1 信號(hào)模型

二維陣列天線的幾何關(guān)系如圖1所示。

圖1 陣列天線幾何結(jié)構(gòu)

假設(shè)陣元中心相對(duì)目標(biāo)中心的位置為

(6)

式中，x0、y0和z0表示該位置在x軸、y軸和z軸的分量。則二維陣列相對(duì)目標(biāo)中心的位置可表示為

(7)

(8)

式中，ΩSA描述了二維陣列天線相對(duì)觀測(cè)場(chǎng)景的位置。

(9)

(10)

通過(guò)接收系統(tǒng)去載波處理，則陣列天線的接收回波可表示為

(11)

式中，λ為載波波長(zhǎng)。

3.2 方向圖

利用上節(jié)建立的信號(hào)模型，二維陣列天線的方向圖可表示為

(12)

(13)

(14)

(15)

θ?r/R0

(16)

(17)

根據(jù)式(8)，有：

(18)

則式(17)可寫(xiě)為

(19)

(20)

(21)

(22)

圖2 二維陣列與方向圖的關(guān)系

對(duì)于圓形陣列，由于其陣列關(guān)于圓形對(duì)稱(chēng)(或在統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上對(duì)稱(chēng))，其任意方向的一維方向圖可完全描述該陣列的二維方向圖。

3.3 混合圓形陣列分析

上一節(jié)建立了任意陣列天線陣元布局和其對(duì)應(yīng)的天線方向圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系，該對(duì)應(yīng)關(guān)系可用于分析各種平面陣列的方向圖。由于篇幅所限，本節(jié)以混合陣列為例，說(shuō)明該方法的有效性。混合陣列[14]是一種新型陣列天線結(jié)構(gòu)，本文將考慮一種較為簡(jiǎn)單的混合圓形陣列，即陣列中部為滿(mǎn)陣子陣列，周?chē)鸀橄∈璀h(huán)形陣列，如圖3和圖4所示。

圖3 混合圓形陣列

圖4 混合圓形陣列分布函數(shù)

圖4為混合圓形陣列天線的方向分布函數(shù)?？梢钥闯?，該分布函數(shù)可看作某窗函數(shù)被噪聲調(diào)制后的結(jié)果，該窗函數(shù)可在一定程度上降低方向圖的旁瓣，而噪聲則在天線方向圖中引入了隨機(jī)性。圖5為混合圓形陣列天線的二維方向圖與一維方向圖，其峰值旁瓣比和積分旁瓣比分別為-21.77 dB(存在隨機(jī)性)和-15.45 dB。而圓形滿(mǎn)陣元陣列的其峰值旁瓣比和積分旁瓣比分別為-15.87 dB和-13.94 dB。因此，混合圓形陣列可在一定程度上降低圓形陣列的旁瓣，達(dá)到節(jié)省天線陣元并優(yōu)化陣列天線的方向圖的目的。

圖5 混合圓形陣列某方向的方向圖

4 基于分布函數(shù)的圓形陣列優(yōu)化

根據(jù)上面的分析可以看出陣列分布函數(shù)與方向圖存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此，可通過(guò)對(duì)分布函數(shù)的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)對(duì)方向圖的優(yōu)化。進(jìn)一步分析表明，通過(guò)陣元分布優(yōu)化對(duì)方向圖的優(yōu)化效果與改變陣元權(quán)系數(shù)對(duì)方向圖的優(yōu)化效果等效。本節(jié)將通過(guò)對(duì)陣列系數(shù)的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)基于分布函數(shù)的圓形陣列優(yōu)化。

4.1 權(quán)系數(shù)對(duì)方向圖的影響

(23)

相應(yīng)地，其方向圖可表示為

(24)

假設(shè)所有權(quán)系數(shù)均為自然數(shù)，則式(24)可表示為

(25)

該公式的物理意義如圖6所示，表明在某個(gè)陣元上調(diào)制權(quán)重系數(shù)w相當(dāng)于在該位置放置w個(gè)權(quán)重系數(shù)為1的陣元。

圖6 權(quán)系數(shù)對(duì)方向圖的影響

當(dāng)權(quán)重系數(shù)為正實(shí)數(shù)時(shí)，通過(guò)將式(25)乘以某個(gè)足夠大的正實(shí)數(shù)，并對(duì)所有權(quán)重系數(shù)進(jìn)行取整近似，可很容易地將上述結(jié)論擴(kuò)展到正實(shí)數(shù)的情況，即改變權(quán)重系數(shù)即可改變陣列天線陣元的等效分布。另外，與改變陣元數(shù)目相比，加權(quán)的方法可為任意正實(shí)數(shù)，更便于設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)。下面將給出一種基于分布函數(shù)的圓形陣列天線優(yōu)化方法。

4.2 基于分布函數(shù)的優(yōu)化方法

由于圓形陣列關(guān)于圓點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，如果其權(quán)系數(shù)也關(guān)于圓點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則其方向圖關(guān)于圓點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，此時(shí)，只需對(duì)其一維方向圖優(yōu)化即可實(shí)現(xiàn)對(duì)該圓形陣列的優(yōu)化。因此，本文假設(shè)其權(quán)系數(shù)關(guān)于圓點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即其為半徑的函數(shù)r，而與角度無(wú)關(guān)θ。

假設(shè)該權(quán)重函數(shù)為w(r)，則加權(quán)累積函數(shù)的積分(即加權(quán)分布函數(shù)的積分，其關(guān)系于概率密度函數(shù)和概率累積函數(shù)的關(guān)系近似)Cwf(y)可表示為

顯然，Cwf(y)對(duì)應(yīng)的加權(quán)分布函數(shù)為偶函數(shù)。

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)圓形陣列的優(yōu)化，可通過(guò)對(duì)權(quán)重系數(shù)w(r)的設(shè)計(jì)，使得其對(duì)應(yīng)的加權(quán)分布函數(shù)滿(mǎn)足特定的窗函數(shù)，即：

(28)

式中，ω(u)為期望的窗函數(shù)，如漢明窗、Chebyshev窗等。

由于Cwf(y)為偶函數(shù)，只需考慮y≤0的情況，則式(28)可表示為

(29)

為了求解權(quán)系數(shù)w(r)，可將式(29)離散化為矩陣形式：

G·W=C

(30)

(31)

(32)

(33)

式中，W為離散化的權(quán)系數(shù)向量，C為離散化的期望窗函數(shù)，G為離散化的積分矩陣。則最優(yōu)化權(quán)系數(shù)向量可求解為

W=G-1·C

(34)

式中，G-1為G的逆矩陣。

假設(shè)期望的窗函數(shù)為Chebyshev窗，其旁瓣高度為-70 dB旁瓣，可計(jì)算得到其對(duì)應(yīng)的權(quán)系數(shù)。

圖7 優(yōu)化加權(quán)分布函數(shù)

圖8 一維方向圖

從圖7可以看出，其形狀與Chebyshev窗函數(shù)較為相似。從圖8可以看出，雖然該函數(shù)的峰值旁瓣比為-30.25 dB，高于Chebyshev窗(但優(yōu)于前面分析的各種圓形陣列)，但在第二旁瓣處出現(xiàn)了陡降，達(dá)到了將近-50 dB。另外，由于存在旁瓣的陡降，其積分旁瓣比為-30.44 dB，與峰值旁瓣比接近，要遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于其它各種圓形陣列(如混合圓形陣列、圓形滿(mǎn)陣元陣列等)。

5 結(jié) 論

通過(guò)引入分布函數(shù)，本文分析了二維陣列天線的方位圖，可得到如下結(jié)論：

(1)二維陣列任意方向的方向圖為其在該方向分布函數(shù)的離散傅里葉變換，該分布函數(shù)可通過(guò)統(tǒng)計(jì)其投影在某一方向的臨近區(qū)域處陣元數(shù)目獲得；

(2)該方法可較容易地分析各種二維陣列的方向圖特征；

(3)通過(guò)改變陣元權(quán)重系數(shù)即可改變陣列天線對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)，進(jìn)而改變?cè)撽嚵刑炀€的方向圖，該方法與通過(guò)改變陣列天線陣元分布的方法等效；

(4)利用分布函數(shù)可實(shí)現(xiàn)對(duì)圓形陣列陣元權(quán)重系數(shù)的優(yōu)化，使其近似滿(mǎn)足特定的窗函數(shù)，從而大大改善圓形陣列的波束性能。

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